2023-2024学年江苏省南通市南通西藏民族中学九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市南通西藏民族中学九年级上学期期中数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级数学
一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下面所列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件是必然事件的是（ ）
A．明天一定下雪B．抛掷一枚普通硬币，得到正面朝上
C．经过有信号灯的路口，遇见绿灯D．直角三角形的两个锐角互余
3．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
4．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为5作圆，则原点一定（ ）
A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．与圆相交
5．若二次函数的图象经过点P（1，a），则a的值为（ ）
A．B．1C．2D．4
6．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点；恰好落在线段上，则线段的长为（ ）
A．B．C．3D．
7．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，圆上依次有四个点，交于点，连接，若，，则图中度数为的角是（ ）

A．B．C．D．
9．设，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，的半径为5，弦，，垂足为点P，则CP的长等于（ ）

A．2B．2.5C．3D．4
11．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．平行
12．如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：

①；
②；
③；
④关于x的一元二次方程的两根分别为和1；
⑤若点，，均在二次函数图象上，则；
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．若，则点关于原点对称的点的坐标为 ．
14．王芳抛一枚硬币10次，有8次正面朝上，当她抛第11次，正面朝上的概率 ．
15．如图，圆周角，则圆心角的度数是为 ．

16．如图，二次函数的图象过点且对称轴为直线，则关于的一元二次方程的解为 ．
17．若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
18．如图，二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，在抛物线的对称轴上有一动点，连接和，则的最小值是 ．

三、解答题（本大题共9小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．解方程：．
20．如图，中，弦与相交于点H，，连接、．求证：．

21．某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有64个人被感染．求每轮感染中平均一个人会感染几个人．
22．如图．已知的顶点的坐标分别是．

(1)作出关于原点中心对称的图形；
(2)将绕原点O按顺时针方向旋转后得到，画出．
(3)写出点的坐标 ，点的坐标 ．
23．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)当时，求的值．
24．学生社团是指学生在自愿基础上结成的各种群众性文化、艺术、学术团体．不分年级、由兴趣爱好相近的同学组成，在保证学生完成学习任务和不影响学校正常教学秩序的前提下开展各种活动．某校就学生对“篮球社团、动漫社团、文学社团和摄影社团”四个社团选择意向进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）请根据图中信息，解答下列问题：
(1)扇形统计图中______，并补全条形统计图；
(2)已知该校有1200名学生，请估计“文学社团”共有多少人？
(3)在“动漫社团”活动中，甲、乙、丙、丁四名同学表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加“中学生原创动漫大赛”，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲、乙两位同学的概率．
25．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销售将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）．
（1）求与的函数关系式；
（2）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
26．如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
27．如图，抛物线过点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；
(3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案与解析
1．C
【分析】根据中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、B、D不能找到一点，使其绕该点旋转180度后与原来图形重合，故A、B、D不是中心对称图形，不符合题意；
C能找到一点，使C绕该点旋转180度后与原来图形重合，故C是中心对称图形，符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：A.明天一定下雪，是随机事件，故A不符合题意；
B.抛掷一枚普通硬币，得到正面朝上，是随机事件，故B不符合题意；
C．经过有信号灯的路口，遇见绿灯，是随机事件，故C不符合题意；
D．直角三角形的两个锐角互余，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义，掌握定义是解题的关键．
3．A
【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
4．C
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，求出原点到圆心的距离，再与半径作比较，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
原点到圆心的距离，
∵半径为5，
∴原点在圆上，
故选：C．
【点睛】
5．C
【详解】把点P（1，a）代入二次函数即可解得a=2，
故答案选C．
6．D
【分析】由含角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，首先根据旋转的性质得到是等边三角形，由此得到旋转角是，然后证明是等边三角形即可求解．
【详解】解：在中，，
，
，
，
∵将绕点逆时针旋转，得到，
，
，
是等边三角形，
，
∵将绕点逆时针旋转，得到，
，
是等边三角形，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，得出是等边三角形，由此得到旋转角是，是解此题的关键．
7．B
【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，
根据题意得，．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
8．C
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，再利用外角可得即可得到结论．
【详解】解：，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等及外角的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
9．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴为直线，再根据点到对称轴的距离从小到大为A，B，C，依据抛物线开口向上，则点到对称轴的距离越小，对应的y值越小，即可得到、、的大小关系．
【详解】解：
∴抛物线对称轴为直线，
∵，，
∴到对称轴的距离从小到大为A，B，C，
∵抛物线开口向上，
∴到对称轴的距离越小，对应的y值越小，
∴、、的大小关系为
故选：C．
10．A
【分析】如图，连接，由垂径定理得，，由题意知，由勾股定理得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，

由垂径定理得，，
由题意知，
由勾股定理得，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
11．C
【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【详解】∵，
∴，，
∵的半径为一元二次方程的根，
∴，
∵，
∴直线l与的位置关系是相离，
故选：C．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
12．B
【分析】根据抛物线的开口方向、与y轴的交点情况及对称轴即可判断①；根据对称轴得，进而可判断②；将代入原函数即可判断③；根据抛物线与x轴的一个交点为，结合对称轴可得另一个交点坐标，进而可判断④；根据点，，到对称轴的距离结合抛物线的开口向上，即可判断⑤．
【详解】解：①∵二次函数图象开口向上，且与y轴负半轴相交，
，，
又对称轴，
，
，故①正确；
②由①得：，则，则②错误；
③∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，
∴当时，，故③正确；
④根据抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为可知：
抛物线与x轴的另一个交点为：，
∴关于x的一元二次方程的两根分别为和1，故④正确；
⑤点到对称轴的距离为：，
点到对称轴的距离为：，
点到对称轴的距离为：．
∵抛物线开口向上，
，故⑤错误，
则结论正确的个数有3个，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
13．
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标和绝对值非负性的应用：先根据，得，则点关于原点对称的点的坐标的对应的横坐标互为相反数，对应的纵坐标互为相反数，据此即可作答．
【详解】解：∵
∴
∴点关于原点对称的点的坐标是
故答案为：
14．
【分析】根据一枚硬币只有正反两面，抛掷硬币正反出现的概率是相同的即可得到答案．
【详解】解：一枚硬币只有正反两面，抛掷硬币正反出现的概率是相同的，
抛掷一枚硬币，硬币落地后，正面朝上的概率是，
当她抛第11次，正面朝上的概率，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是概率的公式，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概率都是一致的，与次数无关．
15．
【分析】作所对的圆周角，如图，先利用圆内接四边形的性质得到，然后根据圆周角定理得到的度数．
【详解】解：作所对的圆周角，如图，

四边形为的内接四边形，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．作所对的圆周角是解决问题的关键．
16．，
【分析】根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，然后根据图象即可求得时x的取值范围．
【详解】解：由图像可知：抛物线与x轴交于，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一交点为：，
∴的解为，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与方程的关系，求得抛物线与x轴的交点是解题的关键．
17．2
【分析】根据根与系数的关系得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
18．
【分析】作点C关于抛物线对称轴的对称点D，可得，由此可解．
【详解】解：如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接，连接交对称轴于点，

则，
令，
解得，，
．
令，则，
．
又抛物线对称轴为直线，点C与点D关于对称轴对称，
．
，
的最小值是．
【点睛】本题考查抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点坐标，线段的最值问题，两点间距离公式等，解题的关键是掌握抛物线的对称性．
19．
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴或，
解得：．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．见解析
【分析】利用证明，得出．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
21．每轮感染中平均一个人会感染7个人
【分析】设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据题意列出关于x的一元二次方程，再求解取出符合题意的值即可．
【详解】设每轮感染中平均一个人会感染x个人，由题意得，
，
即，
∴，
∴或，
∴，（舍去），
答：每轮感染中平均一个人会感染7个人．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，正确列出方程是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)；
【分析】（1）分别作点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可；
（2）分别将三个点绕原点顺时针旋转，得到三个点，再依次连接即可；
（3）观察图象得到点和的坐标即可．
【详解】（1）解：即为所求作的三角形，如图所示．

（2）解：即为所求作的三角形，如图所示．

（3）解：点的坐标为和的坐标．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了作旋转图形，作中心对称图形，找到图形的顶点是作图的关键．
23．(1)
(2)2
【分析】根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；
根据根与系数的关系得到，然后解关于的方程即可．
【详解】（1）根据题意得，
解得，
即的取值范围为；
（2）根据根与系数的关系得，
，
，
解得，
而，
的值为．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，解题的关键是懂得方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0．
24．(1)20；补全图形见解析
(2)300人
(3)
【分析】（1）用类别人数除以其占总人数的比例可得总人数，再求出类别的人数，由的人数可得其所占百分比，由得人数即可补全条形图；
（2）用1200乘以文学社团所占得比例即可；
（3）首先根据题意列出表格，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】（1）解：本次调查的总人数为（人）,
类别人数为：,
则,
．
补全图形如下：
；
（2）解：估计“文学社团”共有 （人）；
（3）解：列表得：
共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙两位同学的有2种情况，
恰好选中甲、乙两位同学的概率为.
【点睛】本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，需要注意概率=所求情况数与总情况数之比．
25．（1）；（2）；当为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
【分析】（1）根据题意得到函数解析式；
（2）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）根据题意得，，
故与的函数关系式为；
（2）根据题意得，，
，
当时，随的增大而增大，
当时，W最大，
答：当为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
【点睛】本题考查了二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
26．(1)见详解
(2)的半径为
【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及等腰三角形的性质等知识点，
（1）由圆周角定理及等腰三角形的性质可得，经过角的转化即可证明，再根据切线的判定定理可得答案；
（2）设圆的半径为r，在中，由勾股定理可得关于r的方程，求出r的值，再根据等角，利用三角函数即可求出的值．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵为直径，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
又点是的中点
∴，
∴，
即
∴，
则为的切线．
（2）解：设半径为r,
∵为的切线，
∴，
即为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为．
27．(1)
(2)的最大面积为，
(3)存在，或或，，见解析
【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；
（2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；
（3）分两种情况进行分析：若为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，将点B、C代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：

∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大面积为，
，
∴
（3）存在，或或，，证明如下：
∵，
∵抛物线的解析式为，
∴对称轴为：，
设点，
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
综上可得：
或或，．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）