上海市奉贤区四校联考2023-2024学年高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份上海市奉贤区四校联考2023-2024学年高二上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟，分值：150分）
一、填空题（24+30=54分）
1. 不等式的解集是__．
【答案】
【解析】
【分析】将原不等式转化为一元二次不等式求解.
【详解】原不等式 与不等式 同解，故有 ；
故答案为： .
2. 已知集合，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得和的交集为方程组的解.
【详解】由得解为，
根据题意可得：，
故答案为：
3. 已知向量，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量得夹角的坐标表示计算即可.
【详解】由，更多优质支援请 嘉 威鑫 MXSJ663 得，
所以.
故答案为：.
4. 若方程的两个实数根为，则=______.
【答案】3
【解析】
【分析】由题意可得一元二次方程根与系数的关系式，利用该关系式代入求解即可．
【详解】方程两个实数根为，
由韦达定理可得，，
∴，
故答案为：3．
5. 如果都是实数，关于的方程有一个根，则_______
【答案】
【解析】
【分析】根据实系数方程根的特征可知为方程另一根，利用韦达定理可构造方程组求得，进而求解.
【详解】因为为关于的方程的一个根，
所以为关于的方程的一个根，
所以，解得，，
所以.
故答案为：.
6. 设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则两点间的距离为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数对应的点，应用两点间距离公式求解即可.
【详解】复数对应点,复数对应点，
则.
故答案：.
7. 已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，圆锥底面周长为，则这个圆锥的表面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，求解即可.
【详解】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，
则，解得，
又圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，
则2π3⋅l=2π，解得，
所以圆锥的表面积为S=πrl+πr2=4π.
故答案为：.
8. 在空间直角坐标系中给定点，则该点关于坐标平面的对称点的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据空间点关于平面对称点的特点即可得到答案.
【详解】因为点是点关于坐标平面的对称点，所以.
故答案为：.
9. 有一个空心钢球，质量为，测得外直径为5，则它的内直径是________（钢的密度为7.9，精确到0.1）
【答案】4.5
【解析】
【分析】
直接利用球的体积公式和物理学的关系式的应用求出结果．
【详解】解：设钢球的内半径为，
所以，
解得．
故内直径为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
10. 一张A4纸的规格为：，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为_________．（结果精确到）
【答案】或
【解析】
【分析】分以的边为高，和以的边为高，两种情况讨论，分别求出对应底面圆的半径，代入圆柱的体积公式即可得解.
【详解】①如果以的边为高，，，
此时圆柱体的体积为.
②如果以的边为高，，，
此时圆柱体的体积为.
故答案为：或.
11. 如图，用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，得到一个小圆锥．如果这两个圆锥的高分别是，求这两个圆锥的底面面积之比为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形相似比与面积比之间的关系即可得到答案.
【详解】由题意知，所以，
所以，
故答案为：.
12. 如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，显然不是平角，则为钝角时有，解得不等式即可．
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，
则；
，，
因为，所以，，
设，则，
即，解得，所以，
则，，
，
与是异面直线，显然不是平角，
则为钝角，有，解得．
所以的取值范围为．
故答案为：.
二、选择题（4+4+5+5=18分）
13. 下列命题中，是真命题的选项为（ ）
A. 平行于同一条直线的两个平面平行
B. 若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行
C. 分别在两个平行平面上的两条直线平行
D. 与两条异面直线都平行的两个平面平行．
【答案】D
【解析】
【分析】举例说明判断ABC；利用面面平行的判定推理判断D.
【详解】如图，正方体，
对于A，平面与平面都与直线平行，而平面与平面相交，A是假命题；
对于B，相交平面与平面分别经过直线，且，B是假命题；
对于C，直线平面，直线平面，且平面平面，
而直线与直线是异面直线，C是假命题；
对于D，直线是两条异面直线，是两个不同平面，，
过直线上的点作直线，则直线确定平面，由，得点，
而，于是，因此，所以，D真命题.
故选：D
14. 下列命题正确的是（ ）
A. 以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥
B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台
C. 圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D. 圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆锥、圆柱、圆台特点判断各选项即可.
【详解】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确；
对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误；
对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误；
对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误.
故选：A.
15. 如图，设正方体的棱长为．则顶点到面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等体积法求解即可.
【详解】根据正方体的性质知，平面，
所以为三棱锥的高，
因为，，
所以，
设到面的距离为,
由，得，
即，解得，
所以到面的距离为.
故选：A.
16. 若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解.
【详解】空间取一点，经过点分别作，
设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时，
与所成的角等于与所成的角，
因为直线，所成的角为，得所成锐角等于，
所以当射影在所成锐角的平分线上时，
与所成角的范围是.
这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是，
当的射影在所成钝角的平分线上时，
与所成角的范围是.
这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是，
综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条.
故选：D.
三、解答题（14+14+14+18+18=78分）
17. 求实数的值或取值范围，使得复数分别是：
（1）纯虚数；
（2）0
【答案】（1）；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）利用纯虚数的定义，列式计算即得.
（2）利用复数为0的充要条件，列式计算即得.
【小问1详解】
由复数是纯虚数，且，得，解得，
所以实数的值为.
【小问2详解】
由复数是0，且，得，解得，
所以实数的值为.
18. （1）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集．
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意可得1和2为方程的两根，进而结合韦达定理求出，进而根据一元二次不等式的解法求解即可；
（2）结合二次函数的性质及判别式求解即可.
【详解】（1）由题意，1和2为方程的两根，
则，即，，
所以不等式，即为，
即，即或，
所以不等式的解集为.
（2）由题意，，即，
所以实数的取值范围为．
19. 已知向量与的夹角为，且．
（1）求；
（2）求在方向上的投影与数量投影．
【答案】（1）
（2）投影为，数量投影为
【解析】
【分析】（1）根据数量积的定义及运算律公式求解即可；
（2）根据投影的定义求解即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
由题意，在方向上的投影为，
在方向上的数量投影为.
20. 如图，在正方体中，
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求证：；
（3）设分别是给定正方体的棱和上的任意点．求证：三棱锥的体积是定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）连接，，根据正方体的性质可得四边形为平行四边形，进而得到，进而可得为异面直线与所成的角，进而求解即可；
（2）连接，根据正方体的性质可得平面，，进而得到，从而求证；
（3）设正方体的棱长为，根据正方体的性质可得平面，平面，进而得到到平面的距离即为，进而结合棱锥的体积公式求证即可.
【小问1详解】
连接，，正方体中，
有，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，则为异面直线与所成的角，
又，即为等边三角形，
所以，即异面直线与所成的角为.
【小问2详解】
证明：连接，在正方体中，
有平面，，
因为平面，所以，
又，且平面，
所以平面，
又平面，
所以.
【小问3详解】
证明：设正方体的棱长为，
在正方体中，有平面，平面，
所以到平面的距离即为，
又，
所以，
所以三棱锥的体积是定值．
21. 如图，用一块钢锭浇筑一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器，设容器的高为h米，盖子的边长为a米．
（1）求a关于h的函数解析式；
（2）当h为何值时，容器的容积V最大？并求出V的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，利用表面积列出方程，求出a关于h的解析式；（2）表达出容积V关于h的解析式，变形后利用基本不等式求出体积的最大值
【小问1详解】
连接AC，BD，交点为O，则AO即为正四棱锥的高，
取CD的中点E，连接OE，EF，则，
由勾股定理得：，
由题意得：，
整理得：
【小问2详解】
，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
故.