江苏省淮安市清江浦区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份江苏省淮安市清江浦区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了 一元二次方程的解是等内容，欢迎下载使用。

（考试时间120分钟 全卷满分150分)
提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．
一．选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．
1. 一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. ，D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据开平方法，可得方程的解．
【详解】解：，
移项，得：，
开方，得：，．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方，关键是掌握直接开平方的方法．
2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把2移项，然后两边同时加上4，即可得出答案．
【详解】解：由，得
，
配方，得
，
即，更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 故选：B．
【点睛】本题考查了配方法解方程，熟练掌握相关知识是解题关键．
3. 甲、乙、丙、丁四人各进行次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定即可求解．
【详解】解：∵，，，，
又∵，
最小．
射击成绩最稳定的是甲．
故选：A．
【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．熟知方差的意义是解题的关键．
4. 已知⊙O的半径为，如果一点P和圆心O的距离为，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O外D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】若⊙O的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在⊙O上；当时，点P在⊙O内；当时，点P在⊙O外．
【详解】解：∵点P和圆心O的距离等于⊙O的半径
∴点P在⊙O上
故选：B
【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟记相关结论即可．
5. 某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由元降为196元.若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设每次降价的百分率为，根据降价后的价格＝降价前的价格×（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
【详解】解：设每次降价的百分率为，根据题意得：
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程．
6. 如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为（ ）
A. 5分B. 4分C. 3分D. 2分
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形统计图及结合众数的求法可进行求解．
【详解】解：由扇形统计图可知分数为5分的占总数的，是最多的，所以众数为5分；
故选A．
【点睛】本题主要考查众数及扇形统计图，熟练掌握众数的求法是解题的关键．
7. 如图，四边形内接于，E为BC延长线上一点．若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据邻补角互补求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数，最后根据圆周角定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键．
8. 如图，，点O在边上，与边相切于点D，交边于点E，F，连接，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，先根据切线性质得到，再根据三角形的内角和定理求得，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵与边相切于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查切线性质、圆周角定理、三角形的内角和定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上．
9. 若一元二次方程有一根为，则＝__________．
【答案】2023
【解析】
【分析】将代入原方程，可得到关于、的等式，然后变形即可求得的值．
【详解】解：一元二次方程有一根为，
，
，
，
故答案为：2023．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立．
10. 如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知方程的根是_______．
【答案】，
【解析】
【分析】观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可．
【详解】解：通过观察表格可知：当和3时，，
∴方程的根是：，，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义．
11. 半径为3且圆心角为120°的扇形面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积计算公式进行求解即可．
【详解】解：由题意得，该扇形面积为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了扇形面积计算，熟知扇形面积计算公式是解题的关键，对于半径为r，圆心角度数为n的扇形，其面积为．
12. 已知圆锥的母线长是5，侧面积是15π则这个圆锥的半径是_________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应的数值代入求解即可．
【详解】解：设底面半径为R，则底面周长=2πR，
∴侧面积=，
∴R=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了圆的周长公式和扇形面积公式，解题的关键是掌握扇形的面积公式．
13. 若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形．
【答案】六
【解析】
【分析】由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数．
【详解】解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下：
∵半径与边长相等，
∴这个三角形是等边三角形，
∴正多边形的边数：360°÷60°＝6，
∴这个正多边形是正六边形
故答案为：六．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键．
14. 已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径＝___．
【答案】cm
【解析】
【分析】首先根据勾股定理的逆定理发现该三角形是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半进行计算．
【详解】解：，
是直角三角形，
则外接圆半径是斜边的一半，即为cm；
故答案为：cm．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的外接圆与外心，解题的关键是熟记直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半．
15. 如图，在四边形ABCD中，，，若，，则AB的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得在以为圆心，为半径的圆上，延长交圆于点，连接，则，证明，再利用勾股定理求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，∵，
∴在以为圆心，为半径的圆上，延长交圆于点，连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的确定，勾股定理的应用，作出合适的辅助圆是解本题的关键．
16. 如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为__________．

【答案】7
【解析】
【分析】先找出点的运动路线为以为直径的圆，设圆心为，作点关于直线的对称点，连接交于点，可推出的长即为的最小值，再求出的长即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
点的运动路线为以为直径的圆，
作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，，

则，，
，
的最小值为；
连接，
四边形是矩形，点是的中点，点为的中点，
，，，
四边形是矩形，
，
点关于直线的对称点，
，
在中，
由勾股定理，得，
的最小值为，
故答案为：7．
【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，能利用一条线段的长表示两线段的和的最小值是解题的关键．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【小问1详解】
解：，
，
，；
【小问2详解】
解：整理，得：，
，即，
，
，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射成功，神舟十五号与神舟十六号6名航天员胜利会师中国空间站．某校团委组织了“中国梦·航天情”系列活动，下面数据是八年级1班、2班两个班级在活动中各项目的成绩（单位：分）：
（1）如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请通过计算说明1班、2班哪个班将获胜；
（2）如果将知识竞赛、演讲比赛、手抄报创作按的比例确定最后成绩，请通过计算说明1班、2班哪个班将获胜．
【答案】（1）1班将获胜
（2）2班将获胜
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据和平均数的计算方法可以解答本题；
（2）根据加权平均数的计算方法可以解答本题．
【小问1详解】
1班的平均分为：（分），
2班的平均分为：（分），
∵，
∴1班将获胜；
【小问2详解】
由题意可得，
1班的平均分为：（分），
2班的平均分为：（分），
∵，
∴2班将获胜．
【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
19. 关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根不小于7，求的取值范围．
【答案】（1）见解析．
（2）．
【解析】
【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式得到，．根据题意得到，即可求得k的取值范围．
【小问1详解】
解：
，
∴方程总有实数根；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
解方程得：，，
由于方程有一个根不小于7，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．
20. 如图的直径与弦的延长线交于点，连接，若，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】连接，可知，由得，根据等边对等角得，，再由外角的性质得与的关系，从而得解．
【详解】解：
连接，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了圆的性质，等边对等角，外角的性质等知识，根据外角的性质弄清与的关系是解题的关键．
21. 为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析．
数据收集（单位：万元）：
5.0 9.9 6.0 5.2 8.2 6.2 7.6 9.4 8.2 7.8
5.1 7.5 6.1 6.3 6.7 7.9 8.2 8.5 9.2 9.8
数据整理：
数据分析：
问题解决：
（1）填空：______，______．
（2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有______名员工获得奖励．
（3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．
【答案】（1），
（2）
（3）理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给数据可得的值及按从小到大顺序排列，第10位和第11位分别是7.6，7.8，可得中位数；
（2）根据频数分布表求得答案；
（3）利用中位数的含义进行决策比利用平均数作决策更合理，从而可得答案．
【小问1详解】
解：该组数据中有4个数在7与8之间，故，
将20个数据按从小到大顺序排列，第10位和第11位分别是7.6，7.8，故中位数；
【小问2详解】
月销售额不低于7万元的有：（人），
【小问3详解】
7.5万元小于中位数7.7万元，有一半多的员工销售额比7.5万元高，故员工甲没拿到奖励．
【点睛】本题考查频数分布表，平均数，中位数，利用中位数做决策等，解题的关键是掌握中位数的求法及意义．
22. 为了便于劳动课程开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．

【答案】的长为米或米
【解析】
【分析】设米，则米，根据矩形生态园面积为，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设米，则米，根据题意得，
，
解得：，
答：的长为米或米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
23. 如图，在一张四边形的纸片中，， ，，以点A为圆心，2为半径的圆分别与、交于点E、F．

（1）求证：与相切；
（2）过点B作的切线．（要求：用无刻度直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）过点A作于点，证明为等腰直角三角形，求出， 根据的半径为，得出是的半径，即可证明结论；
（2）作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求．
【小问1详解】
证明：如图，过点A作于点，

∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵的半径为，
∴是半径，又，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求，

∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴是的切线．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握圆的切线判断方法．
24. 如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点． 仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图 ．

（1）如左图， A、B、C三点是格点，画出经过这三点的圆的圆心O ；
（2）如右图， A、B、C、Q四点是格点，在劣弧上找一点D，使得弦 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
分析】（1）根据两直径相交于圆心，进而可求解．
（2）根据直径垂直平分弦，作弦的垂线即可求解．
【小问1详解】
解：连接，，作网格直线，
，且平分，
经过直径，
，
是直径，
则与的交点O即为圆心O，
如图所示，即为所求：
【小问2详解】
连接，取格点E，连接，则是垂线，与圆相交于D，连接，，
由（1）得：直径，
是线段的垂直平分线，
是等腰三角形，
，
又，
，
如图，点D即为所求：
【点睛】本题考查了作图——尺规作图、垂径定理，熟练掌握直径垂直平分弦及两直径相交于圆心是解题的关键．
25. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出30件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出3件．设每件服装降价元．
（1）则每天销售量增加 件，每件服装盈利为 元（用含的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1800元？
【答案】（1），
（2）每件服装降价元时，商家平均每天能盈利1800元
【解析】
【分析】（1）依据题意列代数式即可；
（2）设每件服装降价元，则每件销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用每天销售该款服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合需要让利于顾客进行判断，从而得解．
【小问1详解】
解：设每件服装降价元，
每件服装降价1元，平均每天可多售出3件，则每天销售量增加件；
服装每件进价为80元，销售价为120元，每件服装盈利为元；
故答案为：，；
【小问2详解】
依题意得，
整理得，
解得，，
由于要对顾客更有利，
答：每件服装降价元时，商家平均每天能盈利1800元
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26. 如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B匀速运动，点Q以的速度向终点D匀速运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．

（1）当时，求四边形的面积；
（2）当t为何值时，为？
（3）当___，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】（1）
（2）或
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）先求出，再直接用梯形的面积公式即可；
（2）分当，当，两种情况过点作于点，先表示出，再用勾股定理建立方程求解即可；
（3）分三种情况，利用勾股定理建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，，，，
∵在矩形中，，
∴，，
，．
当时，，，
，
．
【小问2详解】
解：如图1所示，当，即，即时，
过点作于点，则四边形是矩形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
或(舍去)．

如图2，当，即，即时，
过点作于点，则四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
或(舍去)．

综上所述：当为或时，为．
【小问3详解】
解：在中，由勾股定理得，
∴，．
点，，为顶点的三角形是等腰三角形，，
①当时，即：，
，
(舍去)或．
②当时，即：，
，
(舍去)或．
③当时，即，，
或．
综上所述：当的值为或或或时，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，解本题的关键是用时间表示出，用方程的思想是解本题的难点．
27. 在一次数学兴趣小组活动中，小亮利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小亮一起进入探索之旅．
【问题探索】
（1）如图1，点A、B、C、D在上，点E在外，且．则 ， ， （填“＞”、“＜”或“＝”）
操作实践】
（2）如图2，已知线段和直线m，用直尺和圆规在直线m上作出所有点P，使．（要求：用无刻度的直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹，不写作法）
【迁移应用】
（3）请运用探索所得的学习经验，解决问题：如图3，已知的半径为4，，点A为优弧上一动点，交AC的延长线于点D．
①求的度数；
②面积的最大值．
【答案】（1）45；90；＜；（2）见解析；（3）①；②
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等求出，同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍求得，设与的交点为F，连接，利用三角形外角性质判断；
（2）以线段为边作等边，再以点O为圆心为半径作圆，与m的交点即为点P，根据圆周角定理即可得到，此时点P即为所求；
（3）①连接，由勾股定理逆定理得，得到，由此求出，再根据，得到； ②由①知，，，
由探索知点D在如图所示的以为圆心，圆心角的优弧上，当点D为的中点时，的面积最大，根据等腰三角形的性质得到，求出，即可求出的最大面积为：．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
设与的交点为F，连接，
∵，，
∴，
故答案为：45；90；＜；
（2）如图所示，，即为所求作的点；
（3）①连接，
∵半径为4，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
②由①知，，，
由探索知点D在如图所示的以为圆心，圆心角的优弧上，
当点D为的中点时，的面积最大，
此时，在等腰直角中，，
∴，
∴，
∴，
即的最大面积为：．
【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，圆心角与圆周角关系，正确理解圆周角定理是解题的关键．0
1
2
3
…
6
2
0
0
2
6
…
班次项目
知识竞赛
演讲比赛
手抄报创作
1班
85
91
88
2班
90
84
87
销售额/万元
频数
3
5
a
4
4
平均数
众数
中位数
7.44
8.2
b