2023-2024学年安徽师范大学附属中学高二上学期开学考试数学试题含答案

2023-2024学年安徽师范大学附属中学高二上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.

【详解】由题意，，所以,

所以.

故选：D.

2．正四棱台上、下底面边长分别为，，侧棱长，则棱台的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值．

【详解】解：设，，，可得正四棱台的斜高为，

所以棱台的侧面积为．

故选：．

3．已知向量满足，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：∵，

又∵

∴9，

∴

故选：C.

4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ）

A．62% B．56%

C．46% D．42%

【答案】C

【分析】由容斥原理即可得解..

【详解】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.

故选：C.

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用凑角，同角三角函数关系和二倍角的余弦公式转化计算.

【详解】

，

故选：B

6．在中，角，，的对边，，满足，且，则=（    ）

A． B． C． D．0

【答案】C

【分析】由已知及三角形内角和为可得，，然后利用正弦定理有，即，最后根据两角差的正弦公式及二倍角公式即可求解.

【详解】解：根据正弦定理可得，，，

所以，，

所以，即，

因为，所以，

所以.

故选：C.

7．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象关于点对称

B．函数的图象关于直线对称

C．函数在上单调递减

D．该图象向右平移个单位可得的图象

【答案】D

【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.

【详解】由图象可得，函数的最小正周期为，

因为，所以，，故，

因为，可得，

因为，则，所以，，可得，

所以，，

对于A选项，，

所以，函数的图象不关于点对称，A错；

对于B选项，，

所以，函数的图象不关于直线对称，B错；

对于C选项，当时，，

所以，函数在上不单调，C错；

对于D选项，因为，

将函数的图象向右平移个单位可得的图象，D对.

故选：D.

8．把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由图形的几何性质得球心位置，利用等体积转化求点面距离即可.

【详解】

由图所示，易知三棱锥D-ABC的外接球球心为AC的中点O，易得OB=OC=OD=1，且OC⊥OB，DO⊥面OBC，

计算可得BC=CD=BD=，设球心到平面的距离为，

则.

故选：A

二、多选题

9．已知复数（其中是虚数单位），则下列各选项正确的是（    ）

A．

B．的共轭复数在复平面上对应点在三象限

C．的虚部是

D．是方程的复数根

【答案】AB

【分析】根据复数模、共轭复数及虚部定义判断ABC，将复数z代入方程判断是否成立判断D.

【详解】A：，正确；

B：对应点为，在第三象限，正确；

C：的虚部是4，错误；

D：将代入得，错误.

故选：AB

10．高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则（    ）

A．恰有一名参赛学生是男生的概率为 B．至少有一名参赛学生是男生的概率为

C．至多有一名参赛学生是男生的概率为 D．两名参赛学生都是男生的概率为

【答案】AC

【分析】从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果，

对于A，恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有3×3=9(种)结果，从而可求出概率；对于B，先求其对立事件“两名参赛学生都是女生”的概率，再求所求概率；对于D，从3名男生中任选2人有3种结果，从而可求出概率；对于C，“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以用1减去D项的概率即可

【详解】从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果.恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有3×3=9(种)结果，所以恰有一名参赛学生是男生的概率为，A对；

“至少有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”，从3名女生中任选2人有3种结果，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为，B错；

“两名参赛学生都是男生”，从3名男生中任选2人有3种结果，其概率为，D错；

“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为，C对.

故选：AC

11．已知分别是三个内角的对边，则下列选项正确的是（    ）

A．若为锐角三角形，则

B．若，，，则有两解

C．内切圆的半径

D．若，则

【答案】BC

【分析】根据数量积的定义判断A，根据正弦定理判断B，利用面积公式及数量积的定义判断C，根据数量积的定义及锐角三角函数判断D.

【详解】对于A：因为，所以，则，

即为钝角，所以为钝角三角形，故A错误；

对于B：因为，，，由正弦定理，即，

所以，所以有两个解，所以有两解，故B正确；

对于C：，

又，

所以，所以，

所以，故C正确；

对于D：因为，又，所以，

所以，故D错误；

故选：BC

12．在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则（    ）

A．

B．三棱锥的体积不变

C．的最小值为

D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为

【答案】ABD

【分析】由线面垂直证明线线垂直证明选项A；，由底面积和高判断体积验证选项B；转化为点和点到点的距离之和，计算验证选项C；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积验证选项D.

【详解】连接，如图所示，

直三棱柱中，，

为正方形，，

，平面，平面，，

平面，，平面，

平面，，A选项正确；

由直三棱柱的结构特征，，故三棱锥的体积为定值，B选项正确；

设，，，

，

，

，其几何意义是点和点到点的距离之和，最小值为点到点的距离，为，C选项错误；

当是的中点时，，，，

，

，，

，设点到平面的距离为，由，

得，，

直三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径，点到平面的距离为，

则过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，D选项正确.

故选：ABD

【点睛】方法点睛：

对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键；与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，通过构造直角三角形求半径.

三、填空题

13．已知随机事件A，B，事件A和事件B是互斥事件，且，，则          ．

【答案】/

【分析】利用互斥事件概率公式即可求得的值.

【详解】事件A和事件B是互斥事件，且，，

则

故答案为：

14．若函数为奇函数，则         ．

【答案】1

【分析】根据奇函数的定义，即可列式求解，即得答案.

【详解】由题意函数为奇函数，

故，即，

即，故，

故答案为：1

15．若，且，则的最小值为      .

【答案】8

【分析】由可得， ，再与相乘构建积定式,继而可用基本不等式求最小值.

【详解】

可得，，（当且仅当时取等号）.

故答案为：8.

16．四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为      .

【答案】

【分析】利用向量加法运算及数量积定义得，然后利用数量积的运算律得，设出向量夹角，从而，利用余弦函数求解最值即可.

【详解】因为，，又点分别是的中点，

所以，所以，

，

又，所以，又点分别是的中点，所以，

因为，所以，

即，设，，则，所以，

所以，

所以当即时，有最大值1，即有最大值为.

故答案为：

【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时注意数量积运算律的应用.

四、解答题

17．1.已知向量，.

(1)当实数k为何值时，向量与共线？

(2)若，，且，求实数m的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）两向量与共线满足；（2）两向量与垂直满足

【详解】（1）因为，，所以，，当向量与共线时，，解得：，故当时，向量与共线

（2），．

∵，  ∴，  ∴.

18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

(1)求的值；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；

（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．

【详解】（1）由于， ，则．因为，

由正弦定理知，则．

（2）因为，由余弦定理，得，

即，解得，而，，

所以的面积．

19．如图所示，在正方体中．求证：（立体几何证明过程中不可使用向量法，否则不给分）

(1)直线平面；

(2)平面平面．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；

（2）先证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；

【详解】（1）证明：在正方体中，，

即四边形为平行四边形，

所以平面平面，

所以平面．

（2）在正方体中，

平面中，又因为平面，

所以，

又因为平面，

所以平面，

又因为平面，

所以平面平面．

20．第19届亚运会将在杭州举行．某高校承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)求a，b的值；

(2)估计这100名候选者面试成绩的众数、平均数和第60百分位数（精确到0.1）；

(3)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率．

【答案】(1)；

(2)众数：70，平均数等于，第60百分位数等于；

(3).

【分析】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，求出；利用频率和为1，求出；

（2）由频率分布表进行数据分析，分别求出众数，平均数和第60百分位数；（3）先判断出从在第四、五两组志愿者中分别抽取了4人和1人，利用古典概型的概率公式即可求解.

【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，解得.

由频率和为1，即，解得：.

（2）由频率分布表进行数据分析可得：众数为70；

平均数等于，

第60百分位数等于：

（3）可知从在第四、五两组志愿者中分别抽取了4人和1人．

故选出的两人来自同一组的概率为．

21．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

(1)证明：；

(2)若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且三棱锥的体积为，求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）根据给定条件证得平面即可得解；

（2）根据三棱锥的体积求得，可得，作辅助线作于，作于，连，利用定义法找到二面角的平面角，再求得相关线段长，解三角形可得答案.

【详解】（1）在三棱锥中，因为为的中点，

且，则，又平面平面，

平面平面，平面，

所以平面，而平面，

所以.

（2）因是边长为的等边三角形，所以，则，

因平面，所以为三棱锥的高，设为，

所以，，

所以，即有，所以，

作于，作于，连，则，

因为平面， 所以平面，

平面，则，因为，

平面，所以平面，

而平面，故，

则为二面角的平面角.

又，所以，

在中，，，所以，

由知，故，所以，即,

∴，从而，

又因为在中，，所以为等腰直角三角形，

所以，即二面角的大小为.