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2024届河南省周口市川汇区周口恒大中学高三上学期10月月考数学试题含答案
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这是一份2024届河南省周口市川汇区周口恒大中学高三上学期10月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．抛物线上两点、到焦点的距离分别是，，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．B．5C．D．1
【答案】C
【分析】先设、，根据题中条件，由抛物线的定义得到，进而可求出结果.
【详解】设、，
因为抛物线的焦点为，准线方程为，
又抛物线上两点、到焦点的距离分别是，，
所以，，
因为，所以，
因此线段的中点到轴的距离为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于利用抛物线的定义，根据题中条件，求出、两点的横坐标之和，根据线段中点到轴的距离即为点横坐标，即可求解.
2．已知直线：与直线：交于点，为坐标原点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将两直线的一般式中的常数项均变为，验证，的坐标是否均满足该直线的方程即可判断.
【详解】直线：，直线：，
两式相减可得.
因为点，的坐标都满足该直线的方程，故点，都在该直线上.
所以直线的方程为.
故选：.
【点睛】本题考查了求过两点的直线方程，同时还需要求解两条直线的交点坐标，考查了转化思想和分析问题，解决问题的能力.
3．已知，则的最小值与最小正周期分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】利用二倍角公式化简，由正弦型函数最值和最小正周期的求法可求得结果.
【详解】，，最小正周期.
故选：A.
4．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，上底为1，腰为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先计算出该梯形的斜二测直观图的面积，再根据直观图的面积与原图的面积之比为，求得原图的面积．
【详解】
依题意，四边形是一个底角为，上底为，腰为的等腰梯形
过，分别做，
则和为斜边长为的等腰直角三角形
，又，
梯形的面积：
在斜二测画直观图时，直观图的面积与原图的面积之比为：
即：
本题正确选项：
【点睛】本题考查了斜二测直观图的面积与原图面积的关系，可以还原图形求原图的面积，也可以根据直观图与原图的面积比求原图的面积．属于基础题．
5．已知向量，对任意的，恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律求得，再根据数量积的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】由可得，
又，令则上式等价于，对任意的恒成立，
故，解得，解得，即；
对A：由，故不成立，A错误；
对B：，不确定其结果，故不一定成立，B错误；
对C：，故，C正确；
对D： ，不确定其结果，故不一定成立，D错误.
故选：C.
6．已知，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式求解.
【详解】因为，
所以，
故选：D
7．给定四个函数：①；②；③；④，其中是奇函数的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用奇函数的定义，对每个函数进行验证，可得结论．
【详解】①，是奇函数；
②，不是奇函数；
③，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
④，是奇函数．
故选B．
【点睛】本题考查函数奇偶性的判定，考查学生的计算能力，属于基础题．
8．下列函数中，偶函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据偶函数的定义判断．
【详解】A．函数定义域不关于原点对称，不是偶函数，
BCD中函数定义域都是．
B．时，，不是偶函数；
C．，，不是偶函数；
D．，是偶函数．
故选：D．
二、多选题
9．已知定义域为R的函数，且函数的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数在区间上单调递减
C．当时，函数取得极小值
D．当时，函数取得极小值
【答案】AD
【分析】根据题图判断原函数的函数符号，进而确定在对应区间上的符号，判断区间单调性、极值.
【详解】由图知：，即，A对；
由上，故，则在区间上单调递增，B错；
和上，和上，
所以、上，、上，
故在、上递增，、上递减，则为极大值，为极小值，C错，D对.
故选：AD
10．给出下列四个关于圆锥曲线的命题，真命题的有（ ）
A．设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线
B．过定圆上一定点作圆的动弦，则弦的中点的轨迹为椭圆
C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D．双曲线与椭圆有相同的焦点
【答案】CD
【解析】选项A根据双曲线的定义可判断，选项B,是的中点，根据垂径定理, ,可得在以为直径的圆上运动，选项C方程的两根分别为和；选项D直接求出双曲线和椭圆的焦点坐标可判断.
【详解】A不正确；若动点的轨迹为双曲线，则要小于两个定点间的距离，
当点在的延长线上时，，显然这种曲线是射线，而非双曲线；
B不正确；是的中点，根据垂径定理，圆心与弦的中点连线垂直于这条弦，圆心为，那么有即恒为直角，由于是圆的半径，是定长，而恒为直角，也就是说，在以CA为直径的圆上运动，所以点的轨迹是一个圆.
C正确；方程的两根分别为和可分别作为椭圆和双曲线的离心率，
D正确，双曲线与椭圆焦点坐标都是，
故选: CD
11．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数B．复数为纯虚数
C．复数在复平面内对应的点在第一象限D．复数的模为
【答案】ABC
【分析】由复数除法运算可求得，根据共轭复数、纯虚数定义可知AB正确；由复数对应点的坐标和模长的求法可知CD正误.
【详解】；
对于A，由共轭复数定义知：，A正确；
对于B，，为纯虚数，B正确；
对于C，对应的点为，位于第一象限，C正确；
对于D，，D错误.
故选：ABC.
12．下列函数既是偶函数，在上又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据函数的奇偶性、单调性判断．
【详解】，A不是偶函数，
，，，BCD全是偶函数，
在上，是减函数，是减函数，
由对勾函数性质知在上递减，在上递增，
因此在上递减，在上递增，在上不是减函数，
所以BC正确，D错误.
故选：BC．
三、填空题
13．已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为 ．
【答案】3
【分析】根据极限形式和求导公式得，进而得，计算得解.
【详解】由，可得．
因为，所以，即，则，
所以，．
故答案为：3.
14．已知抛物线：，则抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】/
【分析】把抛物线的方程化成标准形式，再写出焦点坐标即可.
【详解】抛物线：，即，
所以抛物线的焦点坐标为.
故答案为：
15．展开式中的系数为 .
【答案】
【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】因为的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以，的展开式通项为，
令，可得，所以，或，
因此，故的系数.
故答案为：.
16．在数列中，，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由已知得，运用累加法求得，代入不等式，由恒成立思想可得答案.
【详解】解：∵时，，即，
∴
．
又时，也符合上式，∴．
不等式化为，
∵，∴．
故答案为：.
四、解答题
17．某高校共有50名志愿者被选中参加某志愿服务活动，暑假期间，该校欲从这50名志愿者中选取8人组成志愿服务小组，请用抽签法设计抽样方案．
【答案】答案见解析
【分析】根据抽签法的步骤即可求解.
【详解】(1)将50名志愿者编号，号码分别是1，2，…，50.
(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．
(3)将小纸片放入一个不透明的盒子里，充分搅匀．
(4)从盒子中不放回地逐个抽取8个号签，使与号签上编号对应的志愿者进入样本，组成志愿服务小组．
18．的内角的对边分别为，已知
（1）求；
（2）若，且的面积等于求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先利用正弦定理及和差角公式求出，即可求出A.
（2）由已知条件及面积公式求出，利用余弦定理求出，即可求出的值.
【详解】（1）因为，由正弦定理得：，
因为，所以，所以，可得：，
因为，所以，所以，可得：.
（2）因为的面积为，所以.
又，由余弦定理得：，
配方得：整理化简得：，
所以.
19．已知直线过点，根据下列条件分别求直线的方程：
（1）直线的倾斜角为45°；
（2）直线在轴､轴上的截距相等.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由直线的倾斜角为45°，求得斜率，再利用直线的点斜式求解.
（2）设直线在轴、轴上的截距分别为，，分和若两种情况，将代入求解.
【详解】（1）设直线的斜率为，由题意得.
又直线过点，
由直线的点斜式方程可得.
即直线的方程为.
（2）设直线在轴､轴上的截距分别为，，由题意得.
①若，则直线过点，，
可得直线的方程为；
②若，则直线的方程为，
将代入，得，即，
所以直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
五、证明题
20．某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为100分，规定测试成绩在之间为“体质优秀”，在之间为“体质良好”，在之间为“体质合格”，在之间为“体质不合格”现从两个年级中各随机抽取8名学生，测试成绩如下：
其中a，b是正整数．（1）若该校高一年级有200名学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；
（2）从高一年级抽取的学生中再随机选取3人，求这3人中，恰有1人“体质良好”的概率；
（3）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，写出a，b的值结论不要求证明
【答案】（1）75；（2）；（3），
【分析】（1）由统计表能估计高一年级“体质优秀”的学生人数．
（2）高一年级被抽取的8名学生中，“优质良好”的有2人，从高一年级抽取的学生中再随机选取3人，利用古典概型能求出这3人中，恰有1人“体质良好”的概率．
（3），．
【详解】1该校高一年级有200名学生，
则估计高一年级“体质优秀”的学生人数为：．
2高一年级被抽取的8名学生中，“优质良好”的有2人，
从高一年级抽取的学生中再随机选取3人，
这3人中，恰有1人“体质良好”的概率．
3，．
【点睛】本题考查频数、概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21．如图，在三棱锥中，平面平面ABC，且是正三角形，O是AC的中点，D是AB的中点.求证：
(1)平面SBC；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）易证得，再由线面平行的判定定理即可证明；
（2）由面面垂直的性质定理可证得平面ABC，再由线面垂直的性质定理即可证明.
【详解】（1）因为O是AC的中点，D是AB的中点，所以.
又平面SBC，平面SBC，所以平面SBC.
（2）因为是正三角形，O是AC的中点，所以.
又因为平面平面ABC，平面平面ABC，
平面，所以平面ABC，平面ABC，所以.
六、解答题
22．已知：函数.
（1）若函数为奇函数，求的值；
（2）试用定义判断函数在区间上的单调性.
【答案】（1）；（2）函数在区间上单调递增.
【解析】（1）由函数是奇函数，则，即可求出参数的值；
（2）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.
【详解】解：（1）因为函数为奇函数，
所以
所以，当时，即
（2）设任意的，
则
因为，所以∴
所以
所以函数在区间上单调递增
【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数的值，利用定义法证明函数的单调性，属于基础题.
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
高一年级
60
85
55
80
65
90
90
75
高二年级
75
85
65
90
75
60
a
b
一、单选题
1．抛物线上两点、到焦点的距离分别是，，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．B．5C．D．1
【答案】C
【分析】先设、，根据题中条件，由抛物线的定义得到，进而可求出结果.
【详解】设、，
因为抛物线的焦点为，准线方程为，
又抛物线上两点、到焦点的距离分别是，，
所以，，
因为，所以，
因此线段的中点到轴的距离为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于利用抛物线的定义，根据题中条件，求出、两点的横坐标之和，根据线段中点到轴的距离即为点横坐标，即可求解.
2．已知直线：与直线：交于点，为坐标原点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将两直线的一般式中的常数项均变为，验证，的坐标是否均满足该直线的方程即可判断.
【详解】直线：，直线：，
两式相减可得.
因为点，的坐标都满足该直线的方程，故点，都在该直线上.
所以直线的方程为.
故选：.
【点睛】本题考查了求过两点的直线方程，同时还需要求解两条直线的交点坐标，考查了转化思想和分析问题，解决问题的能力.
3．已知，则的最小值与最小正周期分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】利用二倍角公式化简，由正弦型函数最值和最小正周期的求法可求得结果.
【详解】，，最小正周期.
故选：A.
4．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，上底为1，腰为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先计算出该梯形的斜二测直观图的面积，再根据直观图的面积与原图的面积之比为，求得原图的面积．
【详解】
依题意，四边形是一个底角为，上底为，腰为的等腰梯形
过，分别做，
则和为斜边长为的等腰直角三角形
，又，
梯形的面积：
在斜二测画直观图时，直观图的面积与原图的面积之比为：
即：
本题正确选项：
【点睛】本题考查了斜二测直观图的面积与原图面积的关系，可以还原图形求原图的面积，也可以根据直观图与原图的面积比求原图的面积．属于基础题．
5．已知向量，对任意的，恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律求得，再根据数量积的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】由可得，
又，令则上式等价于，对任意的恒成立，
故，解得，解得，即；
对A：由，故不成立，A错误；
对B：，不确定其结果，故不一定成立，B错误；
对C：，故，C正确；
对D： ，不确定其结果，故不一定成立，D错误.
故选：C.
6．已知，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式求解.
【详解】因为，
所以，
故选：D
7．给定四个函数：①；②；③；④，其中是奇函数的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用奇函数的定义，对每个函数进行验证，可得结论．
【详解】①，是奇函数；
②，不是奇函数；
③，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
④，是奇函数．
故选B．
【点睛】本题考查函数奇偶性的判定，考查学生的计算能力，属于基础题．
8．下列函数中，偶函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据偶函数的定义判断．
【详解】A．函数定义域不关于原点对称，不是偶函数，
BCD中函数定义域都是．
B．时，，不是偶函数；
C．，，不是偶函数；
D．，是偶函数．
故选：D．
二、多选题
9．已知定义域为R的函数，且函数的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数在区间上单调递减
C．当时，函数取得极小值
D．当时，函数取得极小值
【答案】AD
【分析】根据题图判断原函数的函数符号，进而确定在对应区间上的符号，判断区间单调性、极值.
【详解】由图知：，即，A对；
由上，故，则在区间上单调递增，B错；
和上，和上，
所以、上，、上，
故在、上递增，、上递减，则为极大值，为极小值，C错，D对.
故选：AD
10．给出下列四个关于圆锥曲线的命题，真命题的有（ ）
A．设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线
B．过定圆上一定点作圆的动弦，则弦的中点的轨迹为椭圆
C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D．双曲线与椭圆有相同的焦点
【答案】CD
【解析】选项A根据双曲线的定义可判断，选项B,是的中点，根据垂径定理, ,可得在以为直径的圆上运动，选项C方程的两根分别为和；选项D直接求出双曲线和椭圆的焦点坐标可判断.
【详解】A不正确；若动点的轨迹为双曲线，则要小于两个定点间的距离，
当点在的延长线上时，，显然这种曲线是射线，而非双曲线；
B不正确；是的中点，根据垂径定理，圆心与弦的中点连线垂直于这条弦，圆心为，那么有即恒为直角，由于是圆的半径，是定长，而恒为直角，也就是说，在以CA为直径的圆上运动，所以点的轨迹是一个圆.
C正确；方程的两根分别为和可分别作为椭圆和双曲线的离心率，
D正确，双曲线与椭圆焦点坐标都是，
故选: CD
11．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数B．复数为纯虚数
C．复数在复平面内对应的点在第一象限D．复数的模为
【答案】ABC
【分析】由复数除法运算可求得，根据共轭复数、纯虚数定义可知AB正确；由复数对应点的坐标和模长的求法可知CD正误.
【详解】；
对于A，由共轭复数定义知：，A正确；
对于B，，为纯虚数，B正确；
对于C，对应的点为，位于第一象限，C正确；
对于D，，D错误.
故选：ABC.
12．下列函数既是偶函数，在上又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据函数的奇偶性、单调性判断．
【详解】，A不是偶函数，
，，，BCD全是偶函数，
在上，是减函数，是减函数，
由对勾函数性质知在上递减，在上递增，
因此在上递减，在上递增，在上不是减函数，
所以BC正确，D错误.
故选：BC．
三、填空题
13．已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为 ．
【答案】3
【分析】根据极限形式和求导公式得，进而得，计算得解.
【详解】由，可得．
因为，所以，即，则，
所以，．
故答案为：3.
14．已知抛物线：，则抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】/
【分析】把抛物线的方程化成标准形式，再写出焦点坐标即可.
【详解】抛物线：，即，
所以抛物线的焦点坐标为.
故答案为：
15．展开式中的系数为 .
【答案】
【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】因为的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以，的展开式通项为，
令，可得，所以，或，
因此，故的系数.
故答案为：.
16．在数列中，，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由已知得，运用累加法求得，代入不等式，由恒成立思想可得答案.
【详解】解：∵时，，即，
∴
．
又时，也符合上式，∴．
不等式化为，
∵，∴．
故答案为：.
四、解答题
17．某高校共有50名志愿者被选中参加某志愿服务活动，暑假期间，该校欲从这50名志愿者中选取8人组成志愿服务小组，请用抽签法设计抽样方案．
【答案】答案见解析
【分析】根据抽签法的步骤即可求解.
【详解】(1)将50名志愿者编号，号码分别是1，2，…，50.
(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．
(3)将小纸片放入一个不透明的盒子里，充分搅匀．
(4)从盒子中不放回地逐个抽取8个号签，使与号签上编号对应的志愿者进入样本，组成志愿服务小组．
18．的内角的对边分别为，已知
（1）求；
（2）若，且的面积等于求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先利用正弦定理及和差角公式求出，即可求出A.
（2）由已知条件及面积公式求出，利用余弦定理求出，即可求出的值.
【详解】（1）因为，由正弦定理得：，
因为，所以，所以，可得：，
因为，所以，所以，可得：.
（2）因为的面积为，所以.
又，由余弦定理得：，
配方得：整理化简得：，
所以.
19．已知直线过点，根据下列条件分别求直线的方程：
（1）直线的倾斜角为45°；
（2）直线在轴､轴上的截距相等.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由直线的倾斜角为45°，求得斜率，再利用直线的点斜式求解.
（2）设直线在轴、轴上的截距分别为，，分和若两种情况，将代入求解.
【详解】（1）设直线的斜率为，由题意得.
又直线过点，
由直线的点斜式方程可得.
即直线的方程为.
（2）设直线在轴､轴上的截距分别为，，由题意得.
①若，则直线过点，，
可得直线的方程为；
②若，则直线的方程为，
将代入，得，即，
所以直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
五、证明题
20．某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为100分，规定测试成绩在之间为“体质优秀”，在之间为“体质良好”，在之间为“体质合格”，在之间为“体质不合格”现从两个年级中各随机抽取8名学生，测试成绩如下：
其中a，b是正整数．（1）若该校高一年级有200名学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；
（2）从高一年级抽取的学生中再随机选取3人，求这3人中，恰有1人“体质良好”的概率；
（3）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，写出a，b的值结论不要求证明
【答案】（1）75；（2）；（3），
【分析】（1）由统计表能估计高一年级“体质优秀”的学生人数．
（2）高一年级被抽取的8名学生中，“优质良好”的有2人，从高一年级抽取的学生中再随机选取3人，利用古典概型能求出这3人中，恰有1人“体质良好”的概率．
（3），．
【详解】1该校高一年级有200名学生，
则估计高一年级“体质优秀”的学生人数为：．
2高一年级被抽取的8名学生中，“优质良好”的有2人，
从高一年级抽取的学生中再随机选取3人，
这3人中，恰有1人“体质良好”的概率．
3，．
【点睛】本题考查频数、概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21．如图，在三棱锥中，平面平面ABC，且是正三角形，O是AC的中点，D是AB的中点.求证：
(1)平面SBC；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）易证得，再由线面平行的判定定理即可证明；
（2）由面面垂直的性质定理可证得平面ABC，再由线面垂直的性质定理即可证明.
【详解】（1）因为O是AC的中点，D是AB的中点，所以.
又平面SBC，平面SBC，所以平面SBC.
（2）因为是正三角形，O是AC的中点，所以.
又因为平面平面ABC，平面平面ABC，
平面，所以平面ABC，平面ABC，所以.
六、解答题
22．已知：函数.
（1）若函数为奇函数，求的值；
（2）试用定义判断函数在区间上的单调性.
【答案】（1）；（2）函数在区间上单调递增.
【解析】（1）由函数是奇函数，则，即可求出参数的值；
（2）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.
【详解】解：（1）因为函数为奇函数，
所以
所以，当时，即
（2）设任意的，
则
因为，所以∴
所以
所以函数在区间上单调递增
【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数的值，利用定义法证明函数的单调性，属于基础题.
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
高一年级
60
85
55
80
65
90
90
75
高二年级
75
85
65
90
75
60
a
b
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