2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高二上学期期末数学试题（解析版）

致远高中2022学年第一学期期末教学评估

高二数学

考试时间：120分钟满分150分

一：填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 抛物线：的焦点坐标为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据抛物线的相关知识即可求得焦点坐标.

【详解】由已知，所以

故，所以焦点坐标为：

故答案为：

2. 数列满足，若，则________．

【答案】2

【解析】

【分析】由递推公式即可求解

【详解】由，可得，

故答案为：2

3. 动点P到两定点A(－4，0)、B(4，0)距离之和为10，则点P的轨迹方程为________．

【答案】．

【解析】

【分析】利用定义法求点P的轨迹方程.

【详解】解：因为，

由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为10的椭圆，

所以，，

所以点的轨迹方程是.

故答案为：

4. 在各项均不相等的等比数列中，，则公比的值为___________．

【答案】－2

【解析】

【分析】利用等比数列通项公式的性质代入求解即可.

【详解】因为，

所以，即，解得：q=1或.

因为数列的各项均不相等，所以，所以.

故答案为：－2.

5. 过点且与直线平行的直线的方程是___________．

【答案】

【解析】

【分析】设所求的直线方程为，求出即得解.

【详解】解：设所求的直线方程为，

把点坐标代入方程得.

所以直线方程为.

故答案为：

6. 与椭圆有相同的焦点，且一条渐近线为的双曲线的标准方程是：___________________．

【答案】

【解析】

【分析】由已知与椭圆有相同的焦点，来确定双曲线的焦点位置为x轴和c值，再由已知双曲线的渐近线方程，可以直接确定为，也可以设出以为渐近线的双曲线方程为 根据c求出，进而求出双曲线方程．

【详解】法一：

双曲线与椭圆有相同的焦点，

双曲线的焦点在x轴上，  渐近线为

又双曲线的一条渐近线方程为，即

   即     又

双曲线的方程为

法二：

双曲线与椭圆有相同的焦点，

双曲线的焦点在x轴 

 又双曲线的一条渐近线方程为

设双曲线方程为 

双曲线的方程为

【点睛】本题考查了有共同渐近线的双曲线标准方程的求法．法一是确定焦点位置，确定渐近线方程的形式，进而确定 ．法二是，设有共同渐近线的双曲线的方程（带参数），由已知确定参数．

7. 等差数列中，，公差不为零，且，，恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比为__________.

【答案】4

【解析】

【分析】因为是等差数列，故，，都可用d表示，又因为，，恰好是某等比数列的前三项，所以有，即可求出d，从而可求出该等比数列的公比.

【详解】等差数列中，，，

因为，，恰好是某等比数列的前三项，

所以有，即（2+2d）2＝2（2+10d），解得d＝3，

，，则等比数列的公比为，

故答案为：4．

【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等比数列的定义和公比，属基础知识、基本运算的考查．

8. 若直线的方向向量为．平面的法向量为，则直线与平面的关系为________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出.

【详解】解：∵，

∴，

因此.

故答案为：.

【点睛】本题考查空间向量共线定理，线面垂直的向量方法，考查运算能力，是基础题.

9. 已知圆和圆内切，则m的值为___________．

【答案】##3.5

【解析】

【分析】首先根据题中圆的标准方程求出圆的圆心与半径，再根据两圆相切求出的值.

【详解】解：圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

所以两圆的圆心距，

又因为两圆内切，有，

解得.

故答案为：.

10. 如图把椭圆的长轴分成等分,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，…，七个点，是椭圆的左焦点,则_________ .

【答案】

【解析】

【分析】由已知得，再取椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性得 ，，，再根据椭圆的定义即可求得答案.

【详解】由已知得，如图，

是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知 ，，，又，

∴

.

故答案为：.

【点睛】本题考查椭圆的对称性，椭圆的定义，是中低档题.

11. 数列的前n项和，数列满足，则数列中值最大的项和值最小的项和为____________．

【答案】2  

【解析】

【分析】先利用的前n项和计算出，再结合函数的单调性，得出数列中值最大的项和值最小的项，计算结果即可.

【详解】因为，则，

且，

经验证符合该通项，

故，

因为在和均为减函数，

故有，

则数列中值最大的项为，最小的项为，

故，

故答案为：2.

12. 已知曲线：，下列叙述中正确的命题是_________

（1）垂直于轴的直线与曲线只有一个交点

（2）直线（）与曲线最多有三个交点

（3）曲线关于直线对称

（4）若，为曲线上任意两点，则有

【答案】（1）、（2）、（4）

【解析】

【分析】先逐个象限判断方程轨迹，大致画出图像，结合图像分析.

【详解】设P是曲线上的点，

当x>0，y>0时， ,

即轨迹为双曲线的一部分，渐近线为；

当x<0，y>0时，等式不成立，故第二象限无轨迹；

当x<0，y<0时，

即，轨迹为双曲线的一部分，渐近线为y ；

当x>0，y<0时，，即轨迹为椭圆的一部分

根据分析，可画出图像如图所示．

由图可知，垂直于x轴的直线与曲线只有一个交点，故（1）正确；

由于一、三象限内的轨迹都以为渐近线，

故直线在一、三象限内最多与曲线有两个交点，

在第四象限中最多与椭圆一部分有两个交点，且不能同时出现，

当在一象限内与曲线有两个交点，则三象限内无交点，在第四象限中最多与椭圆有一个交点

故直线与曲线最多有三个交点，故（2）正确；

设曲线上的任意在第一象限的点M的坐标为

则，

且它关于的对称点为

代入第三象限曲线方程中，

得，两个方程不一致，则其不关于直线对称，故（3）错误；

由图可以看出，轨迹为递增函数，故斜率恒成立，故（4）正确．

故答案为：（1）、（2）、（4）

二、选择题（本大题共有10题，每题5分，共50分）

13. 方程的曲线形状是（）

A B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据方程表示的图形形状及对应区域即可判断作答.

【详解】方程表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、第四象限内的部分，

所以选项C满足.

故选：C

14. 设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】先根据双曲线求出渐近线方程，再与比较即可求出的值．

【详解】由双曲线的几何性质可得，双曲线的渐近线方程为，又因为渐近线方程为，即，故，选C．

【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属基础题．

15. 椭圆的一个焦点是，那么等于（　　）

A－1 B. 1 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】把椭圆化为标准方程后,找出a与b的值,然后根据,表示出c,并根据焦点坐标求出c的值,两者相等即可列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值.

【详解】把椭圆方程化为标准方程得:,
因为焦点坐标为,所以长半轴在y轴上,
则,解得.
故选B.

【点睛】本题考查椭圆的方程以及利用椭圆的简单性质化简求值,是一道基础题.

16. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的值为

A. 10 B. 8 C. 6 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式，利用题目所给已知条件，求得弦长.

【详解】根据过抛物线焦点的弦长公式有.故选B.

【点睛】本小题主要考查过抛物线焦点的弦长公式，即.要注意只有过抛物线焦点的弦长才可以使用.属于基础题.

17. 用数学归纳法证明，则从到时左边添加的项是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据式子的结构特征，求出当时，等式的左边，再求出时，等式的左边，比较可得所求．

【详解】当时，等式的左边为，

当时，等式的左边为，

故从“到”，左边所要添加的项是．

故选：D．

【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从到项的变化．

18. “公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a，b，c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a，b，c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】A

【解析】

【分析】举反例说明前三个命题是错误的，分析得到第四个命题是正确的.

【详解】解：命题“公差为0的等差数列是等比数列”是错误的，如数列0,0,0，，0，是公差为零的等差数列，但是不是等比数列；

命题“公比为的等比数列一定是递减数列”是错误的，如数列，是公比为的单调递增数列；

命题“a，b，c三数成等比数列充要条件是b2=ac”是错误的，如满足，但是不成等比数列；

命题“a，b，c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”是正确的，因为a，b，c三数成等差数列，所以2b=a+c；当2b=a+c时，，

所以a，b，c三数成等差数列；所以“a，b，c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”.

故选：A

19. 已知直线，，，则下列结论正确的是（）

A. 直线l恒过定点 B. 当时，直线l的斜率不存在

C. 当时，直线l的倾斜角为 D. 当时，直线l与直线垂直

【答案】D

【解析】

【分析】由题可得直线恒过定点，然后结合斜率公式逐项分析即得.

【详解】直线，故时，，故直线l恒过定点，选项A错误；

当时，直线，斜率，故选项B错误；

当时，直线，斜率，故倾斜角为，选项C错误；

当时，直线，斜率，，

故，故直线l与直线垂直，选项D正确.

故选：D.

20. 已知是等比数列，，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由，，可求出公比，从而可求出等比数的通项公式，则可求出，得数列是一个等比数列，然后利用等比数的求和公式可求得答案

【详解】由题得.

所以，

所以.

所以，所以数列是一个等比数列.

所以=.

故选：D

21. 椭圆的左，右顶点分别是，左，右焦点分别是，若成等比数列，则此椭圆的离心率为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】：由成等比数列得

即

【考点定位】本题主要考查椭圆的定义和离心率的概念．属基础题

22. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】D

【解析】

【分析】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解．

【详解】如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时路程和最小，

由题知，点满足：

，解得：，，即点，

因为，

所以“将军饮马”的最短总路程为，

故选：D

三、解答题本大题共有3题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．

23. 在等差数列中，

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，，解方程即可得出答案；

（2）由题意求出，即可求出的通项公式，最后由等比和等差数列的前项和公式即可求出答案.

【小问1详解】

设等差数列的公差为，

则，

∴，

由，

∴，

∴数列的通项公式为．

【小问2详解】

∵数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以，

则,

所以数列的前项和为：，

所以

24. 已知椭圆C：(a＞b＞0)的右焦点F(1，0)，右顶点A，且|AF|＝1.

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t，0)，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）存在M(1，0)符合题意.

【解析】

【分析】（1）题意中的条件是c＝1，a－c＝1，从而可得，得标准方程；

（2）由直线与椭圆只有一个公共点（联立方程组，用判别式为0得）可得参数的关系式为m2＝3＋4k2，从而可得点坐标，设定点为，则与无关，由此可得值，说明存在，若得不出值，说明定点不存在．

【详解】解：(1)由c＝1，a－c＝1，得a＝2，，

所以椭圆C的标准方程为.

(2)由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，

所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，

即m2＝3＋4k2，，，所以.

因为M(t，0)，又Q(4，4k＋m)，，

所以恒成立，

故，解得t＝1.所以存在点M(1，0)符合题意．

【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆中的定点问题，有一定的难度．解决此类问题常常用到设而不求思想．同时注意韦达定理的应用．本题是设定点，定关系，确定无关性，得结论．

25. 给出定理：在圆锥曲线中，是抛物线的一条弦，是的中点，过点且平行于轴的直线与抛物线的交点为.若两点纵坐标之差的绝对值，则的面积，试运用上述定理求解以下各题：

（1）若，所在直线的方程为，是的中点，过且平行于轴的直线与抛物线的交点为，求；

（2）已知是抛物线的一条弦，是的中点，过点且平行于轴的直线与抛物线的交点为，分别为和的中点，过且平行于轴的直线与抛物线分别交于点，若两点纵坐标之差的绝对值，求和；

（3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：与弦围成成的“弓形”的面积，并求出相应面积.

【答案】（1）；（2），；（3）设计方法见详解，

【解析】

【分析】（1）由题意，先计算出，然后直接根据求解的值；

（2）根据条件可知，的面积计算符合定理的计算方法，故可直接利用定理中的计算方法求解的值；

（3）对“弓形”进行无数次（2）中的操作，每操作一次面积增加的量构成等比数列，因此面积可以写成极限式：，求此极限的结果即为“弓形”面积.

详解】（1）联立可得：，所以，所以；

（2）设点的纵坐标为，由题意可知为抛物线的一条弦，是的中点，且两点纵坐标之差的绝对值为，

由已知的结论可知：，同理可知；

（3）如果将（2）中的结果看成是一次操作，将操作继续下去，取每段新的弦的中点做平行于轴的直线与抛物线得到交点，并与弦的端点连接，计算得到的新三角形面积，操作无限重复下去：

第一次操作：增加的面积为，面积为；

第二次操作：增加了个三角形，面积为；

第三次操作：增加了个三角形，面积为；……

由此可知每次新增加的面积构成一个公比为的等比数列，随着操作持续下去这些三角形逐渐填满整个“弓形”，

所以“弓形”面积为：.

【点睛】本题考查抛物线中的和弦有关的定理应用问题，灵活度较高，难度较难.

（1）处理这种定理应用类型的问题，首先要对所给出的实例仔细分析，用已学的知识点去看待、解决问题；

（2）掌握一些数学思想：无限分割、数形结合、化归等；

（3）无限分割思想和极限产生联系.