2024届西藏林芝市第二高级中学高三上学期第一次月考数学（理）试题含解析

这是一份2024届西藏林芝市第二高级中学高三上学期第一次月考数学（理）试题含解析，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解作答.
【详解】因集合，，所以.
故选：B
2．在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
3．已知命题：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”即可判断
【详解】全称命题的否定，“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”.
故选：B.
4．设集合，若，则的值为（ ）．
A．，2B．C．，，2D．，2
【答案】D
【分析】由集合中元素确定性得到：，或，通过检验，排除掉.
【详解】由集合中元素的确定性知或．
当时，或；当时，．
当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求．
综上，或．
故选：D．
5．已知向量，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用平面向量的加法法则，直接计算可得答案.
【详解】向量，，则.
故选:C
6．若复数是纯虚数，则实数m等于（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】A
【分析】根据纯虚数的特征，列式求解.
【详解】由题意可知，解得：.
故选：A
7．若集合，集合，则“”是“”成立的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据交集的定义结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】解：由，得，则，充分性成立；
由，得，得，必要性成立，
所以“”是“”成立的充要条件.
故选：A.
8．已知函数，则，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】考虑和两种情况，解得，代入函数计算得到答案
【详解】，①无解；②，解得，故.
则.
故选：.
【点睛】本题考查了分段函数的求值，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握.
9．若实数满足约束条件，则的最大值是
A．B．1
C．10D．12
【答案】C
【解析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.
【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.
【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.
10．记，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性得到的范围，利用中间值比大小.
【详解】，，，
故.
故选：A
11．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先证明为奇函数可淘汰C，D选项，再利用趋向于正无穷时，可得到也趋向于正无穷，故淘汰A，即可得到答案
【详解】解：由可得定义域为，
因为
所以为奇函数，故淘汰C,D选项，
当趋向于正无穷时，趋向于正无穷，趋向于0，趋向于正无穷，
而且指数函数趋向于正无穷的增长速率远远超过趋向于正无穷的增长速率，
所以当趋向于正无穷时，趋向于正无穷，故淘汰A，
故选：B
12．已知复数满足，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算可得，结合共轭复数可得，进而可求模长.
【详解】由题意可得：，
则，
所以.
故选：B.
二、填空题
13．函数的定义域是 .
【答案】.
【分析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.
【详解】由已知得,
即
解得，
故函数的定义域为.
【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
14．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 .
【答案】3
【分析】根据向量的数量积公式，直接计算可求解.
【详解】向量，的夹角的余弦值为，，
，，
得.
故答案为：3
15．若直线过点，则的最小值等于
【答案】4
【分析】利用“1”的代换结合基本不等式求解
【详解】∵直线过点
∴
∴，当且仅当a=b=2等号成立
∴的最小值等于4
故答案为：4
16．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为 .
【答案】
【分析】根据及向量的复数表示运算得到答案.
【详解】复数与分别表示向量与，
，所以表示向量的复数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了向量与复数的关系,向量的运算和复数的运算，属于基础题.
三、解答题
17．已知等差数列满足，前4项和．
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列关于和的方程组，解方程求得和的值，即可求解；
（2）等比数列的公比为，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得和的值，即可求解.
【详解】（1）设等差数列首项为，公差为d．
∵
∴
解得：
∴等差数列通项公式
（2）设等比数列首项为，公比为q
∵
∴
解得：
即或
∴等比数列通项公式或
18．设函数.
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)写出的单调区间.
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)增区间为，无减区间.
【分析】（1）应用定义判断的奇偶性；
（2）应用复合函数的单调性确定的单调区间.
【详解】（1）为奇函数，证明如下：
由解析式知：的定义域为，关于原点对称，
，
所以为奇函数.
（2）在，令，则在上递增，
而在上递增，故在上递增；
由奇函数性质知：在上递增；
所以的递增区间为、，无递减区间.
19．已知椭圆的一个焦点为.
(1)求出椭圆的方程；
(2)求出椭圆的离心率及其长轴长.
【答案】(1)
(2)离心率，长轴长
【分析】由椭圆方程和焦点坐标得b，c的值，求得椭圆方程和离心率，长轴长.
【详解】（1）由焦点坐标为，所以椭圆焦点在x轴上，
所以，椭圆方程为：.
（2）由第一问，得，，
所以椭圆的离心率为，长轴长.
20．已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）设，则.
当时，，
所以在区间上单调递减.
所以对任意有，即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.
21．已知函数
(1)当时，求的函数值；
(2)若有三个零点，求的取值范围.
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）根据解析式直接求函数值；
（2）利用函数的导数与单调性、极值的关系列出不等式求解即可.
【详解】（1）当时，,则.
（2）,
若，则，则函数在上单调递增，
此时函数至多有一个零点，不满足题意；
若，令，解得或，
令，解得，
所以函数在单调递增，单调递减，单调递增，
要使函数有三个零点，只需，
即，解得，
综上，.
22．在平面直角坐标系中，已知直线：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的互化即可求解，
（2）联立直线与曲线方程，根据直线方程中的参数的几何意义即可结合韦达定理求解.
【详解】（1）由两边同乘,即.
由,得曲线的直角坐标方程为
（2）将代入,得,
设A,B对应的参数分别为则
所以.
由参数的几何意义得