2024届江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学高三上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2024届江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学高三上学期10月月考数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：集合，集合，所以,故选D.
【解析】1、一元二次不等式；2、集合的运算.
2．若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，得，化简结合已知条件和夹角公式可求出结果.
【详解】设向量与的夹角为（），
因为，所以，
所以，得，
因为非零向量，满足，
所以，
因为，所以，
故选：C
3．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数解析式得出函数的奇偶性，再由特殊值对函数图像进行判断即可．
【详解】解：因为，定义域为，
即为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B、D，
当时，，故排除，
故选：．
4．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为km.
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】由已知可求，，由正弦定理可求的值，在中，，由正弦定理可求的值，进而由余弦定理可求的值．
【详解】由已知，中，，，
由正弦定理，，
所以，
在中，，
由正弦定理，，
所以，
在中，由余弦定理，，解得：．
所以与的距离.
故选B
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．
5．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两角和与差的正弦公式求解.
【详解】，
，
，
，
，
，
故选：A
6．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，利用导数得出其在，上单调递减性，从而可得，由此得出答案.
【详解】；
设，；
时，；则在，上单调递减；
；即；
．
故选：D
7．已知，且，则具有（ ）
A．最大值B．最大值
C．最小值D．最小值
【答案】A
【分析】根据两角和与差的正弦和正切公式，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】，
又，
所以，
则，
即有最大值，当且仅当时取等号，
即当时取等号，.
故选：A
8．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则的值是（ ）
A．B．C．2D．12
【答案】B
【分析】由已知对称性得函数的图象关于点对称，关于直线对称，由此可得周期函数，周期为4，然后利用周期性和对称性结合对数运算法则求值．
【详解】为奇函数，即其图象关于点对称，所以的图象关于点对称，
为偶函数，即其图象关于轴对称，因此的图象关于直线对称，
所以，，，
所以，，由此解得，，
所以时，，
由对称性得，
所以，是周期函数，周期为4，
，
，
故选：B．
二、多选题
9．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】a＝2－b代入即可判断A，利用特殊值可判断B，利用基本不等式可求ab的范围，从而可判断C，利用和基本不等式可求的范围，从而判断D.
【详解】对于A，，且，，解得，故A正确；
对于B，不妨取，则不满足，故B错误；
对于C，，且，，当且仅当时，等号成立，，故C正确；
对于D，，且，，
当且仅当，即时等号成立，∵－3＝，∴，故D错误.
故选：AC
10．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象的对称轴为直线
D．函数的单调递增区间为
【答案】BD
【分析】由函数的部分图象求出、和、的值，写出的解析式，利用图象平移得出的解析式，再逐项判断即可.
【详解】由函数的部分图象知，，且，
所以，解得，又，
所以，即，，解得，，
又，所以，所以.
将函数的图象向左平移个单位长度后，
得的图象，
所以，不满足，所以不是奇函数，A错误；
的最小正周期为，B正确；
令，解得，，
所以图象的对称轴为直线，，C错误；
令，解得，，
所以的单调递增区间为，D正确.
故选：BD.
11．如图，在梯形中，，，，，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），，则下列说法正确的是（ ）

A．B．若为线段的中点，则
C．D．的最小值为6
【答案】AC
【分析】对于选项A，过作的垂直，再根据条件即可求出，从而判断出选项A的正误；
对于选项BCD，通过建立平面直角从标系，求出各点坐标，逐一对BCD分析判断即可得出结果.
【详解】选项A，过作的垂直，交于，所以，又，，，，，
所以，故选项A正确；
建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，
选项B，因为为线段的中点，则，，，
所以，由，得到，所以，故选项B错误；
设，则，，
选项C，由，得到，解得，故选项C正确；
选项D，，，所以，
令，对称轴为，又，当时，所以的最小值为，故选项D错误；

故选：AC.
12．已知，，则（ ）
A．函数在上有两个极值点
B．函数在上的最小值为
C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
D．若（），则的最小值为
【答案】BCD
【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性判断A，求出函数的导数，根据函数的单调性判断B，若对任意，不等式恒成立，则对恒成立，参变分离再根据对勾函数的性质判断C，依题意可得，构造函数利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可判断D；
【详解】解：对于A：，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值点，故A错误；
对于B：，令，解得，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，当时，
则对任意，不等式恒成立，即对恒成立，
即对恒成立，又在上单调递增，所以，
所以，故C正确；
对于D：若，
则，
，，，且，则，
所以，
设，设，则，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，此时，
故的最小值为，故D正确；
故选：BCD
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
三、填空题
13．若，则函数的值域是 .
【答案】
【分析】先将函数变形为，再利用基本不等式求最值即可求得函数的值域.
【详解】∵.
当时，，
当且仅当，即时取等号；
故函数的值域为.
故答案为：.
14．已知，，，，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据余弦倍角公式，同角三角函数关系及角的范围求出，，
，再利用凑角法，正弦的差角公式求出答案.
【详解】，即
又因为，
所以，
所以，
因为，，
所以，
又，
所以，
而，
所以
故答案为：
15．已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 .
【答案】2
【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案.
【详解】设是图像上的一点，，
所以在点处的切线方程为，①，
令，解得，
，所以，
，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），
所以，此时①可化为，
所以.
故答案为：
四、双空题
16．校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面(墙面与地面垂直)(如图)，现在一支架斜杆长为，一端靠在墙上，另一端落在地面上，则该支架斜杆与其在墙面和地面上射影所围成三角形周长的最大值为 ；现为调整支架安全性，要求前述直角三角形周长为，面积为，则此时斜杆长度应设计为 .
【答案】 13.
【解析】（1）由勾股定理有，结合基本不等式即可求周长最大值；（2）设斜杆长为，它与地面的夹角为，根据题设列方程组并结合同角三角函数关系构造方程求值即可；
【详解】（1）设其在墙面和地面上射影分别为、，则：周长，而，又，
∴，
（2）设斜杆长为，它与地面的夹角为，由题意有：，
∴，而，结合，知：
，解之得，
故答案为：；13；
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，应用勾股定理、同角三角函数关系列方程求直角三角形斜边长，属于中档题.
五、解答题
17．已知集合，.
(1)若集合，求此时实数的值；
(2)已知命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次不等式解集与方程之间的关系和韦达定理，即可求出的值；
（2）把利用充分条件关系求参数的范围，转化为集合的包含关系，通过分类讨论思想，列出关于实数的不等式组，解出即可.
【详解】（1）因为，
所以方程的两根分别为和，
由韦达定理得，解得；
（2）因为，
由于是的充分条件，则，
当时，，
此时不成立；
当时，，
因为，则有，解得；
当时，，
因为，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
18．设.
（1）求的最小正周期及图象的对称轴方程；
（2）讨论在上的单调性及最值.
【答案】（1）最小正周期为；对称轴方程为，；（2）在上单调递减，在上单调递增；，
【分析】利用二倍角和辅助角公式整理函数为；
（1）根据正弦型函数求得最小正周期；令，解得即为所求对称轴方程；
（2）由的范围得到，求得时的值，结合正弦函数的性质可得到函数的单调性；根据单调性和正弦函数图象和确定最大值和最小值.
【详解】
（1）最小正周期
令，，解得：，
对称轴方程为，
（2）
令，解得：
在上单调递减，在上单调递增
，
【点睛】本题考查正弦函数最小正周期、对称轴、单调性和最值的求解问题，涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数的问题；关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的性质来求解正弦型函数的性质.
19．已知定义在上的函数，其中为常数.
(1)若是函数的一个极值点，求的值.
(2)若函数在区间上是增函数，求的取值范围.
(3)若时，求函数在上的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出导函数，利用极值点建立方程求解，要注意验证；
（2）解法一：根据和分类讨论，利用导数研究函数的单调性，利用单调区间列不等式求解即可；解法二：分离参数，把函数单调性问题转化为函数恒成立问题即可求解；
（3）先通过绝对值的概念求得，然后利用导数法求解每一段函数的值域，最后再求并集即可.
【详解】（1），.
∵是的一个极值点，∴，∴，经验证满足题意.
（2）解法一：①当时，在区间上是增函数，∴符合题意，
②当时，，令得：，，
当时，对任意，，∴符合题意，
当时，当时，，∴，∴符合题意，综上所述，.
解法二：因为函数在区间上是增函数，所以对任意，，
所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，
又因为，所以，所以.
（3）当时，，，令得，
令得或，令得，
所以，
即，
当时，，，
所以函数在上单调递增，所以，
此时函数的值域为；
当时，，，
令得，令得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，且，，，
所以，此时函数的值域为；
综上，函数在上的值域为.
20．已知为奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断并用定义法证明函数的单调性；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)；
(2)单调递增函数，证明见解析；
(3)或.
【分析】（1）由奇偶性知求参数，注意验证是否为奇函数；
（2）由函数单调性定义求证单调性即可；
（3）根据（2）所得单调性有，即可求解集.
【详解】（1）由是奇函数，则，解得，
所以且定义域为R，，
综上，.
（2）在R内单调递增，证明如下：
设，而
，
而，故，即，
所以函数是单调递增函数；
（3）由在上递增，
令，解得，令，解得，
所以原不等式等价于，
所以，故解集为或.
21．在 ①； ②； ③设的面积为，且.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.
在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知_________，且.
(1)求周长的最大值;
(2)求的取值范围.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选 ①：利用正弦定理、余弦定理、基本不等式进行求解即可；
选②：利用同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式进行求解即可；
选③：利用三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.
（2）方法一：利用正弦定理、两角和的正弦公式，结合换元未能二次函数的性质进行求解即可；
方法二：利用余弦定理，锐角三角形的性质进行求解即可.
【详解】（1）选 ①，
由正弦定理得，
由余弦定理代入上式，得：，
因为，所以，
又，所以，
即，
因为，所以，即
当且仅当时取等号；
所以周长的最大值为.
选②，因为
，
所以，
又，故.
又，故.
以下同①.
选③，因为，即，
所以，
根据余弦定理可得，所以，
又，故.
以下同①.
（2）方法一：
.
令，原式转化为，
因为为锐角三角形，，，
所以，，
又因为，
函数的对称轴为，
所以函数在区间上递增，
所以.
方法二：
由余弦定理，得，
则，
令，，
将代入，可得.
因为为锐角三角形解得，
又因为，函数的对称轴为，
所以函数在区间上递增，
所以.
22．设
(1)证明：；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先用分析法写出所证不等式的等价命题，再用“构造函数”的方法或用“三角函数定义结合单位圆”的方法，即可证明；
（2）可用“分类讨论和端点效应”的方法或“分参和洛必达法则”的方法解决.
【详解】（1）证明：当时，
要证成立，
只要证 ，成立，
只要证 ，成立，
法一（构造函数）
令，
所以在上单调递增，
所以，故，
即成立
令
，
所以在上单调递增，
所以，故，
所以，即，
综上.
法二（三角函数定义结合单位圆）
构造单位圆，如图所示：

则，设，则，
过点作直线垂直于轴，交所在直线于点，
由 ，得 ，所以，
设，则，
由 ，得 ，所以，
由图可知：，
即，
即，
即.
（2），恒成立，
法一（分类讨论和端点效应）
令，
，，
令，则，
，
所以，解得，
①当时，
，所以，
所以，
所以在上单调递减，
所以，即在恒成立.
②当时，
ⅰ. 当时，，
所以在上单调递增，
所以，不符合题意.
ⅱ. 当时，在上单调递减，
因为， ，
所以，使，
所以当时，，
所以在上单调递增，所以，即，
所以在上单调递增，
所以，不符合题意，
所以.
（2）法二（分参和洛必达法则）
，恒成立，
即
令，，
，
，
令，
，
所以在上单调递减，
所以，故，
所以在上单调递减，
现求当逼近于0时，的极限值，
由洛必达法则知，所以，
故.
【点睛】利用导数求解恒成立的方法主要有：①分离参数法：分离参数，求解函数最值；
②放缩法：利用常见不等式进行适当放缩；③分类讨论法：结合导数分类讨论，求解最值即可.