2020届北京市西城区第四中学高三上学期10月月考数学试题（解析版）

2020届北京市西城区第四中学高三上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．的值为（   ）

A．               B．             C．              D．

【答案】C

【解析】试题分析：因,故应选C.

【考点】诱导公式及运用.

2．设数列{an}是等差数列，若a3+a4+a5＝12，则a1+a2+…+a7＝（    ）

A．14 B．21 C．28 D．35

【答案】C

【解析】根据等差数列性质得到，再计算得到答案.

【详解】

数列{an}是等差数列，则；

故选：

【点睛】

本题考查了等差数列的性质，意在考查学生对于数列性质的灵活运用.

3．设，则“”是“”的（  ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】 ，得 成立；若 ，得

【详解】

若 ，得 成立；反之，若 ，得

故选：C.

【点睛】

本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“”推出“”.

4．定义：，若复数z满足，则z等于（    ）

A．1+i B．1﹣i C．3+i D．3﹣i

【答案】B

【解析】根据定义得到，代入数据化简得到答案.

【详解】

根据题意知：

故选：

【点睛】

本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.

5．已知集合，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】解绝对值不等式可得集合M,解分式不等式可得集合P,即可求得。

【详解】

集合

解绝对值不等式,可得

集合

解分式不等式,可得

则

故选:B

【点睛】

本题考查了集合交集的简单运算,绝对值不等式与分式不等式的解法,属于基础题。

6．在同一坐标系内，函数的图象关于（    ）

A．原点对称      B．x轴对称        C．y轴对称      D．直线y=x对称

【答案】C

【解析】因为，所以两个函数的图象关于y轴对称，故选C。

7．函数在点P（2，k）处的切线是（    ）

A．x﹣2y＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x﹣2y﹣1＝0 D．2x﹣2y﹣3＝0

【答案】C

【解析】求导得到，当时，，计算得到切线方程.

【详解】

，当时，

故切线方程为：

故选：

【点睛】

本题考查了求函数的切线方程，意在考查学生的计算能力.

8．函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】解：x∈（-∞，1）时，x-1＜0，由（x-1）•f'（x）＜0，知f'（x）＞0，

所以（-∞，1）上f（x）是增函数．

∵f（x）=f（2-x），

∴f（3）=f（2-3）=f（-1）

所以f（-1）＜（0）＜，

因此c＜a＜b．

故选B．

9．已知是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由函数的周期性和奇函数的性质可得出，代入解析式可得出的值.

【详解】

由于函数定义在上的周期为的奇函数，且当时，，

，故选A.

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性与周期性求值，对于自变量绝对值较大的函数值的求解，一般先利用周期性将自变量的绝对值变小，然后利用函数奇偶性求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.

10．设函数f（x）sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（    ）

A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）

C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

【答案】C

【解析】求导得到，计算得到，代入式子化简得到

，取或时计算得到答案.

【详解】

，则

故

当或时得：或

故选：

【点睛】

本题考查了极值，存在性问题，意在考查学生对于导数的应用能力.

二、填空题

11．函数f（x）的定义域是_____．

【答案】（，0）∪（0，+∞）．

【解析】根据定义域定义得到计算得到答案.

【详解】

函数的定义域满足：

故答案为：

【点睛】

本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.

12．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为                 .

【答案】

【解析】解析：依题意得y′=ex，因此曲线y=ex在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y-e2=e2（x-2），当x=0时，y=-e2即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：

13．已知等比数列的公比为2,前n项和为,则=______.

【答案】

【解析】由等比数列的定义，S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q＋a2q2，

得＋1＋q＋q2=.

14．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则A，B两点的距离

为       m

【答案】

【解析】由正弦定理得

15．已知函数，且是函数的极值点。给出以下几个命题：

①；

②；

③；

④

其中正确的命题是__________．（填出所有正确命题的序号）

【答案】①③．

【解析】试题分析：的定义域为，，所以有，所以有即即，所以有；因为，所以有。

【考点】导数在求函数极值中的应用

16．设函数f（x），

①若a＝1，则f（x）的最小值为_____；

②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是_____．

【答案】﹣1    a＜1，或a≥2．   

【解析】①分别计算和的最小值，比较得到答案.

②设h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a），讨论有一个零点和没有零点两种情况，计算得到答案.

【详解】

①当a＝1时，f（x），

当x＜1时，f（x）＝2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，

当x1时，f（x）＝4（x﹣1）（x﹣2）＝4（x2﹣3x+2）＝4（x）2﹣1，

当1＜x时，函数单调递减，当x时，函数单调递增，

故当x时，f（x）min＝f（）＝﹣1，故最小值为

②设h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）

若在x＜1时，h（x）与x轴有一个交点，

所以a＞0，并且当x＝1时，h（1）＝2﹣a＞0，所以0＜a＜2，

而函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以a＜1，

若函数h（x）＝2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，

则函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，

当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），

当h（1）＝2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1＝a，x2＝2a，满足题意的

综上所述：a的取值范围是a＜1，或a≥2．

故答案为：-1；a＜1，或a≥2．

【点睛】

本题考查了函数的最值和函数的零点问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用.

三、解答题

17．已知：{an}是公比大于1的等比数列，Sn为其前n项和，S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn＝log2a3n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

【答案】（1）an＝2n﹣1，n∈N（2）Tn＝（n2+n）

【解析】（1）直接利用等比数列公式和等差中项公式计算得到答案.

（2）计算得到，直接利用等差数列求和公式得到答案.

【详解】

（1）{an}是公比q大于1的等比数列，Sn为其前n项和，S3＝7，可得a1（1+q+q2）＝7，①

a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，可得6a2＝a1+3+a3+4，即6a1q＝a1+a1q2+7，②

由①②可得a1＝1，q＝2，则an＝2n﹣1，n∈N；

（2），

数列{bn}的前n项和Tn＝3（1+2+…+n）＝3n（n+1）（n2+n）．

【点睛】

本题考查了等比数列通项公式，等差数列求和，意在考查学生对于数列公式的综合应用.

18．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.

(1)求φ；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；

(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．

【答案】（1）；（2）；（3）图象见解析.

【解析】解：（I）∵，∴．

∵，∴．…………4分

（II）．由

得函数的单调增区间为．…………8分

（Ⅲ）由知

故函数在区间上的图象如图所示．

…………12分

19．已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的极值.

【答案】(1) x＋y－2＝0；(2) 当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a无极大

【解析】解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.

(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，

f′(x)＝1－(x>0)，

因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，

所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.

(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：

①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；

②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，

又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，

从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；

当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．

20．（本小题满分12分）

在中，内角对边分别是，若

 （1）当求角的度数；（2）求面积的最大值。

【答案】（1）（2）3.

【解析】第一问利用正弦定理得到

第二问中

得

解：（1）

。。。。。。。。。。。5分

（2）

得

所以面积的最大值为。。。。。。。。。。。。。12分

21．某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”）．

（1）试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？

（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？

【答案】（1）w,企业亏损（2）当年广告费投入7万元时，企业年利润最大

【解析】（1）先计算售价为，再计算利润为，化简得到答案.

（2）化简得到，利用均值不等式计算得到答案.

【详解】

（1）由题意，每件售价为150%50%，

则 ，

则当x＝100时，w0，故企业亏损．

（2）

（当且仅当x＝7时等号成立）．

故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．

【点睛】

本题考查了函数和均值不等式的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

22．已知：函数f（x）＝2lnx﹣ax2+3x，其中a∈R．

（1）若f（1）＝2，求函数f（x）的最大值；

（2）若a＝﹣1，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）＝0，证明：．

【答案】（1）f（x）max＝2ln2+2（2）证明见解析

【解析】（1）计算得到，求导得到函数的单调区间，再计算最大值得到答案.

（2）代入数据得到，得到，设得到函数的最小值得到不等式（x1+x2）2+3（x1+x2）≥2，计算得到答案.

【详解】

（1）∵f（1）＝2，∴﹣a+3＝2，∴a＝1，∴f（x）＝2lnx﹣x2+3x，

∴f'（x）2x+3，

由f'（x）＞0得，0＜x＜2，有f'（x）＜0得，x＞2，

∴f（x）在（0，2）为增函数，在（2，+∞）为减函数，

∴f（x）max＝f（2）＝2ln2+2；

（2）证明：当a＝﹣1，f（x）＝2lnx+x2+3x，

∵f（x1）+f（x2）＝2lnx1+x12+3x1+2lnx2+x22+3x2＝0，

∴（x1+x2）2+3（x1+x2）＝2（x1x2﹣lnx1x2），

令h（t）＝t﹣lnt，∴h'（t）＝1，

由h'（x）＞0得，t＞1，由h'（x）＜0得，0＜t＜1，

∴h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，

∴h（x）min＝h（1）＝1，∴（x1+x2）2+3（x1+x2）≥2，

∴（x1+x2）2+3（x1+x2）﹣2≥0，

解得：．

【点睛】

本题考查了函数的最值，利用导数证明不等式，构造函数是解题的关键.