2024届北京市第四中学高三上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2024届北京市第四中学高三上学期10月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】判定出两集合的关系判断选项AB；求得否定选项C；求得否定选项D.
【详解】由，，可得
故选项A判断错误；选项B判断正确；
，则选项C判断错误；
，则选项D判断错误.
故选：B
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】，
所以该复数在复平面内的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D.
3．设则
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】：因为，所以，那么，
所以.
4．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据幂函数，余弦函数，对数函数及指数函数的奇偶性与单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，函数，
因为，所以函数为奇函数，故A不符题意；
对于B，因为，
所以函数在上不是减函数，故B不符题意；
对于C，函数，
因为，所以函数为偶函数，
令，
令在区间上单调递增，
而函数在区间上单调递减，
所以函数在区间上单调递减，
又函数为增函数，
所以函数在区间上单调递减，故C符合题意；
对于D，当时，为增函数，故D不符题意.
故选：C.
5．若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，由题意可得恒成立，结合即可求解.
【详解】令，
则，
当且仅当等号成立，所以，
又的解集为R，
所以恒成立，故，
即实数a的取值范围是.
故选：A.
6．设，且，“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由解得：x<0.
由化为：,即，解得x>1或x<0.
∴“”是“”的充分不必要条件，
故选A.
7．若在区间上单调递增，则可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复合函数的单调性可知函数在上单调递减，且过原点，进而得在上单调递增，即可求解.
【详解】函数在R上单调递减，函数在上单调递增，
又函数的定义域为，
所以函数在上单调递减，且过原点，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
故选：D.
8．设偶函数对任意，都有，当时，．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质以及已知条件的等式，即可将转化为求解.
【详解】因为是偶函数，所以，
又，所以，即，
则.
故选：A
9．已知定义在上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论：
①；
②可能是偶函数；
③在上一定存在最大值；
④的解集为．
其中正确的结论为（ ）
A．①②B．①③C．①④D．②④
【答案】C
【分析】令，即可判断①；令，结合奇偶性得定义即可判断②；设，结合当时，，判断出函数的单调性，即可判断③④.
【详解】对于①，令，则，所以，故①正确；
对于②，令，则，
所以，所以为奇函数，
又当时，，所以不是常函数，不可能是偶函数，故②错误；
对于③，设，则，
则，
所以，所以是减函数，
所以在上一定存在最大值，故③错误；
对于④，因为为减函数，，
由，得，解得，
所以的解集为，故④正确.
故选：C.
10．下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1）；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合（从到是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点的坐标为（如图3），图3中直线与x轴交于点，则的象就是，记作．
则下列命题中正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．在其定义域上单调递增D．的图象关于轴对称
【答案】C
【分析】借助于图形来看四个选项，先由可判断A，实数所在区间不关于原点对称，知B错，从图形上可得在定义域上单调递增，C对，先找到，再利用图形判断D错，
【详解】如图，因为点在以为圆心，为半径的圆上运动，
对于A，当时，的坐标为，，
直线的方程为，即，所以点的坐标为，
故，即A错.
对于B，因为实数所在区间不关于原点对称，所以不存在奇偶性．故B错．
对于C，当实数越来越大时，直线与轴的交点也越来越往右，即也越来越大，所以在定义域上单调递增，即C对．
对于D，当实数时，对应的点在点的正下方，此时点，所以，
再由图形可知的图象关于点，对称，而非关于轴对称，即D错．
故选：C．
二、填空题
11．命题“”的否定是 ．
【答案】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.
【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“”的否定是.
故答案为：.
12．计算： .
【答案】1
【分析】根据对数运算法则即可求解．
【详解】
故答案为：1
13．函数y=的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据函数表达式得到使得函数有意义只需要,解这个不等式取得交集即可.
【详解】由得－1故答案为.
【点睛】求函数定义域的类型及求法:(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b求出;②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
14．若存在使得成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用当时，由函数与的单调性可得函数单调性，进而得出的取值范围．
【详解】当时，函数与在分别具有单调递增与单调递减．
函数在上单调递增．
，
又当时，，
．
存在使得方程成立，
．
故答案为：
三、双空题
15．已知函数．
①若，则函数的值域为 ；
②若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】

【分析】根据二次函数和指数函数的性质即可求出函数的值域；根据零点和对应方程的解得关系可知，当时方程有1个解，当时方程有2个解，结合即可求解.
【详解】若，，
当时，，
当时，，
所以，即函数的值域为；
若函数有三个零点，
当时，令，
当时，方程有2个解，则，
即，由解得，
综上，，即实数a的取值范围为.
故答案为：；.
四、解答题
16．已知函数.
（Ⅰ）若点在角的终边上，求的值；
（Ⅱ）若，求的值域.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）利用三角函数定义得正余弦值，再代入计算即可；（Ⅱ）化简函数解析式，再整体代入求值域即可
【详解】（Ⅰ）因为点在角的终边上，
所以，，
所以
（Ⅱ）
，
因为，所以，
所以，
所以的值域是
17．已知函数在处取得极小值，其导函数为．当变化时，变化情况如下表：
(1)写出的值，并说明理由；
(2)求的值．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)
【分析】（1）根据函数极小值点的定义求解即可；
（2）根据题意得，进而解方程即可得答案.
【详解】（1）解：，理由如下：
由表格中的数据可知，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值.
所以，为函数的极小值点.
（2）解：由题知，
所以，结合（1）有：，即，解得.
所以，
18．国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．
（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？
（2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种．
① 每日进行定额财政补贴，金额为2300元；
② 根据日加工处理量进行财政补贴，金额为．
如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？
【答案】（1）加工处理量为吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；（2）选择两种方案均可，理由见解析.
【解析】（1）根据条件写出每吨厨余垃圾的平均成本表达式，利用基本不等式求解出其最小值，并判断处理吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态；
（2）根据两种补贴方式分别列出企业日获利的函数表达式，并求解出最大值，将最大值进行比较确定出所选的补贴方式.
【详解】解：（1）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为.
又.
当且仅当，即吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低.
因为，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；
（2）若该企业采用第一种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得
因为,所以当吨时，企业最大获利为850元.
若该企业采用第二种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得

因为,所以当吨吨时, 企业最大获利为850元.
结论：选择方案一，因为日加工处理量处理量为70吨时，可以获得最大利润；选择方案二，日加工处理量处理量为90吨时，获得最大利润，能够为社会做出更大贡献；由于最大利润相同，所以选择两种方案均可.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
19．已知函数是定义域为的奇函数，满足．
(1)求函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由，即，又，解得，则可得的解析式，
（2）由函数的单调性定义，即可得出答案．
（3）根据函数的奇偶性以及单调性，即可结合对数函数的单调性求解.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，
所以，所以，
又因为，解得，所以，
，故当，时，是奇函数，
故
（2）设，
则，
因为，
所以，，，
所以，
即，所以在上为增函数．
（3）由于是上的函数，
所以，解得，
由为奇函数以及得，
又在上为增函数．所以，
故，解得，
故 ，
因此解集为
20．已知函数．
(1)若，求函数的单调递减区间；
(2)若，求函数在区间上的最大值；
(3)若在区间上恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2)答案见详解
(3)1
【分析】（1）求导，利用导数求原函数单调递减区间；（2）分类讨论判断导函数符号，进而确定原函数的单调性及最大值；（3）根据恒成立理解可得，分类讨论，结合（2）运算求解.
【详解】（1）当时，，则，
令．因为 ，则
所以函数的单调递减区间是
（2）．
令，由，解得，（舍去）．
当，即时，在区间上，函数在上是减函数．
所以函数在区间上的最大值为；
当，即时，在上变化时，的变化情况如下表
所以函数在区间上的最大值为．
综上所述：
当时，函数在区间上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为．
（3）当时，则在上恒成立
∴函数在上是减函数，则
∴成立
当时，由（2）可知：
①当时，在区间上恒成立，则成立；
②当时，由于在区间上是增函数，
所以 ，即在区间上存在使得，不成立
综上所述：的取值范围为，即的最大值为．
21．已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.
(1)当，时，写出的所有可能值；
(2)若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；
(3)若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据定义知，讨论、及大小求所有可能值；
（2）由，假设存在使，进而有，可得，即可证结论；
（3）由题设，令，讨论、求证即可判断存在性.
【详解】（1）由，，
若，则，即，此时，
当，则，即；
当，则，即；
若，则，即，此时，
当，则，即；
当，则，即（舍）；
综上，的所有可能值为.
（2）由（1）知：，则，
数列中的项存在最大值，故存在使，，
由，
所以，故存在使，
所以0为数列中的项；
（3）不存在，理由如下：由，则，
设，
若，则，，
对任意，取（表示不超过的最大整数），
当时，
；
若，则为有限集，
设，，
对任意，取（表示不超过的最大整数），
当时，
；
综上，不存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有.
【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定，并构造集合，讨论、研究存在性.
1
+
0
-
0
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x
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+
-
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