陕西省汉中市宁强县天津高级中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题

宁强县天津高级中学2021~2022学年度第一学期高二年级期中考试

数学试题

注意事项：

1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟；

2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名､准考证号，并认真核准条形码上的姓名､准考证号；

3.第I卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第II卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整､清晰；

4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.

第I卷（选择题共60分）

一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.2与8的等差中项是（    ）

A.    B.5    C.4    D.

2.若，则与的大小关系是（    ）

A.    B.    C.    D.

3.已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.    B.

 C.    D.

4.我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则第六圈的石板块数是（    ）

A.45    B.54    C.72    D.81

5.在各项均为正数的等比数列中，，则（    ）

A.1    B.2    C.3    D.9

6.在中，，则此三角形解的情况为（    ）

A.无解    B.一解    C.两解    D.解的个数不能确定

7.在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个常数叫做数列的公和.已知等和数列中，，公和为5，则（    ）

A.    B.2    C.    D.3

8.设，且，则的最小值是（    ）

A.30    B.27    C.12    D.6

9.在中，内角的对边分别为，若，则的形状是（    ）

A.锐角三角形    B.直角三角形

C.钝角三角形    D.不能确定

10.记为数列的前项和.若，则（    ）

A.有最大项，有最大项

B.有最大项，有最小项

C.有最小项，有最大项

D.有最小项，有最小项

11.如图，为了测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角为点的仰角为以及，从点测得，已知山高，则山高为（    ）

A.    B.    C.    D.

12.若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

第II卷（非选择题共90分）

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知等比数列中，，则该数列的公比为__________.

14.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是__________.

15.若实数满足约束条件则的最大值为__________.

16.已知，则下列函数中，最小值为2的函数有__________个.

①；

②；

③；

④.

三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

解下列不等式.

（1）；

（2）.

18.（本小题满分12分）

记为等差数列的前项和，已知.

（1）求的通项公式；

（2））求的最小值.

19.（本小题满分12分）

在中，内角的对边分别为，已知.

（1）求角的大小；

（2）若的面积为，求的值.

20.（本小题满分12分）

已知，且.

（1）求的最大值；

（2）求的最小值.

21.（本小题满分12分）

已知数列满足，且.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设数列满足，求数列的通项公式.

22.（本小题满分12分）

杭州市为迎接2022年的亚运会，规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图所示的五边形，运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车､公共器材车上或收容车上获得帮助.比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行.还需要运送一些补给物品，例如食物､饮料､工具和配件，所以项目设计需要预留出为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度）为赛道，.

（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道的长度；

①；②.

（2）在（1）的条件下，应该如何设计，才能使折线赛道最长（即最大），最长为多少？

宁强县天津高级中学2021~2022学年度第一学期高二年级期中考试

数学试题参考答案及评分标准

一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.B    2.A    3.C    4.B    5.B    6.C    7.D    8.D    9.C    10.A    11.D    12.A

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.    14.    15.9    16.2

三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17.解：（1）由可得，

解可得，，

故原不等式的解集为.

（2）由，可得，

解可得，，

故原不等式的解集为.

18.解：（1）设数列的公差为，

，

，解得，

.

（2）由（1）知，

，

.

19.解：（1）由已知及正弦定理可得，

，

易知，

.

（2）由（1）得，

，得，

，

由余弦定理得，，

.

20.解：（1），

，

当且仅当，即时取等号，

，

故的最大值为100.

（2），且，

，

当且仅当，即时取等号，

的最小值为.

21.解：（1）证明：将两边同时加上，

可得，

数列是首项为1，公比为3的等比数列.

（2）由（1）可知，

，

上面各式相加可得，

又当时，也满足上式，

数列的通项公式为.

22.解：（1）选择①，

在中，由正弦定理得：，得，

又，

在Rt中，，

服务通道的长度为.

选择②，

在中，由正弦定理得：，得，

在中，由余弦定理：，

得，

即，解得或（舍去），

服务通道的长度为.

（2）在中，由余弦定理：，

得，

得，得，

当且仅当时取等号，

故当时，折线赛道最长，最长为.