2024届江苏省南京市第一中学高三上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2024届江苏省南京市第一中学高三上学期10月月考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用列举法表示集合A，B，再利用交集的定义求解作答.
【详解】，
，
所以
故选：C
2．若（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用复数的四则运算求出复数，然后利用复数求模的公式即可计算.
【详解】由可得，
所以，
故选：.
3．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
4．已知，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据投影向量的定义即可求解.
【详解】在上的投影向量为，
故选：C
5．我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出、、的长，利用余弦定理求出，再利用二倍角的余弦公式可求得的值.
【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，，
因为为的中点，所以，，
当伞完全收拢时，，所以，，
在中，，
所以，.
故选：A.
6．函数的大致图象可能是 ( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，函数的解析式，可判定函数为为偶函数，排除A、B项，又由，可排除D项，即可得到答案．
【详解】由题意，函数，满足，
即，，得函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除A、B项；
又由，排除D，
故可能的图象为C，故选C．
【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中熟练应用函数的基本性质，利用函数的单调性和奇偶性，进行排除选项是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上一点，，的平分线与x轴交于点Q，，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可得，利用正弦定理结合角平分线可得，再根据双曲线的定义结合通径分析运算即可.
【详解】∵，则，可得，
分别在中，由正弦定理可得：
∵平分，可得，即，
且，
故，则，
所以，
又∵，则，
所以，整理得，
故，得，即，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的性质，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
方法定睛：1.双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
2.焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将双曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
8．在正方体中，点为棱上的一动点，记直线与平面所成的角为，则得最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，如图建立空间直角坐标系，不妨设，，求出平面的一个法向量，则，求出最大值即可求出得最小值．
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，，则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，则，
所以，，
当时，，
当时，令，则，
由于函数，故当时，取最小值2，
故此时，
综上可知，，由于，故．
故选：C．
二、多选题
9．某校组织了名学生参与测试，随机抽取了名学生的考试成绩单位：分，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．图中的值为
B．估计这名学生考试成绩的众数为
C．估计这名学生考试成绩的中位数为
D．估计这名学生考试成绩的上四分位数约为
【答案】ABD
【分析】对于A，根据频率之和为计算即可；对于B，根据频率分布直方图估计众数的方法判断即可；对于C，根据中位数可能所在的区间进行判断；对于D，根据百位分数的估算方法求解即可．
【详解】根据频率和等于得：，
，故A正确；
由频率分布直方图可知，最高矩形对应区间的中点为，则估计众数也为，
故B正确；
，，
可知中位数落在内，即中位数的估计值不是，故C错误；
上图各组对应的频率分别为：，，，，，
上四分位数在内，设第百分位数约为，则：，
得，故D正确．
故选：ABD
10．已知函数在上是单调函数，且.则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】分别把选项中的值代入函数表达式，验证函数的性质是否满足，即可判断.
【详解】对于A，，若，
可取
则，在上单减，故A正确.
对于B，，若，
，
此时可以取，使得函数在单减，故B正确.
对于C，，若，
即，
，故C错误.
对于D，，若，，
，故D错误.
故选：AB.
11．过抛物线上一点A(1，-4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则（ ）
A．C的准线方程是
B．过C的焦点的最短弦长为8
C．直线MN过定点(0，4)
D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为
【答案】AD
【分析】由题可得为，进而判断A，利用焦点弦的方程结合抛物线的定义结合条件可判断B，设为，联立抛物线利用韦达定理结合条件可得m、n的数量关系，可判断C，由C分析所得的定点P，要使到直线的距离最大有，可得此时直线的方程判断D.
【详解】将代入中得：，则为，
所以的准线方程是，故A正确；
由题可知的焦点为，可设过的焦点的直线为，
由，可得，设交点为，
则，，
所以，即过C的焦点的最短弦长为16，故B不正确；
设，，直线为，联立抛物线得：，
所以，，又，
所以
，
因为，，即，
所以，整理得，
故，得，
所以直线为，所以直线过定点，故C不正确；
当时，到直线的距离最大，此时直线为，故D正确.
故选：AD.
12．已知a>b>0，a+b=1．则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．a+sinb0
【答案】BC
【分析】由已知条件可得，，对于A，，再利用二次函数的性质判断即可，对于B，利用基本不等式判断即可，对于C，设，利用导数判断函数单调性可得答案，对于D，设，利用导数判断函数单调性可得答案
【详解】解：因为，，所以，，
对于A：，当，即时，有最大值，而，取不到最值，A错
对于B：，当且仅当，即当时取等号，所以B正确
对于C：因为，所以，所以，设，，则，
所以在上递减，所以，所以，故C正确，
对于D：设，，，
所以在为增函数，
所以，即，
所以，即，所以D错误，
故选：BC
三、填空题
13．甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯，已知人都在至层的某一层出电梯，且在每一层最多只有两人同时出电梯，从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序，则甲、乙、丙人出电梯的不同方法总数是 ．
【答案】120
【分析】分人都在至层的某一层人独自出电梯；人中有人在同一层出电梯，另人在另外一层出电梯，两种情况讨论即可求解．
【详解】由题意，
人都在至层的某一层人独自出电梯，共有种；
人中有人在同一层出电梯，另人在另外一层出电梯，共有种；
故甲、乙、丙人出电梯的不同方法总数是种．
故答案为：120
14．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区的时间为 小时．
【答案】1
【分析】设地东北方向上存在点到的距离为30千米，，结合余弦定理得到，进而结合韦达定理即可求出，从而求出结果.
【详解】设地东北方向上存在点到的距离为30千米，，
在中，，
故，
化简得，设方程的两根为，则，，
所以，即图中千米，所以B城市处于危险区的时间为小时，
故答案为：1.
15．已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
【答案】2
【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.
【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱，
设的外接圆圆心为，半径为，
则，可得，
设三棱锥的外接球球心为，连接，则，
因为，即，解得.
故答案为：2.
【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法
（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；
（2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；
（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；
（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；
（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
16．若关于x的不等式有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题，不等式变形为，用导数法研究的单调性，则不等式有且只有2个正整数解等价于直线：与有两个交点分别在和，即可求出a的取值范围
【详解】，直线：过定点，
令，故在递增，递减，
，则，，
∴不等式有且只有2个正整数解等价于直线与有两个交点分别在和，故．
故答案为：
四、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式、同角间的三角函数关系变形求解；
（2）由余弦定理求得，再用正弦定理计算．
【详解】（1）∵，∴，
即，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以．
（2）因为，，，根据余弦定理得
，∴．
∵，∴．
在中，由正弦定理知，，∴，∴，
∴，∴．
18．数列满足，．
(1)设，求的最大项；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）构造等比数列，从而求出的通项公式，进而得到的通项公式，即可求出最大项；
（2）利用错位相减法即可.
【详解】（1）由得．又，∴是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴，，．
当时，不会最大；当时，设是最大项，则，且，
即，且，即且，解得．
又，∴，∴的最大项是．
（2），①
①得，②
①②得，
∴．
19．如图．在直三棱柱中，，平面平面．

(1)求点A到平面的距离；
(2)设D为的中点，求平面与平面夹角的正弦值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）取的中点，证明平面，再利用等体积法求解作答.
（2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.
【详解】（1）在直三棱柱中，，
设点到平面的距离为，取的中点，连接AE，则，
因为平面平面，平面平面，
则有平面，又平面，即有，
因为平面平面，则，
因为平面，于是平面，
又平面，因此，，
，又，解得，
所以点到平面的距离为.
（2）以为坐标原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，
设平面的一个法向量，
则，令，得，
由（1）知，平面的一个法向量为，
因此，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
20．科学家为研究对某病毒有效的疫苗，通过小鼠进行毒性和药效预实验.已知5只小鼠中有1只患有这种病毒引起的疾病，需要通过化验血液来确定患病的小鼠.血液化验结果呈阳性的即为患病小鼠，呈阴性即没患病.下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病小鼠为止.
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病小鼠为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
（1）求方案甲化验次数X的分布列；
（2）判断哪一个方案的效率更高，并说明理由.
【答案】（1）详见解析（2）乙方案的效率更高，详见解析
【解析】(1)方案甲化验次数X的可能取值为1,2,3,4，分别求出概率，由此能求出X的分布列．
（2）方案乙化验次数的可能取值为2，3，分别求出相应的概率，由此能求出分布列，求出X,的期望．从而方案乙的效率更高．
【详解】解：（1）依题知X的可能取值为1，2，3，4.
，，
，，
故方案甲化验次数X的分布列为：
设方案乙化验次数为，则可能取值为2，3.
=2时的情况为先验三只结果为阳性，再从中逐一检验时，恰好一次检验出，或先验三只结果为阴性，再从其他两只中取出一只检验.
则,
故方案乙化验次数的分布列为：
则
所以乙方案的效率更高.
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，点是轴正半轴上的一点，过椭圆的右焦点和点的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）列出关于的方程组，解方程组即得解；
（2）设直线的方程为，其中，，，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，求出，再对分类讨论，利用函数的单调性求出函数的取值范围.
【详解】（1）解：由题意知，椭圆标准方程为.
（2）解：设直线的方程为，其中，，
，，
，
，，
若，则，，
若，则，
令，，，
因为在单调递减，
所以
综上：的取值范围为.
22．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可求得切线方程；
（2）求导后，设；令，利用导数可求得单调性，得到，采用放缩法可确定，知在上单调递增；当时，由恒成立可确定，满足题意；当时，令，利用导数可说明，得到，结合零点存在定理可说明，使得，由此可说明当时，，不合题意；综合两种情况可得结论.
【详解】（1）当时，，
则，，又，
在处的切线方程为：.
（2），
令，则，
令，则，
在上单调递增，，即；
当时，，，，
，，
即，在上单调递增，即在上单调递增；
；
①当，即时，，在上单调递增，
，满足题意；
②当，即时，；
令，则，
在上单调递增，，即，
又，，使得，
当时，，则在上单调递减，此时，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据导数几何意义求解切线方程、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够根据端点效应，说明当时，单调递增；当时，结合零点存在定理说明存在的区间，由此可得参数范围.
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