2023-2024学年陕西省渭南市蒲城县蒲城中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省渭南市蒲城县蒲城中学高二上学期期中数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若直线l的一个方向向量为，求直线的倾斜角（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出直线斜率，进而求出直线倾斜角即得.
【详解】直线l的一个方向向量为，则直线斜率为，
所以直线的倾斜角为.
故选：C
2．直线在轴、轴上的截距分别是 ( )
A．，B．，
C．，－2D．，－2
【答案】D
【分析】将直线方程化成截距式即可求出．
【详解】将直线方程化成截距式为，故该直线在x轴、y轴上的截距分别是，－2.
故选：D.
3．圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【分析】由圆的方程可得圆心坐标，再由点到直线的距离公式求解即得.
【详解】由圆可得圆心坐标为：(-1，2)，
所以圆心到直线的距离为.
故选：B
4．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的顶点和焦点，即可写出椭圆方程.
【详解】双曲线的焦点为，，顶点为，，
所以椭圆的焦点坐标为，，顶点为，，
所依椭圆的方程为.
故选：D
5．以为焦点的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意设抛物线方程为，结合焦点坐标求得，即可得出答案.
【详解】因为抛物线焦点为，所以可设抛物线方程为，
且，则，所以抛物线方程为．
故选：D．
6．椭圆C：的焦点为，，点P在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A．48B．40C．28D．24
【答案】D
【分析】根据给定条件结合椭圆定义求出，再判断形状计算作答.
【详解】椭圆C：的半焦距，长半轴长，由椭圆定义得，
而，且，则有是直角三角形，，
所以的面积为24.
故选：D
7．已知点，．若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将问题化为直线与圆有交点，注意直线所过定点与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求k的范围.
【详解】由题设，问题等价于过定点的直线与圆有交点，
又在圆外，所以只需，可得.
故选：D
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆相交于，两点，若四边形为矩形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知，，从而求得的值，根据椭圆的定义及椭圆的离心率定义，即可求得椭圆的离心率.
【详解】显然直线与交于原点，
所以，
若四边形是矩形，则，
由椭圆对称性知，，
则为等边三角形，所以，
在中，，
由椭圆定义知，
则.
故选：C.
二、多选题
9．关于椭圆：，下列叙述正确的是（ ）
A．焦点在轴上B．长轴长为4C．离心率为D．过点
【答案】BC
【分析】根据椭圆的标准方程，可判断A项；求出a，b，c的值，可判断B，C项；代入判断D项.
【详解】由已知，椭圆的焦点在轴上，a=2，，c=1，则长轴长为2a=4，离心率为.
将点代入椭圆方程左边得，不满足，即点不在椭圆上.
故选：BC.
10．对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为
B．开口向右，准线方程为
C．开口向右，焦点为
D．开口向上，准线方程为
【答案】AD
【分析】把抛物线化为标准形式，结合抛物线的几何性质，即可求解.
【详解】由题意，把抛物线化为标准形式，
则抛物线的开口向上，且，所以焦点为，直线方程为.
故选：AD.
11．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据直线过原点和不过原点两种情况讨论，分别设出所求直线的方程，结合过点，即可求解.
【详解】当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为，
因为直线过点，代入可得，即；
当所求直线过原点时，设直线方程为，
因为直线过点，代入可得，即，
综上可得，所求直线的方程为或.
故选：BC.
12．已知圆与圆有四条公共切线，则实数a的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由题意，两圆外离，从而由两圆圆心距离大于两圆半径的和即可求解.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径．
因为两圆有四条公切线所以两圆外离，又两圆圆心距，
∴，解得或.
故选：AD．
三、填空题
13．已知，是椭圆的左､右焦点，点P在C上，则的周长为 .
【答案】10
【分析】根据椭圆的定义计算．
【详解】由椭圆方程知，，在椭圆上，
所以．
故答案为：10．
14．若双曲线的焦距为，则双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【分析】先根据焦距求出，从而求出渐近线方程.
【详解】由题意得：，解得：，
则双曲线的渐近线方程为：
故答案为：
15．已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可.
【详解】由题意，表示圆，
故，即或，
点A（1，2）在圆C：外，
故，即
故实数m的取值范围为或，
故答案为：.
16．过圆外一点作圆的两条切线，切点A、B，则的外接圆的方程是 ．
【答案】
【分析】根据题意可知，的外接圆为四边形的外接圆，从而得到线段OP为外接圆的直径，其中点为外接圆的圆心，根据求出的圆心坐标和半径写出外接圆的方程即可．
【详解】由圆，得到圆心O坐标为，, ，
∴的外接圆为四边形的外接圆，如图所示，
又，∴外接圆的直径为，半径为，
外接圆的圆心C为线段OP的中点，即，
则的外接圆方程是．
故答案为：
四、解答题
17．求双曲线的实轴和虚轴长，焦点和顶点坐标，离心率和渐近线方程.
【答案】
答案见解析
【分析】j将双曲线方程变形为标准方程，再写出答案即可.
【详解】双曲线，则标准方程：，
则，
故实轴长：；
虚轴长：；
焦点坐标：，；
顶点坐标：，，
离心率：,
渐近线方程：.
18．已知直线，求：
(1)过点且与直线l平行的直线的方程；
(2)过点且与直线l垂直的直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两直线平行得到斜率，再利用点斜式写出方程；
（2）根据两直线垂直得到斜率，再利用点斜式写出方程.
【详解】（1）因为直线的斜率为，
所以与直线l平行的直线的斜率为，
又所求直线过，
所以所求直线方程为，即．
（2）因为直线的斜率为，
所以与直线l垂直的直线的斜率为，
又所求直线过，
所以所求直线方程为，即．
19．已知圆经过点、，圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆相交于、两点，，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出直线的中垂线方程联立直线方程即可得圆心坐标，进而可求半径，即可求出圆的方程；
（2）由可得点到直线的距离为1，由点到直线的距离公式即可列方程求解.
【详解】（1）的中点为，斜率，
则直线的中垂线为
联立，解得，
即，
圆的方程为.
（2）由于，点到直线的距离，
即，解得
20．求过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆方程.
【答案】.
【分析】根据题意设所求椭圆的方程为，代入点，求得的值，即可求得椭圆的方程.
【详解】由题意，所求椭圆与椭圆有相同焦点，可设所求椭圆为，
将点代入椭圆的方程，可得，解得，
又因为，所以，
所以所求椭圆的方程为.
21．若动圆与圆外切，又与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程.
【答案】
【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.
【详解】设动圆圆心为，半径为，
由已知可得圆的圆心为，半径．
因为两圆外切，所以．
又动圆与已知直线相切，
所以圆心到直线的距离，
所以，
即动点到定点的距离等于它到定直线的距离．
由抛物线的定义可知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
且，故动圆圆心的轨迹方程为.

22．设 是椭圆的下顶点，点在 上，求 的最大值.
【答案】
【分析】设椭圆上一点为，利用两点间距离公式求解 的最大值.
【详解】由B是椭圆 的下顶点，则 ,
设椭圆上一点为，则，
故
，
当时，取最大值为.