北师大版1 圆随堂练习题

这是一份北师大版1 圆随堂练习题，文件包含北师大版九年级数学下册专题35圆内接四边形六大题型原卷版docx、北师大版九年级数学下册专题35圆内接四边形六大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。


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\l "_Tc12623" 【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】 PAGEREF _Tc12623 \h 1
\l "_Tc27429" 【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】 PAGEREF _Tc27429 \h 5
\l "_Tc8229" 【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】 PAGEREF _Tc8229 \h 9
\l "_Tc17618" 【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】 PAGEREF _Tc17618 \h 13
\l "_Tc2612" 【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】 PAGEREF _Tc2612 \h 16
\l "_Tc25729" 【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】 PAGEREF _Tc25729 \h 20
【知识点1 圆内接四边形】
【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】
【例1】（2022•自贡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到∠AOD的度数，再根据三角形内角和可以求得∠OAD的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．
方法二：根据AB是⊙O的直径，可以得到∠ADB＝90°，再根据∠ABD＝20°和三角形内角和，可以得到∠A的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．
【解答】解：方法一：连接OD，如图所示，
∵∠ABD＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，
∴∠OAD＝∠ODA＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠OAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝110°，
故选：C．
方法二：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠A＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝110°，
故选：C．
【变式1-1】（2022•云州区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．当四边形OBCD是菱形时，则∠OBA+∠ODA的度数是（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO，求出∠OBA+∠ODA＝∠BAD，根据菱形的性质得出∠BCD＝∠BOD，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠BAD，求出∠BCD＝2∠BAD，根号圆内接四边形的性质得出∠BAD+∠BCD＝180°，求出∠BAD，再求出答案即可．
【解答】解：连接OA，
∵OA＝OB，OA＝OD，
∴∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO，
∴∠OBA+∠ODA＝∠BAO+∠DAO＝∠BAD，
∵四边形OBCD是菱形，
∴∠BCD＝∠BOD，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BCD＝2∠BAD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴3∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠OBA+∠ODA＝∠BAD＝60°，
故选：B．
【变式1-2】（2022•蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是 60° ．
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠BCD+∠BAD＝180°，根据∠BCD＝2∠BAD求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理求出∠BAE＝90°，求出∠DAE的度数，再根据圆周角定理得出∠DOE＝2∠DAE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BAD＝60°，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DOE＝2∠DAE＝60°，
故答案为：60°．
【变式1-3】（2022秋•包河区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝ 64 °．
【分析】利用圆内接四边形的性质，得出∠DAC+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，推出∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，再利用圆周角定理和三角形的内角和定理求出∠3+∠4的度数．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，
又∵△AOC为等腰三角形，
∴∠5＝∠OCA，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，
∵∠1+∠2＝64°，
∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5，
∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝∠1+∠2＝64°，
∴∠O＝2∠D＝128，
在等腰三角形AOC中，
2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°，
∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°，
故答案为64．
【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】
【例2】（2022•碑林区校级四模）如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝2，则弦BD的长为（ ）
A．2B．3C．D．2
【分析】如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．解直角三角形求出CE，ED，再利用勾股定理求出BD即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．
∵∠A+∠BCD＝180°，∠A＝45°，
∴∠BCD＝135°，
∴∠DCE＝45°，
∵∠E＝90°，CD＝2，
∴CE＝ED＝2，BE＝CE+BC＝6，
在Rt△BED中，∵∠E＝90°，BE＝6，DE＝2，
∴BD2，
故选：D．
【变式2-1】（2022•延边州二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过B点作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（ ）
A．B．2C．3D．不能确定
【分析】首先根据圆内接四边形的性质求得∠A的度数，然后根据斜边长求得等腰直角三角形的直角边长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝135°，
∴∠A＝180°﹣145°＝45°，
∵BH⊥AD，AB＝4，
∴BH2，
故选：B．
【变式2-2】（2022•宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA，所以A（，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．
【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO+∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∠ABO＝60°，
∴OBAB＝2，
∴OAOB
∴A（，0），B（0，2），
∴D点坐标为（，1）．
故选：B．
【变式2-3】（2022秋•汉川市期中）已知M是弧CAB的中点，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的长度为x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB的长度是 2x+1 ．（用含有x的代数式表示）
【分析】延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，由M是弧CAB的中点，可得∠BDM＝∠CDM，又因为MP垂直于弦AB于P，可得∠BPD＝∠EPD＝90°，然后由ASA定理可证△DPE≌△DPB，然后由全等三角形的对应角相等，对应边相等可得：∠B＝∠E，PB＝EP，然后由圆内接四边形的性质可得：∠ECA＝∠B，进而可得：∠E＝∠ECA，然后根据等角对等边可得AE＝AC，进而可得PB＝PE＝EA+AP＝AC+AP，然后将AC＝x，AP＝x+1，代入即可得到PB的长．
【解答】解：延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，
∵M是弧CAB的中点，
∴∠BDM＝∠CDM，
∵MP垂直于弦AB于P，
∴∠BPD＝∠EPD＝90°，
在△DPE和△DPB中，
∵，
∴△DPE≌△DPB（ASA），
∴∠B＝∠E，PB＝EP，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠ECA＝∠B，
∴∠E＝∠ECA，
∴AE＝AC，
∴PB＝PE＝EA+AP＝AC+AP，
∵AC＝x，AP＝x+1，
∴PB＝2x+1．
故答案为：2x+1．
【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】
【例3】（2022•贺州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E＝60°，则⊙O的面积是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，进而得出△ADE为等边三角形，证明AB＝BE，进而求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC：∠ADC＝2：1，
∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，
∵∠E＝60°，
∴△ADE为等边三角形，△BCE为等边三角形，
∴AD＝AE，BC＝BE，BC∥AD，
∵点C为的中点，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AC⊥DE，
∴AD为⊙O的直径，
∵BC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴AB＝BE，
∴⊙O的半径为2，
∴⊙O的面积＝4π，
故选：D．
【变式3-1】（2022秋•青山区期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【分析】延长BO交⊙O于E，连接CE，可得∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，由∠AOD+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠COE，推出AD＝CE＝2，根据三角形的面积公式可求得△BEC的面积为6，由OB＝OE，可得△BOC的面积△BEC的面积．
【解答】解：延长BO交⊙O于E，连接CE，
则∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，
即CE⊥BC，
∵∠AOD+∠BOC＝180°，
∴∠AOD＝∠COE，
∴，
∴AD＝CE＝2，
∵BC＝6，
∴△BEC的面积为BC•CE6×2＝6，
∵OB＝OE，
∴△BOC的面积△BEC的面积6＝3，
故选：A．
【变式3-2】（2022•鹿城区模拟）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为 8 ．
【分析】如图，连接AC，BD．由△ABC≌△ADE（SAS），推出∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，推出S四边形ABCD＝S△ACE，由此即可解决问题；
【解答】解：如图，连接AC，BD．
∵∠BCD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB＝AD，BC＝DE，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，
∴∠CAE＝∠BAD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ACE4×4＝8．
故答案为8．
【变式3-3】（2022•碑林区校级一模）如图，已知AC＝2，以AC为弦的⊙O上有B、D两点，且∠BAC＝∠DAC，则四边形ABCD的面积最大值为 4 ．
【分析】如图，将△ACB绕点C顺时针旋转得到△TCD．S四边形ABCD＝S△ACT，因为AC＝CT＝2，所以当AC⊥CT时，S△ACT的面积最大．
【解答】解：如图，将△ACB绕点C顺时针旋转得到△TCD．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠B＝∠CDT，
∴∠ADC+∠CDT＝180°，
∴S四边形ABCD＝S△ACT，
∵AC＝CT＝2，
∴当AC⊥CT时，S△ACT的面积最大，最大值224．
故答案为：4．
【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】
【例4】（2022•银川模拟）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（ ）
A．∠1＝∠4B．∠1+∠2+∠3+∠5＝180°
C．∠4＝∠7D．∠ADC＝∠2+∠5
【分析】根据圆周角定理，三角形内角和定理进行判断即可．
【解答】解：∵∠1，∠4所对的弧都是弧CD，
∴∠1＝∠4，
∵∠2，∠7所对的弧都是弧BC，
∴∠2＝∠7，
∵∠5，∠8所对的弧都是弧AB．
∴∠5＝∠8，
∵∠1+∠2+∠3+∠8＝180°，∠ADC＝∠8+∠7，
∴∠1+∠2+∠3+∠5＝180°，∠ADC＝∠2+∠5，
故A，B，D都正确，
∵和不一定相等，
∴BC与DC不一定相等，
∴∠4与∠7不一定相等，
故C错误，
故选：C．
【变式4-1】（2022秋•西湖区校级期中）若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）
A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4
C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1
【分析】利用圆内接四边形的对角互补判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°＝∠B+∠D，
故选：C．
【变式4-2】（2022•南皮县模拟）如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．AB＝AEB．AB＝BEC．AE＝BED．AB＝AC
【分析】只要证明∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，再根据角平分线定义即可解决问题．
【解答】解：连接EC．
∵EC平分∠BCD，
∴∠ECB＝∠ECD，
∵∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，
∴∠BAE＝∠ABE，
∴EA＝EB．
故选：C．
【变式4-3】（2022•碑林区校级模拟）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，CP交AB于点E．（1）判断△ABC的形状，证明你的结论；（2）①若P是的中点，求证：PC＝PA+PB；②若点P在上移动，判断PC＝PA+PB是否成立，证明你的结论
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；
（2）在PC上截取PH＝PA，得到△APH为等边三角形，证明△APB≌△AHC，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可．
【解答】（1）解：△ABC是等边三角形，
理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）①∵P是的中点，
∴，
∴PA＝PB，
∵CA＝CB，
∴PC垂直平分线段AB，
∴PC是直径，
∴∠PAC＝∠PBC＝90°，
∵∠PCA＝∠PCB＝30°，
∴PC＝2PA＝2PB，
∴PA+PB＝PC．
②PC＝PA+PB成立；
证明：在PC上截取PH＝PA，
∵∠APC＝60°，
∴△APH为等边三角形，
∴AP＝AH，∠AHP＝60°，
在△APB和△AHC中，
，
∴△APB≌△AHC（AAS）
∴PB＝HC，
∴PC＝PH+HC＝PA+PB．
【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】
【例5】（2022•思明区校级一模）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝90°，P为上一动点（不与点C，D重合）．
（1）若∠BPC＝30°，BC＝3，求⊙O的半径；
（2）若∠A＝90°，，求证：PB﹣PDPC．
【分析】（1）连接AC，得到AC是⊙O的直径，解直角三角形即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的性质得到四边形ABCD为矩形．推出矩形ABCD为正方形，根据全等三角形的性质得到PC＝CE，得到△CPE为等腰直角三角形，即可得到结论．
【解答】解：（1）连接AC，
∵∠D＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∵∠BAC＝∠P＝30°，
∴AC＝2BC＝6，
所以圆O的半径为3；
（2）∵∠A＝90°，
∴∠C＝90°，
∵AC为圆O直径，
∴∠D＝∠B＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．
∵，
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD为正方形，
在BP上截取BE＝DP，
∴△BCE≌△DPC，
∴PC＝CE，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PEPC，
∴PB＝PDPC．
【变式5-1】（2022秋•陵城区期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．
求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
【分析】延长BC到点T，根据圆内接四边形的性质得到∠FDC+∠FBC＝180°，得到∠ABF＝∠FBC，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BFD，进而得到∠ACD＝∠DCT，根据遥望角的定义证明结论．
【解答】证明：如图2，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
【变式5-2】（2022•龙岩模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质计算即可；
（2）证明△ADC≌△EBC即可．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
又∵∠ADC＝86°，
∴∠ABC＝94°，
∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；
（2）证明：∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠E，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
又∵∠CBE+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE，
在△ADC和△EBC中，
，
∴△ADC≌△EBC，
∴AD＝BE．
【变式5-3】（2022•天津）如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，过B作直线交⊙O于C，交⊙O′于D，G为圆外一点，GC交⊙O于E，GD交⊙O′于F．
求证：∠EAF+∠G＝180°．
【分析】连接AB，根据圆内接四边形的性质可知∠GEA＝∠ABC，∠GFA＝∠ABD，再由∠ABC+∠ABD＝180°，可得出∠GEA+∠GFA＝180°，由四边形AEGF的内角和为360°即可得出结论．
【解答】证明：连接AB
∵四边形ABCE与四边形ABDE均为圆内接四边形，
∴∠GEA＝∠ABC，∠GFA＝∠ABD，
∵∠ABC+∠ABD＝180°，
∴∠GEA+∠GFA＝180°．
∵四边形AEGF的内角和为360°，
∴∠EAF+∠G＝180°．
【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】
【例6】（2022春•涟水县校级期末）如图1，已知△ABC，AB＝AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．
（1）求证：DE＝DC．
（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．
【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得到∠DEC＝∠B，然后利用等角对等边得到结论．
（2）利用旋转的性质及圆内接四边形的性质证得△EDF≌△CDG后即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠B+∠AED＝180°
∵∠DEC+∠AED＝180°
∴∠DEC＝∠B
∵AB＝AC
∴∠C＝∠B
∴∠DEC＝∠C
∴DE＝DC．
（2）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠A+∠BDE＝180°
∵∠EDC+∠BDE＝180°
∴∠A＝∠EDC，
∵OA＝OE
∴∠A＝∠OEA，
∵∠OEA＝∠CEF
∴∠A＝∠CEF
∴∠EDC＝∠CEF，
∵∠EDC+∠DEC+∠DCE＝180°
∴∠CEF+∠DEC+∠DCE＝180°
即∠DEF+∠DCE＝180°，
又∵∠DCG+∠DCE＝180°
∴∠DEF＝∠DCG，
∵∠EDC旋转得到∠FDG
∴∠EDC＝∠FDG
∴∠EDC﹣∠FDC＝∠FDG﹣∠FDC
即∠EDF＝∠CDG，
∵DE＝DC
∴△EDF≌△CDG（ASA），
∴DF＝DG．
【变式6-1】（2022•赤峰）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝AC．
（1）若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数；
（2）若BD⊥AC交AC于点E，请判断∠BAC 和∠DAC之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ACB＝∠ABC＝70°，再根据圆内接四边形的性质可求解；
（2）由可得直角三角形的性质∠ABE＝90°﹣∠BAC，∠ACB＝90°﹣∠CBE，结合圆周角定理可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝110°；
（2）∠BAC＝2∠DAC．
证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴∠BAC+∠ABE＝90°，∠ACB+∠CBE＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAC，∠ACB＝90°﹣∠CBE，
∵∠ABC＝∠ACB，∠ABE+∠CBE＝∠ABC，
∴90°﹣∠BAC+∠CBE＝90°﹣∠CBE，
∴∠BAC＝2∠CBE，
∴∠BAC＝2∠DAC．
【变式6-2】（2022秋•香洲区校级期中）画∠A，在∠A的两边分别取点B，点C，在∠A的内部取一点P，连接PB，PC．探索BPC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】先过点A、B、C作⊙O，分类讨论：当点P在⊙O上，根据圆内接四边形的性质得∠BPC+∠A＝∠B+∠C＝180°；当点P在⊙O内，即P点落在P1的位置，根据三角形外角性质易得∠BPC＝∠A+∠B+∠C；当点P在⊙O内，即P点落在P2的位置，则根据四边形的内角和得到∠BPC+∠A+∠B+∠C＝360°．
【解答】解：过点A、B、C作⊙O，如图，
当点P在⊙O上，则∠BPC+∠A＝∠B+∠C＝180°；
当点P在⊙O内，即P点落在P1的位置，则∠BPC＝∠A+∠B+∠C；
当点P在⊙O内，即P点落在P2的位置，则∠BPC+∠A+∠B+∠C＝360°．
【变式6-3】（2022•阜宁县二模）我们学过圆内接四边形，学会了它的性质；圆内接四边形对角互补．下面我们进一步研究．
（1）在图（1）中．∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角．请你探究∠DCE与∠A的关系．并说明理由．
（2）请你应用上述结论解答下题：如图（2）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD，AD 延长线上的点．如果DE平分∠FDC．求证：AB＝AC．
【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补和邻补角的定义证明结论；
（2）根据圆内接四边形的性质和圆周角定理证明∠ABC＝∠ACB，根据等角对等边得到答案．
【解答】解：（1）∠DCE＝∠A，
∵∠A+∠DCB＝180°，
∠DCE+∠DCB＝180°，
∴∠DCE＝∠A；
（2）∵已知ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC＝∠2，
∠ADB＝∠ACB，∠ADB＝∠1，
∠ACB＝∠1，
∵DE平分∠FDC，
∴∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
圆的内接四边形对角互补
四边形是的内接四边形