2023届西藏林芝市第二高级中学高三上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

2023届西藏林芝市第二高级中学高三上学期第二次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简集合，然后利用并集的定义运算即得.

【详解】∵，，

∴.

故选：B.

2．已知命题．则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据特称命题的否定是全称命题得出答案．

【详解】∵特称命题的否定是全称命题，∴为：

故选：A．

3．已知复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在第（    ）象限

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】A

【分析】根据复数的乘方和除法运算法则化简复数，进而得到其共轭复数，从而确定其在复平面内的点，确定所在象限.

【详解】由题意得，

所以，在复平面中对应的点为，在第一象限.

故选：A.

4．已知平面向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由向量垂直的坐标表示求得，再利用向量模的坐标公式即可求得的值.

【详解】因为，，且，

所以，即，故，

所以，

故.

故选：A.

5．如图是一个边长为5的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷500个点，其中落入白色部分的有160个点，据此可估计黑色部分的面积为（    ）

A．17 B．14 C．11 D．8

【答案】A

【分析】根据面积型几何概型的概率公式计算可得；

【详解】解：依题意，，

所以；

故选：A

6．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用对数函数的单调性比较与，与的大小关系，即可得出答案．

【详解】因为，，，

所以．

故选：D．

7．已知某产品的营销费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的统计数据如表所示：

根据上表可得y关于x的回归直线方程为，则当该产品的营销费用为6万元时，销售额为（   ）A．40.5万元              B．41.5万元              C．42.5万元              D．45万元

【答案】C

【分析】利用平均数的公式及样本的中心在回归直线方程上，求出回归直线方程，再将代入回归直线方程即可求解.

【详解】由题中表格数据可知，，因为回归直线一定经过点，所以，解得，

所以回归直线方程为，将代入，得.

所以当该产品的营销费用为6万元时，销售额为42.5万元.

故选:C.

8．为等差数列的前项和，如果，那么的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用等差数列求和公式结合等差中项的性质直接可得解.

【详解】由已知得，

解得，

故选：B.

9．函数的图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数的图象和性质即得.

【详解】由对数函数性质知为增函数，故排除BD；

当时，，即函数过点，排除C.

故选：A．

10．函数的定义域是（    ）

A．（-∞，2） B．[1，2） C．[1，2] D．[1，+∞）

【答案】A

【分析】根据对数型函数的真数大于0即可求解.

【详解】由题意得，∴．

故选:A．

11．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出定义域，在利用二次函数单调性判断出结果.

【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为，

因为在上单调递增，所以在上单调递增，

故选：D.

12．有下列四个命题：

①“若，则互为倒数”的逆命题;

②“面积相等的三角形全等”的否命题;

③“若，则有实数解”的逆否命题;

④“若，则”的逆否命题．

其中真命题为（    ）

A．①② B．②③ C．④ D．①②③

【答案】D

【分析】写出命题①的逆命题，再判断真假；

写出命题②的否命题，再判断真假；

判断出命题③是真命题，得到③的逆否命题也是真命题；

判断出命题④是假命题，得到④的逆否命题也是假命题.

【详解】①的逆命题为：“若x，y互为倒数，则”,显然是真命题；

②的否命题为：“面积不相等的三角形不是全等三角形”，为是真命题；

命题③：当时，，则有实数解，

故③是真命题，所以它的逆否命题也是真命题；

命题④：若，则，故④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．

故选：D．

二、填空题

13．已知函数，则的值为________

【答案】－3

【分析】由分段函数的定义计算，注意自变量的取值范围．

【详解】，，

∴．

故答案为：．

14．已知，______．

【答案】##

【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可求得结果.

【详解】因为，因此，.

故答案为：.

15．已知向量与的夹角为，且，，则的值为________．

【答案】－6

【分析】由数量积的定义计算．

【详解】．

故答案为：．

16．某校为研究该校学生性别与体育锻炼的经常性之间的联系，随机抽取100名学生（其中男生60名，女生40名），并绘制得到如图所示的等高堆积条形图，则这100名学生中经常锻炼的人数为_______．

【答案】68

【分析】根据等高堆积条形图进行数据分析，即可得到答案.

【详解】由等高堆积条形图进行数据分析，这100名学生中经常锻炼的人数为：.

故答案为：68

三、解答题

17．已知复数．

(1)当复数z是纯虚数时，求实数m的值；

(2)若复数z对应的点在直线上，求实数m的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由复数z是纯虚数可得其实部为零，虚部不为零，从而可求出实数m的值；

（2）由题意可得实部等于虚部，从而可求出实数m的值.

【详解】（1）由题意有即，解得，

所以当时，复数z纯虚数．

（2）由题意复数z对应的点在直线上，

则有，解得，

所以当时，复数z对应的点在上．

18．在等比数列中，，，在等差数列中，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据条件求出公比，进而求出首项，得到通项公式；

（2）在第一问基础上结合，求出公差和通项公式，进而求出.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

则，

因为，

所以，

所以；

（2）设等差数列的公差为，

由（1）可知：，

故，

解得：，

所以数列的通项公式：，

.

19．某地区对高一年级学生进行体质健康测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测结果等级（“良好及以下”或“优秀”）进行分析．得到如下列联表：

(1)计算并判断是否有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系？

(2)事先在本次体测等级为“优秀”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了6人．若从这6人中随机抽取2人对其体测指标进一步研究，求抽到的2人中至少有1名女生的概率．

附表及公式：

其中，．

【答案】(1)有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系

(2)

【分析】（1）按由题可得，进而即得；

（2）利用列举法结合古典概型概率公式即得。

【详解】（1）由题可得，

故有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；

（2）由题可得所抽取的6名学生中女生2人，记为，，男生4人，记为，，，．

从这6人中选取2人的所有基本事件有：，，，，，，，

，，，，，，，，共15个．

其中至少有一名女生的基本事件，，，，，，，，，有9个．

所以，抽到的2人中至少有1名女生的概率．

20．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，随机变量X表示“正面朝上”出现的次数．求：

(1)求X的分布列；

(2)求．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）根据二项分布即可求解概率以及分布列.（2）由二项分布的期望公式即可求解.

【详解】（1）由题意，抛一枚均匀的硬币，正反面朝上的概率均为，

所以将一枚均匀的硬币重复抛掷4次，正面朝上的次数，故

即 ,     ,  ,

  ,  ；

X的分布列如下:

（2）,

21．已知数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项.

(1)求的通项公式及前项和；

(2)设，求数列 的前项和.

【答案】(1),

(2)

【分析】(1)利用等差中项的性质结合等比数列的通项公式和前项和的定义可求解;(2)利用裂项相消法求和.

【详解】（1）设数列是公比为,

因为是与的等差中项,

所以即,

因为,所以,解得,

所以,.

（2）由(1)知，，

所以

.

即数列 的前项和.

22．在直角坐标系中， 直线的参数方程为(是参数)， 以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线的极坐标方程为．

(1)求直线的普通方程和的直角坐标方程;

(2)若点的直角坐标为， 且直线与交于两点， 求的值;

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）首先消去参数即可得到直线的普通方程，再根据，即可得到C的直角坐标方程.

（2）首先直线l的参数方程代入C的直角坐标方程中，再根据直线参数方程的几何意义求解即可.

【详解】（1）因为直线l的参数方程为（t是参数），消去参数t，

得，

即直线l的普通方程为．

将，代入C的极坐标方程，得，

即，

所以C的直角坐标方程为．

（2）因为点P的直角坐标为，所以直线l过点P．

将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程中，

得，

设A，B两点对应的参数分别为，，又，

所以，，

所以．