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2024届广东省茂名市信宜市第二中学高三上学期10月月考数学试题含答案
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这是一份2024届广东省茂名市信宜市第二中学高三上学期10月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简集合，再利用交集运算求解.
【详解】因为，所以，即;
所以．
故选:B．
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将复数z代入目标式，结合复数的除法和共轭复数求解即可.
【详解】因为，所以．
故选：B．
3．已知向量，，，若，则（ ）
A．1B．C．0D．
【答案】B
【分析】根据向量坐标运算求解.
【详解】因为，，所以，因为，
所以，解得，
故选：B.
4．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】复合函数利用“同增异减”求解函数的单调性，求出函数在上单调递减，从而得到集合的包含关系，求出的取值范围.
【详解】令，则.
由在上单调递减，则在上单调递减.
所以.
所以，
解得.
故选：D.
5．已知椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】求出的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】因为，可得.
若椭圆的焦点在轴上，则，解得；
若椭圆的焦点在轴上，则，解得.
综上所述，或.
故选：C.
6．已知数列{an}， 则“为等差数列”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】由充要条件的定义以及等差数列的特点可知前者可推后者，而后者需满足对任何的，成立才可以推出前者.
【详解】“为等差数列”成立，一定有成立，即充分性成立；而只满足“”成立，不能判定“为等差数列”成立，必须满足，成立，才可以判定为等差数列.故“{an}为等差数列”是“a1＋a3＝2a2”是的充分而不必要条件.
故选：C.
7．已知动点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】由题意求出切线长的表达式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题可知圆的圆心为，半径为，
设，则，有，
得，
当时，.
故选：C.
8．已知，函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得，，从而利用即可求解.
【详解】解：令，，则或，
令，，则，
又，，
所以，，，，
因为，，
所以，，
所以，
故选：B.
二、多选题
9．随机抽取6位影迷对电影《长津湖》的评分，得到一组样本数据如下：，则下列关于该样本的说法中正确的有（ ）
A．均值为95B．极差为6
C．方差为26D．第80百分位数为97
【答案】ABD
【分析】根据数据的均值、极差、方差以及第80百分位数的计算，分别判断各选项，即得答案.
【详解】由题意得的平均值为，A正确；
极差为，B正确；
方差为，C错误；
由于，故第80百分位数为第5个数，即97，D正确，
故选：ABD
10．如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（ ）
A．野生水葫芦的面积每月增长量相等
B．野生水葫芦从蔓延到历时超过1个月
C．设野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有
D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度
【答案】BC
【分析】根据图中数据可计算得出A、B、D选项；根据图像得到指数函数解析式，表示出，，，根据对数计算即可判断C选项.
【详解】由图可知野生水葫芦第一个月增长面积为，第二个月增长面积为，A错误；
由图可知野生水葫芦从蔓延到历时超过1个月，B正确；
野生水葫芦的面积与时间的函数关系为，，，
，，所以，C正确；
野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为
野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为，D错误.
故选：BC
11．已知不恒为0的函数，满足，都有．则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．为偶函数
【答案】BD
【分析】令和，即可判断选项AB；令，即可判断选项CD.
【详解】令，则，∴或1．
令，则，若，则，与不恒为0矛盾，∴，∴选项B正确选项A错误；
令，则，∴，∴为偶函数，∴选项D正确选项C错误.
故选：BD．
12．如图是一个装有水的全封闭直三棱柱容器，，，若水的体积恰好是该容器体积的一半， 容器厚度忽略不计， 则（ ）
A．转动容器， 当平面水平放置时， 容器内水面形成的截面为， 则都是所在棱的中点
B．当底面水平放置后， 将容器绕着转动（转动过程中始终保持水平）， 有水的部分是棱柱
C．在翻滚转动容器的过程中， 有水的部分可能是三棱锥
D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为
【答案】BD
【分析】根据棱柱和棱台的体积公式计算，即可判断A；根据直观想象，结合棱柱、三棱锥的概念即可判断BC；根据题意确定棱柱的外接球，结合外接球的体积公式，利用基本不等式计算即可判断D.
【详解】A：当平面水平放置时，假设都为所在棱的中点，
设水面到底面的的距离为，，
所以水的体积为，
又转动前水的体积为，
所以不为所在棱的中点，故A错误；
B：当平面水平放置时（始终保持水平），则平面平面，
所以有水的部分是棱柱，故B正确；
C：在翻滚､转动容器的过程中，
当平面水平放置时，三棱锥的体积取到最大值，如图，
此时，
而水的体积为，所以有水的部分不可能是三棱锥，故C错误；
D：取的中点，连接，取的中点O，连接OA，
则D为的外接圆圆心，O为三棱柱外接球的球心，
所以为外接球的半径，且，
所以直三棱柱外接球体积.
由选项A可知，容器中水的体积为，
又，所以，
当且仅当时等号成立，所以，
则水的体积与直三棱柱外接球体积之比为，
即容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．若，，则 .
【答案】
【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】解：因为，，所以，因为，所以
所以
故答案为：
14．从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
【答案】
【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.
【详解】［方法一］：反面考虑
没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，
故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．
故答案为：.
［方法二］：正面考虑
若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；
若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．
故答案为：.
【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；
方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．
15．的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
16．中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满园、称心如意、十全十美，下图为一种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一个正四棱台，上、下底边边长分别为，，侧棱长为，忽略其壁厚，则该升斗的容积为 ．
【答案】
【分析】先求出四棱台的高，再根据四棱台的体积公式计算.
【详解】
上下底面对角线的长度分别为： ， 高h ，
上底面的面积 ，下底面的面积 ，
四棱台的体积 ；
故答案为： .
四、解答题
17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用正弦定理化简即可得到角A；
（2）先用余弦定理计算c，再用面积公式计算面积.
【详解】（1）由正弦定理，
因为，所以，所以
因为，所以，所以.
（2）由余弦定理，或（舍）
所以.
18．设等差数列的公差为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可求出等差数列的公差和首项，即可得答案；
（2）由题设可得时，，即可推出，求得的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求得答案.
【详解】（1）由题意等差数列的公差为，且，，
即，解得，
故，
即数列的通项公式为.
（2）因为①，
则时，，
故当时，②，
①②可得，而也适合该式，
故，又，所以，
则数列是以为首项，公比为的等比数列，
故.
19．在四棱锥中，底面为直角梯形，分别为的中点，.
(1)证明：；
(2)若与所成角为，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由和证明面即可得出.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和面的法向量，利用向量关系即可求出.
【详解】（1）连接，如图所示：
因为为的中点，
所以，
又且面，
所以面
又面，
所以.
（2）底面为直角梯形，，为的中点，
则，
综上，四边形为正方形，故，
又，
则四边形是平行四边形，则，
所以由题意，则，
以为原点，以为轴，为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
则，
故，
设面的一个法向量为，则
，令，则，
取平面的一个法向量为，
,
所以平面与平面所成角的余弦值.
20．某产品按照产品质量标准分为1等品、2等品、3等品、4等品四个等级．某采购商从采购的产品中随机抽取100个，根据产品的等级分类标准得到下面柱状图：
(1)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3个，求恰好有1个4等品的概率；
(2)按分层抽样从这100个产品中抽取10个．现从这10个产品中随机抽取3个，记这3个产品中1等品的数量为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）利用二项分布即可求得从采购的产品中有放回地随机抽取3个，恰好有1个4等品的概率；
（2）利用超几何分布求得1等品的数量的各个值对应的概率，进而得到的分布列及数学期望．
【详解】（1）从采购的产品中有放回地随机抽取3个，记4等品的数量为，
由已知取1个产品为4等品的概率为，
依题意，，则，
即恰好有1个4等品的概率为；
（2）分层抽样从这100个产品中抽取10个产品中，
1等品的有个，非1等品的有个，
依题意，0，1，2，3，
，，
，，
则的分布列为：
．
21．已知函数.
(1)求函数的单调性；
(2)当时，记函数的最小值为，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得，分别讨论和两种情况下的正负，可得的单调性.
（2）由（1）可得，令，利用导数求得的单调性和最值，即可得证
【详解】（1）由题知函数定义域为，求导得，
①当时，恒成立，
所以在上单调递增；
②当时，当时，解得，
所以时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上所述：时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由（1）得的最小值为，
设，，则，
令，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
所以.得证.
22．已知点，动点M在直线上，过点M且垂直于x轴的直线与线段的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知圆的一条直径为，延长分别交曲线C于两点，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)36
【分析】（1）法一：设点，由题意可知，将该式转化为方程，化简可得答案；
法二：利用抛物线的定义即可求得答案.
（2）法一：设直线方程为，分别联立抛物线方程和圆的方程，求得交点坐标，即可求得的表达式，同理得的表达式，即可求得四边形面积的表达式，结合函数的单调性，即可求得答案；
法二：设直线方程为，下面方法和法一相同.
【详解】（1）法一：设点，则．
由题意知，即，
整理得：，
则曲线C的方程为．
法二：由题意知，点P到点的距离等于其到直线的距离相等，
则点P的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，
则曲线C的方程为.
（2）法一：由题意知，为圆的直径，则．
由题意知直线存在斜率，设为k，且，则直线的斜率为．
又OA所在直线为，
联立，解得：或，则不妨取S点横坐标为，
联立，解得：或，则不妨取A点横坐标为，
所以．
同理可得，
四边形的面积
,
令，,则,
因为S在上单调递增，所以当时，S有最小值36．
即当时，四边形面积的最小值为36
法二：设方程为，
由,得．
由,得,
∴,
同理可得：．
令,
则在上单调递增．
∴，
当即时，四边形面积的最小值为36
即四边形面积的最小值为36．
【点睛】方法点睛：解决直线和圆锥曲线的位置关系中的面积问题，一般方法要通过联立直线和圆锥曲线方程，求得交点坐标，进而求得线段长或弦长，表示出面积的表达式，进而求解.
0
1
2
3
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简集合，再利用交集运算求解.
【详解】因为，所以，即;
所以．
故选:B．
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将复数z代入目标式，结合复数的除法和共轭复数求解即可.
【详解】因为，所以．
故选：B．
3．已知向量，，，若，则（ ）
A．1B．C．0D．
【答案】B
【分析】根据向量坐标运算求解.
【详解】因为，，所以，因为，
所以，解得，
故选：B.
4．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】复合函数利用“同增异减”求解函数的单调性，求出函数在上单调递减，从而得到集合的包含关系，求出的取值范围.
【详解】令，则.
由在上单调递减，则在上单调递减.
所以.
所以，
解得.
故选：D.
5．已知椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】求出的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】因为，可得.
若椭圆的焦点在轴上，则，解得；
若椭圆的焦点在轴上，则，解得.
综上所述，或.
故选：C.
6．已知数列{an}， 则“为等差数列”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】由充要条件的定义以及等差数列的特点可知前者可推后者，而后者需满足对任何的，成立才可以推出前者.
【详解】“为等差数列”成立，一定有成立，即充分性成立；而只满足“”成立，不能判定“为等差数列”成立，必须满足，成立，才可以判定为等差数列.故“{an}为等差数列”是“a1＋a3＝2a2”是的充分而不必要条件.
故选：C.
7．已知动点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】由题意求出切线长的表达式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题可知圆的圆心为，半径为，
设，则，有，
得，
当时，.
故选：C.
8．已知，函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得，，从而利用即可求解.
【详解】解：令，，则或，
令，，则，
又，，
所以，，，，
因为，，
所以，，
所以，
故选：B.
二、多选题
9．随机抽取6位影迷对电影《长津湖》的评分，得到一组样本数据如下：，则下列关于该样本的说法中正确的有（ ）
A．均值为95B．极差为6
C．方差为26D．第80百分位数为97
【答案】ABD
【分析】根据数据的均值、极差、方差以及第80百分位数的计算，分别判断各选项，即得答案.
【详解】由题意得的平均值为，A正确；
极差为，B正确；
方差为，C错误；
由于，故第80百分位数为第5个数，即97，D正确，
故选：ABD
10．如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（ ）
A．野生水葫芦的面积每月增长量相等
B．野生水葫芦从蔓延到历时超过1个月
C．设野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有
D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度
【答案】BC
【分析】根据图中数据可计算得出A、B、D选项；根据图像得到指数函数解析式，表示出，，，根据对数计算即可判断C选项.
【详解】由图可知野生水葫芦第一个月增长面积为，第二个月增长面积为，A错误；
由图可知野生水葫芦从蔓延到历时超过1个月，B正确；
野生水葫芦的面积与时间的函数关系为，，，
，，所以，C正确；
野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为
野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为，D错误.
故选：BC
11．已知不恒为0的函数，满足，都有．则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．为偶函数
【答案】BD
【分析】令和，即可判断选项AB；令，即可判断选项CD.
【详解】令，则，∴或1．
令，则，若，则，与不恒为0矛盾，∴，∴选项B正确选项A错误；
令，则，∴，∴为偶函数，∴选项D正确选项C错误.
故选：BD．
12．如图是一个装有水的全封闭直三棱柱容器，，，若水的体积恰好是该容器体积的一半， 容器厚度忽略不计， 则（ ）
A．转动容器， 当平面水平放置时， 容器内水面形成的截面为， 则都是所在棱的中点
B．当底面水平放置后， 将容器绕着转动（转动过程中始终保持水平）， 有水的部分是棱柱
C．在翻滚转动容器的过程中， 有水的部分可能是三棱锥
D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为
【答案】BD
【分析】根据棱柱和棱台的体积公式计算，即可判断A；根据直观想象，结合棱柱、三棱锥的概念即可判断BC；根据题意确定棱柱的外接球，结合外接球的体积公式，利用基本不等式计算即可判断D.
【详解】A：当平面水平放置时，假设都为所在棱的中点，
设水面到底面的的距离为，，
所以水的体积为，
又转动前水的体积为，
所以不为所在棱的中点，故A错误；
B：当平面水平放置时（始终保持水平），则平面平面，
所以有水的部分是棱柱，故B正确；
C：在翻滚､转动容器的过程中，
当平面水平放置时，三棱锥的体积取到最大值，如图，
此时，
而水的体积为，所以有水的部分不可能是三棱锥，故C错误；
D：取的中点，连接，取的中点O，连接OA，
则D为的外接圆圆心，O为三棱柱外接球的球心，
所以为外接球的半径，且，
所以直三棱柱外接球体积.
由选项A可知，容器中水的体积为，
又，所以，
当且仅当时等号成立，所以，
则水的体积与直三棱柱外接球体积之比为，
即容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．若，，则 .
【答案】
【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】解：因为，，所以，因为，所以
所以
故答案为：
14．从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
【答案】
【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.
【详解】［方法一］：反面考虑
没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，
故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．
故答案为：.
［方法二］：正面考虑
若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；
若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．
故答案为：.
【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；
方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．
15．的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
16．中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满园、称心如意、十全十美，下图为一种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一个正四棱台，上、下底边边长分别为，，侧棱长为，忽略其壁厚，则该升斗的容积为 ．
【答案】
【分析】先求出四棱台的高，再根据四棱台的体积公式计算.
【详解】
上下底面对角线的长度分别为： ， 高h ，
上底面的面积 ，下底面的面积 ，
四棱台的体积 ；
故答案为： .
四、解答题
17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用正弦定理化简即可得到角A；
（2）先用余弦定理计算c，再用面积公式计算面积.
【详解】（1）由正弦定理，
因为，所以，所以
因为，所以，所以.
（2）由余弦定理，或（舍）
所以.
18．设等差数列的公差为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可求出等差数列的公差和首项，即可得答案；
（2）由题设可得时，，即可推出，求得的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求得答案.
【详解】（1）由题意等差数列的公差为，且，，
即，解得，
故，
即数列的通项公式为.
（2）因为①，
则时，，
故当时，②，
①②可得，而也适合该式，
故，又，所以，
则数列是以为首项，公比为的等比数列，
故.
19．在四棱锥中，底面为直角梯形，分别为的中点，.
(1)证明：；
(2)若与所成角为，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由和证明面即可得出.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和面的法向量，利用向量关系即可求出.
【详解】（1）连接，如图所示：
因为为的中点，
所以，
又且面，
所以面
又面，
所以.
（2）底面为直角梯形，，为的中点，
则，
综上，四边形为正方形，故，
又，
则四边形是平行四边形，则，
所以由题意，则，
以为原点，以为轴，为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
则，
故，
设面的一个法向量为，则
，令，则，
取平面的一个法向量为，
,
所以平面与平面所成角的余弦值.
20．某产品按照产品质量标准分为1等品、2等品、3等品、4等品四个等级．某采购商从采购的产品中随机抽取100个，根据产品的等级分类标准得到下面柱状图：
(1)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3个，求恰好有1个4等品的概率；
(2)按分层抽样从这100个产品中抽取10个．现从这10个产品中随机抽取3个，记这3个产品中1等品的数量为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）利用二项分布即可求得从采购的产品中有放回地随机抽取3个，恰好有1个4等品的概率；
（2）利用超几何分布求得1等品的数量的各个值对应的概率，进而得到的分布列及数学期望．
【详解】（1）从采购的产品中有放回地随机抽取3个，记4等品的数量为，
由已知取1个产品为4等品的概率为，
依题意，，则，
即恰好有1个4等品的概率为；
（2）分层抽样从这100个产品中抽取10个产品中，
1等品的有个，非1等品的有个，
依题意，0，1，2，3，
，，
，，
则的分布列为：
．
21．已知函数.
(1)求函数的单调性；
(2)当时，记函数的最小值为，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得，分别讨论和两种情况下的正负，可得的单调性.
（2）由（1）可得，令，利用导数求得的单调性和最值，即可得证
【详解】（1）由题知函数定义域为，求导得，
①当时，恒成立，
所以在上单调递增；
②当时，当时，解得，
所以时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上所述：时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由（1）得的最小值为，
设，，则，
令，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
所以.得证.
22．已知点，动点M在直线上，过点M且垂直于x轴的直线与线段的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知圆的一条直径为，延长分别交曲线C于两点，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)36
【分析】（1）法一：设点，由题意可知，将该式转化为方程，化简可得答案；
法二：利用抛物线的定义即可求得答案.
（2）法一：设直线方程为，分别联立抛物线方程和圆的方程，求得交点坐标，即可求得的表达式，同理得的表达式，即可求得四边形面积的表达式，结合函数的单调性，即可求得答案；
法二：设直线方程为，下面方法和法一相同.
【详解】（1）法一：设点，则．
由题意知，即，
整理得：，
则曲线C的方程为．
法二：由题意知，点P到点的距离等于其到直线的距离相等，
则点P的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，
则曲线C的方程为.
（2）法一：由题意知，为圆的直径，则．
由题意知直线存在斜率，设为k，且，则直线的斜率为．
又OA所在直线为，
联立，解得：或，则不妨取S点横坐标为，
联立，解得：或，则不妨取A点横坐标为，
所以．
同理可得，
四边形的面积
,
令，,则,
因为S在上单调递增，所以当时，S有最小值36．
即当时，四边形面积的最小值为36
法二：设方程为，
由,得．
由,得,
∴,
同理可得：．
令,
则在上单调递增．
∴，
当即时，四边形面积的最小值为36
即四边形面积的最小值为36．
【点睛】方法点睛：解决直线和圆锥曲线的位置关系中的面积问题，一般方法要通过联立直线和圆锥曲线方程，求得交点坐标，进而求得线段长或弦长，表示出面积的表达式，进而求解.
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