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2023-2024学年湖北省鄂西北六校（曾都区第一中学等）高二上学期期中联考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年湖北省鄂西北六校（曾都区第一中学等）高二上学期期中联考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了已知、为椭圆，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年上学期高二期中考试
数学试题
主命题学校：曾都一中
命题老师：倪晓华 陈小婧 吴庆丰 王琦
试卷满分：150分 考试用时：120分钟
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．离心率相等
3．已知直线：，直线：相互平行，则的值为（ ）
A．1或－4B．1C．2D．－4
4．一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程是（ ）
A．B．6C．D．
5．在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．已知、为椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，且，的延长线与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知三棱锥的顶点都在球的表面上，球的表面积为，在中，，，则当三棱锥的体积最大时，（ ）
A．4B．C．5D．
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B．采用分层抽样的方法从高一640人、高二760人、高三人中，抽取55人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为19人，则
C．数据12，13，14，15，17，19，23，24，27，30的第70百分位数是23
D．已知一组数据1，2，，5，8的平均数为4，则这组数据的方差是6
10．已知事件，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．如果，那么
C．如果与互斥，那么D．如果与相互独立，那么
11．已知圆：，点是直线：上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有（ ）
A．圆上恰有两个点到直线的距离为
B．切线长的最小值为
C．当最小时，直线方程为
D．直线恒过定点
12．如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则（ ）
A．直线，为异面直线
B．直线与平面所成角的正切值为
C．过点，，的平面截正方体的截面面积为
D．三棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为6的概率是______．
14．在正四棱台中，，，，则该棱台的体积______．
15．原点到直线的距离的最大值为______．
16．已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，且，，则的方程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知圆心为的圆经过，，这三个点．
（1）求圆的标准方程；
（2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
19．（本小题满分12分）
已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，为的中点，且所在的直线方程为．
（1）求顶点，的坐标；
（2）求过点且在轴、轴上的截距相等的直线的方程．
20．（本小题满分12分）
第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；
（2）求这3人都参加市知识竞赛的概率；
（3）某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且．
（1）证明：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆：离心率，且经点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点D，且，设直线，，的斜率分别为，，，若，证明为定值．
宜城一中 枣阳一中 曾都一中
襄阳六中 南漳一中 老河口一中
2023-2024学年上学期高二期中考试
数学答案
一．选择题
1．D2．C3．B4．C
5．B6．D7．A8．B
9．ABD10．BCD11．AC12．BCD
二．填空题
13．14．15．16．
三．解答题（以下答案仅供参考，若有其它解法，根据参考答案相应步骤给分）
17．解：（1）设圆的标准方程为，
因为过，，，所以，解得
所以圆的标准方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，其方程为，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设其方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
因为直线被圆截得的弦长为6，所以，
即，解得，直线的方程为
故直线方程为或
18．解：（1）证明：连接交于点，连接，
∵底面为正方形，∴为的中点，∵点是的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面
（2）因为平面，平面，所以，又四边形为正方形，所以，又，，平面，
所以平面，平面，所以
又点是的中点，，，所以，
，，，
所以，
设点到平面的距离为，则，
即，即，解得，即点到平面的距离为．
19．解：（1）由题意可设直线方程为：，由点，
可得．所以直线方程为．
又直线方程为，解得，则．
设，则中点坐标，
因为直线方程为，则，
又点在直线，所以，解得．则
（2）由（1）可得，由题意可得．
①当直线经过原点时，设直线方程为，
由点的坐标可得，解得，所以直线方程为；
②当直线经不过原点时，设直线方程为，把点坐标代入可得：，
所以直线方程为．故直线方程为或．
20．解：（1）解：3人全通过初赛的概率为，所以，这3人中至多有2人通过初赛的概率为
（2）解：甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，丙参加市知识竞赛的概率为，所以，这3人都参加市知识竞赛的概率为
（3）解：记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件，则
21．解：（1）证明：连接，与的交点记为点，因为，
，，所以，所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为，且，所以平面，
因为平面，所以．
因为在中，，所以，
又因为，所以平面．
（2）存在，点为线段的中点
理由如下：如图，以为原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
设，即，则，．
设平面的法向量，由
取，则
易知，平面的一个法向量为，因为二面角的余弦值为，
即，
整理可得，解得（舍去）或．
故线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，此时点为线段的中点．
22．解：（1）由题意知，解得，，故椭圆的标准方程为．
（2）由题意直线的斜率一定存在，由（1）知，则椭圆的右焦点的坐标为，
设直线方程为：，坐标为．所以，
设，，将直线方程与随圆方程联立，
∴，又恒成立，由韦达定理知，，
，
∴
2023-2024学年上学期高二期中考试
数学试题
主命题学校：曾都一中
命题老师：倪晓华 陈小婧 吴庆丰 王琦
试卷满分：150分 考试用时：120分钟
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．离心率相等
3．已知直线：，直线：相互平行，则的值为（ ）
A．1或－4B．1C．2D．－4
4．一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程是（ ）
A．B．6C．D．
5．在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．已知、为椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，且，的延长线与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知三棱锥的顶点都在球的表面上，球的表面积为，在中，，，则当三棱锥的体积最大时，（ ）
A．4B．C．5D．
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B．采用分层抽样的方法从高一640人、高二760人、高三人中，抽取55人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为19人，则
C．数据12，13，14，15，17，19，23，24，27，30的第70百分位数是23
D．已知一组数据1，2，，5，8的平均数为4，则这组数据的方差是6
10．已知事件，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．如果，那么
C．如果与互斥，那么D．如果与相互独立，那么
11．已知圆：，点是直线：上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有（ ）
A．圆上恰有两个点到直线的距离为
B．切线长的最小值为
C．当最小时，直线方程为
D．直线恒过定点
12．如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则（ ）
A．直线，为异面直线
B．直线与平面所成角的正切值为
C．过点，，的平面截正方体的截面面积为
D．三棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为6的概率是______．
14．在正四棱台中，，，，则该棱台的体积______．
15．原点到直线的距离的最大值为______．
16．已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，且，，则的方程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知圆心为的圆经过，，这三个点．
（1）求圆的标准方程；
（2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
19．（本小题满分12分）
已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，为的中点，且所在的直线方程为．
（1）求顶点，的坐标；
（2）求过点且在轴、轴上的截距相等的直线的方程．
20．（本小题满分12分）
第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；
（2）求这3人都参加市知识竞赛的概率；
（3）某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且．
（1）证明：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆：离心率，且经点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点D，且，设直线，，的斜率分别为，，，若，证明为定值．
宜城一中 枣阳一中 曾都一中
襄阳六中 南漳一中 老河口一中
2023-2024学年上学期高二期中考试
数学答案
一．选择题
1．D2．C3．B4．C
5．B6．D7．A8．B
9．ABD10．BCD11．AC12．BCD
二．填空题
13．14．15．16．
三．解答题（以下答案仅供参考，若有其它解法，根据参考答案相应步骤给分）
17．解：（1）设圆的标准方程为，
因为过，，，所以，解得
所以圆的标准方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，其方程为，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设其方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
因为直线被圆截得的弦长为6，所以，
即，解得，直线的方程为
故直线方程为或
18．解：（1）证明：连接交于点，连接，
∵底面为正方形，∴为的中点，∵点是的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面
（2）因为平面，平面，所以，又四边形为正方形，所以，又，，平面，
所以平面，平面，所以
又点是的中点，，，所以，
，，，
所以，
设点到平面的距离为，则，
即，即，解得，即点到平面的距离为．
19．解：（1）由题意可设直线方程为：，由点，
可得．所以直线方程为．
又直线方程为，解得，则．
设，则中点坐标，
因为直线方程为，则，
又点在直线，所以，解得．则
（2）由（1）可得，由题意可得．
①当直线经过原点时，设直线方程为，
由点的坐标可得，解得，所以直线方程为；
②当直线经不过原点时，设直线方程为，把点坐标代入可得：，
所以直线方程为．故直线方程为或．
20．解：（1）解：3人全通过初赛的概率为，所以，这3人中至多有2人通过初赛的概率为
（2）解：甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，丙参加市知识竞赛的概率为，所以，这3人都参加市知识竞赛的概率为
（3）解：记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件，则
21．解：（1）证明：连接，与的交点记为点，因为，
，，所以，所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为，且，所以平面，
因为平面，所以．
因为在中，，所以，
又因为，所以平面．
（2）存在，点为线段的中点
理由如下：如图，以为原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
设，即，则，．
设平面的法向量，由
取，则
易知，平面的一个法向量为，因为二面角的余弦值为，
即，
整理可得，解得（舍去）或．
故线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，此时点为线段的中点．
22．解：（1）由题意知，解得，，故椭圆的标准方程为．
（2）由题意直线的斜率一定存在，由（1）知，则椭圆的右焦点的坐标为，
设直线方程为：，坐标为．所以，
设，，将直线方程与随圆方程联立，
∴，又恒成立，由韦达定理知，，
，
∴
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