2024届天津市新华中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2024届天津市新华中学高三上学期第一次月考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别求得集合中元素具体的值或范围，再求两者的交集.
【详解】依题意,由解得，故，故选D.
【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．设，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可．
【详解】解：若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，
若“（a﹣b）a2＜0，则a＜b且a≠0，则a＜b成立，
故“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断即可．
3．函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
4．已知，，，则的大小关系为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】利用等中间值区分各个数值的大小．
【详解】，
，
，故，
所以．
故选A．
【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．
5．在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则的面积为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【分析】根据题中条件结合余弦定理先求得，进而利用面积公式求解.
【详解】解：∵，∴
∴，
∵，
∴，∴，
∴，
故选：D.
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由平方得到，再利用平方关系求解.
【详解】解：因为，，
所以，
由两边平方得，
即，
所以，.
故选：B.
7．设是定义域为R的奇函数，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可
【详解】解：因为是定义域为R的奇函数，
由，得，
该函数的周期为2，
所以.
故选：A
8．已知是奇函数，关于该函数，有下列四个说法：
（1）的最小正周期为；
（2）在上单调递增；
（3）当时，的取值范围为；
（4）的图象可由的图象向左平移个单位长度得到.
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，即可得出结论.
【详解】∵定义在R上的函数是奇函数，
即
，
∴最小正周期为，故①错误；
∵当时，，由复合函数的单调性知，内函数是单调递增，
外函数在也是单调递增，
∴函数在上单调递增，故②正确；
∵当时，，
∴的取值范围为，故③错误；
∵函数的图象可由得图象向右平移个单位长度得到，故④错误.
故选：A.
9．已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值即得.
【详解】解：由题意可知：若关于的不等式在上恒成立，
①当时，恒成立，
即有恒成立，
由的对称轴为，可得处取得最大值，
由的对称轴为，可得处取得最小值，
则，
②当时，恒成立，
即有恒成立，
由，（当且仅当）取得最大值，
由，（当且仅当）取得最小值2，
则，
综上所述，若关于的不等式在上恒成立，则①②必须同时满足，可得.
故选：B.
二、填空题
10．命题，的否定是 .
【答案】，.
【分析】根据给定条件利用含有一个量词的存在量词命题的否定直接写出即可得解.
【详解】命题，是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题，的否定是，.
故答案为：，.
11．若幂函数过点，则函数的单调减区间是 .
【答案】
【分析】由题意求出，然后求出对数型函数的定义域，根据内函数在上为减函数，结合复合函数的单调性可得原复合函数的单调减区间.
【详解】解：∵幂函数过点，∴，即.
则函数.
由，解得：或.
∴函数的定义域为，
函数在上为减函数，而外函数为定义域内的增函数，
∴函数的单调减区间为.
故答案为：.
12．已知，则 .
【答案】2
【分析】先根据对数的定义求出，再根据换底公式和对数的运算性质计算即可.
【详解】由题意可得，，则，，
故.
故答案为：2.
13．函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 .
【答案】
【分析】由已知条件可得，其中、，可得出，根据正弦型函数的周期性可求得的值，结合可求得的值，可得出函数的解析式，代值计算可得的值.
【详解】因为函数，，其中，.
若，，则，其中、，
所以，
又，所以，所以，，
由得，故，于是.
故答案为：.
三、双空题
14．若实数，满足，且，则的最小值为 ；的最大值为 .
【答案】
【分析】根据题意，，且，由对数的运算得出，利用基本不等式的性质直接求解可得的最小值，通过转化，再运用基本不等式即可求得答案．
【详解】解：，，
实数、满足，
（当且仅当，时等式成立），
，
当且仅当，时等式成立．
故答案为：，．
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及对数函数的运算，考查学生的转化思想．
四、填空题
15．设，函数，若在区间内恰有4个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】分类讨论，分在区间有4个零点且在区间没有零点，在区间有3个零点且在区间有1个零点和在区间有2个零点且在区间有2个零点三种情况求解即可.
【详解】作出的图像，左侧是正弦型函数的，右侧是开口向上，可以上下平移对称轴为的二次函数.
①当在区间有4个零点且在区间没有零点时，满足，无解；
②当在区间有3个零点且在区间有1个零点时，满足，
或者，解得；
③当在区间有2个零点且在区间有2个零点时，
满足，解得
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
五、解答题
16．已知函数，.
(1)求的最小正周期，对称轴方程，对称中心坐标；
(2)求在闭区间上的最大值和最小值，
【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，对称中心坐标为
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、图象的对称性，得出结论.
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得在闭区间上的最大值和最小值.
【详解】（1）解：因为函数
所以函数的最小正周期为，
令，可得对称轴方程为；
再令，解得，
所以函数对称中心坐标为.
（2）解：由（1）知，函数，
因为，可得，则，
可得.
所以函数在闭区间上的最大值为，最小值为.
17．在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出．
【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
．
18．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求在上的解析式；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)关于的方程在上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据函数的奇偶性求出m的值，进而求出函数的解析式即可；
(2)利用分离参数法将原不等式转化为在上恒成立，结合函数的单调性求出即可；
(3)令，将原方程转化为直线与函数的图象有两个交点．利用数形结合的思想即可求解.
【详解】（1）依题意得，解得，
经检验，符合题意.
当时，，则，
因为是定义在R上的奇函数，所以，
即当时，；
（2）当时，恒成立，即恒成立．
设，易知在上是减函数，，
所以，即实数a的取值范围为；
（3）方程在上有两个不相等的实根，
即函数在上有两个零点，
令，
则关于t的方程在上有两个不相等的实根，
由于，
则直线与的图象有两个交点．如图，
因为在上单调递减，在上单调递增，
且，，，所以，
解得，即实数n的取值范围为．
19．已知函数，，.
（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；
（Ⅱ）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的，证明：当时，.
【答案】（Ⅰ）a=切线的方程为
（Ⅱ）
（Ⅲ）证明见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）=,=(x>0),
由已知得 解得a=，x=e2,
∴两条曲线交点的坐标为(e2,e) 切线的斜率为k=f’(e2)=
∴切线的方程为 y－e= (x－e2)
(II)由条件知h(x)=–aln x(x＞0),
（i）当a>0时，令解得，
∴当0 << 时，，在（0，）上递减；
当x>时，，在上递增.
∴是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.
∴最小值
（ii）当时，在（0，+∞）上递增，无最小值．
故的最小值的解析式为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
则，令解得.
当时，，∴在上递增；
当时，，∴在上递减.
∴在处取得最大值
∵在上有且只有一个极值点，所以也是的最大值.
∴当时，总有
【解析】本题考查了导数的运用
点评：导数本身是个解决问题的工具，是高考必考内容之一，高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用，求单调、最值、完成证明等，请注意归纳常规方法和常见注意点
20．已知函数，.
(1)若，求函数的极值；
(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
(3)当时，函数恰有两个不同的零点，，且，求证：.
【答案】(1)有极大值，无极小值
(2)2
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出，再利用导数求出的单调增区间；
（2）先利用分离参数法得到对恒成立.构造和，求导结合零点存在性定理判断出，
，得到.由，求出整数的最小值；
（3）用分析法证明：当时，先整理化简得到，只需证.令，构造函数，利用导数证明出.即证.
【详解】（1）当时，，所以，
则，定义域为.
令，解得：.
所以的单调增区间为，单调减区间为；
则当时，有极大值，无极小值；
（2）依题意对恒成立，等价于对恒成立.
令，则
令,则在上是增函数，
，
所以，使即
对，，，所以在上单调递增；
对，，，所以在上单调递减.
所以.
所以.
又，所以整数的最小值2
（3）当时，，
令，故在上单调递增，在上单调递减且，时，；时，；
依题意存在使得，
已知可得，要证成立，
因为，是的零点，所以，
两式相减得：，
即，
要证，只需证，
又因为只需证，
即证，
令，则，所以，
所以在增函数，所以即.
即成立.
所以原不等式得证.
【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.
（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.
（4）利用导数证明不等式.