河南省周口市恒大中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

这是一份河南省周口市恒大中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题，共16页。试卷主要包含了在数列中，，，则，函数在处的切线的倾斜角为，已知直线l等内容，欢迎下载使用。

试卷考试时间：120分钟 满分：150

第I卷（选择题）
单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在等比数列中，是方程的两个根，则＝（ ）
A．B．C．D．2
3．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中，）.如图所示，设点、、是相应椭圆的焦点，、和、是“果圆”与轴和轴的交点，若是边长为1的等边三角形，则，的值分别为（ ）
A．，1B．，1C．5，3D．5，4
4．函数在处的切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
5．在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（ ）
A．4B．C．2D．不确定
6．若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．3
8．函数+m在[0，2]上的最小值是2-e，则最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．已知直线l：，则下列选项中正确的有（ ）
A．直线l在y轴上的截距是2B．直线l的斜率为
C．直线l不经过第三象限D．直线l的一个方向向量为
10．将个数排成行列的一个数阵，如下图所示，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
11．在正方体中，若棱长为，点分别为线段、上的动点，则下列结论正确结论的是（ ）
A．面B．面面
C．点F到面的距离为定值D．直线与面所成角的正弦值为定值
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 .
13．已知数列{an}的前项和为，，则数列的通项公式为
14．在圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则a的取值范围为 ．
四、解答题（共5小题，共计77分.）
15．（13分）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
16．（15分）已知光线经过已知直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射．
(1)求反射光线所在的直线的方程．
(2)求与距离为的直线方程．
17．（15分）已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
18．（17分）已知抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点，
（1）当时，求抛物线的方程；
（2）若双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程和准线的方程.
19．（17分）如图，点M是圆上任意点，点，线段的垂直平分线交半径于点P，当点M在圆A上运动时，
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)轴，交轨迹于点（点在轴的右侧），直线与交于（不过点）两点，且直线与直线关于直线对称，则直线具备以下哪个性质？证明你的结论？
①直线恒过定点；②m为定值；③n为定值．
参考答案：
1．C
【分析】利用数列的递推公式逐项计算可得的值.
【详解】，，，.
故选：C.
【点睛】本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.
2．B
【分析】根据韦达定理和等比数列的性质得到答案.
【详解】由韦达定理得，由等比数列的性质得.
故选：B
3．A
【详解】由题意知，
，，
∴.
又，
∴，.
∴，.
故选：A.
4．B
【分析】求导，结合导数的几何意义分析运算.
【详解】由题意可得：，
则，可得，
所以函数在处的切线的斜率，倾斜角为.
故选：B.
5．A
【分析】画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可
【详解】如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体棱长为2，点是面的中心，是棱上一动点，
所以，，
，
故选：A

6．C
【分析】依题意，求出导函数，可求得极值点分别为或，再分类讨论，确定原函数的单调区间，结合极小值的定义，从而可得实数的取值范围.
【详解】因为，则函数的定义域为，
则，
令，解得：或，
当时，即，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极大值，不符合题意，舍去；
当时，即，则恒成立，此时函数单调递增，没有极值，不符合题意，舍去；
当时，即，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极小值，符合题意.
故选：C.
7．D
【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到韦达定理，求得，利用抛物线定义，将目标式转化为关于的代数式，消元后，利用基本不等式即可求得结果.
【详解】因为抛物线的焦点的坐标为，
显然要满足题意，直线的斜率存在，设直线的方程为
联立可得，其，
设坐标为，显然，
则，，
根据抛物线定义，MF=y1+1,NF=y2+1，
故
=4+4y1-5y2+1=4+4y1-51y1+1=4+4y12-5y1y1+1，
令，
故4+4y12-5y1y1+1=4+4t2-13t+9t=4t+9t-9≥24t×9t-9=3，
当且仅当，即时取得最小值.
故选：D.
【点睛】本题考查抛物线中的最值问题，涉及到韦达定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的关系，以及抛物线的定义转化目标式，是解决问题的关键.
8．B
【分析】对函数求导，根据导数的符号确定出函数的单调性，从而确定出函数的最小值，结合题意，求得参数的值，并将区间端点代入函数解析式，求得函数的最大值.
【详解】，
因为，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得最小值，根据题意有，
所以，
当时，，当时，，
所以其最大值是2，
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的最值，属于简单题目.
9．ACD
【分析】根据直线的截距，斜率，方向向量等特征直接判断.
【详解】对于A，直线方程可变为，截距是2，故A正确；
对于B，斜率，故B错误；
对于C，由直线方程可知，故直线l不经过第三象限，故C正确；
对于D，该直线的一个方向向量为，与平行，故D正确；
故选：ACD
10．ACD
【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式，求得的值，再结合题目的条件可求出，利用分组求和法求得的值，即可得到答案.
【详解】由题意，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，且，，
对于A,可得，所以，解得或（舍去），所以选项A是正确的；
对于B,又由，所以选项B不正确；
对于C，由，所以选项C是正确的；
对于D，由这个数的和为，则
所以选项D是正确的，
故选：ACD.
11．ABC
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用共线向量可表示出动点的坐标，利用空间向量判断线面垂直、面面平行、求解点到面的距离和直线与平面所成角的方法依次验证各个选项即可得到结果.
【详解】以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：
由题意知：，，，，，，，，
设，，即，，
设，，即，.
对于，，，，
，，，
又平面，，平面，正确；
对于，平面，为平面的一个法向量，
，，，，，
又平面，，平面，
平面平面，正确；
对于，，点到面的距离，为定值，正确；
对于，几何体为正方体，平面，
是平面的一个法向量，又，
设直线与平面所成角为，则，不是定值，错误.
故选：.
【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系、角度和距离的相关问题的辨析，由于本题建立空间直角坐标系较为简单，所以采用空间向量法来进行判断是比较快速的方式.
12．
【分析】直接根据双曲线的焦点在x轴上，列不等式组，即可解出m的范围.
【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线，
可得：，解得.
故答案为：.
13．
【分析】利用数列中和之间的关系，即可求出数列的通项公式.
【详解】当时，；
当时，，而.
故数列的通项公式为.
【点睛】本题主要考查数列中和之间的关系，属于基础题.
14．
【分析】由圆的方程确定圆心和半径，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；根据已知可确定，由此构造方程求得的取值范围.
【详解】由圆的方程知其圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，则；
圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则，
即，解得：或，
的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据圆上点到直线距离为定值的点的个数求解参数范围问题，解题关键是能够根据圆上点到直线距离为，确定圆心到直线距离与满足.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用递推式得出是以1为首项，3为公比的等比数列，求出，进而求解即可.
（2）利用错位相减法求解数列前项和即可.
【详解】（1）由，得，
又，是以1为首项，3为公比的等比数列，
，，
即数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
则，①
得，②
①－②得
，
故．
16．(1)；
(2)或.
【分析】（1）由题可得，进而可得，然后结合条件及直线的点斜式即得；
（2）根据平行线间距离公式即得.
【详解】（1）由，可得，
即，又，
所以，
所以反射光线所在的直线的斜率为，
故反射光线所在的直线的方程，即；
（2）由题可设所求直线方程为，则
，解得或，
所以与距离为的直线方程为或.
17．（1）在上单调递减；在上单调递增；（2）.
【分析】(1)对函数求导化简，构造，并判断出单调性和最值，进而可得的单调性；
(2) 在上恒成立，即，对函数求导化简，构造，判断出单调性和值域，分，和三类，分别讨论函数的单调性，求出最小值，得出的取值范围．
【详解】解：（1）.
令，，则，
所以在上单调递增，
，即.
故在上，，单调递减；
在上，，单调递增.
（2），，
令，，，
故在上，，单调递减，易得.
当时，，函数在上单调递增，
，
解得，故.
当时，，函数在上单调递减，
，不符合题意.
当时，则存在，使得，
则函数在上单调递减，在上单调递增.
所以，
解得，即.
综上，
【点睛】本题考查利用导数解决函数的恒成立问题，考查导数求解函数的单调区间，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．
18．（1）；（2）渐近线方程为：，准线方程为：.
【分析】（1）当时，根据双曲线的标准方程可知双曲线的左顶点为；所以抛物线为开口向左，焦点为，进而求得抛物线的方程；
（2）因为双曲线的方程为，由离心率为即，进而求得的值，得到双曲线的标准方程，渐近线方程和准线方程.
【详解】（1），，∴
由题意设抛物线的方程为，
则
（2）因为双曲线的方程为，
所以，
所以，
因为双曲线的离心率，
所以
所以，得，，
所以
所以渐近线方程为.
准线方程为:.
19．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意得的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，进而根据椭圆的定义求解即可；
（2）根据题意，再设，进而直线与椭圆联立方程，结合韦达定理得整理得，再根据，，三点不共线得.
【详解】（1）解：如图，由方程，得，半径，
∵在的垂直平分线上，∴，
所以，
∴的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，
由，则，，，
∴点的轨迹的方程为．
（2）解：∵直线与轨迹交于，两点，设，如图
消，得，
整理，得，
，
因为与关于对称，轴，
所以，，，，
，即，
∵，，
∴整理：，
，
即，
即，
若，点满足，即，，三点共线，不合题意，
∴，即，
∴直线中为定值．