2023届北京市第四十四中学高三上学期十二月月考数学试题含解析

这是一份2023届北京市第四十四中学高三上学期十二月月考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届北京市第四十四中学高三上学期十二月月考数学试题 一、单选题1．设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)【答案】A【分析】先求出集合A，再求出交集．【详解】由题意得，，则．故选A．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．【详解】解：化简可得，的共轭复数，故选：B．3．若直线3x+y+a=0过圆的圆心，则的值为（   ）A．-1 B．1 C．3 D．-3【答案】B【详解】分析：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．解答：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2），代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0，∴a=1，故选 B．点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围 4．如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A． B．C． D．【答案】B【详解】试题分析：由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数为偶函数，故选B．【解析】函数奇偶性的判定．5．点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.故选：A.6．下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简，结合正弦函数的性质，令，，对赋值，结合选项即可判断.【详解】由题，，令，，则，，当时，，当时，，因为，所以是一个单调递增的区间，故选：A7．等比数列的公比为，前项和为.设甲：，乙：是递增数列，则甲是乙的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】令先说明充分性，若是递增数列，则必有 成立说明必要性即可【详解】当时，数列不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，所以成立所以甲是乙的必要条件．故甲是乙的必要不充分条件故选：B.8．已知，则（    ）A．25 B．5 C． D．【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为，，即，所以．故选：C. 9．如图，在空间四边形中，两条对角线互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边分别相交于点，记四边形的面积为y，设，则 A．函数的值域为B．函数的最大值为8C．函数在上单调递减D．函数满足【答案】D【详解】试题分析：由题可得，，所以．同理 ，所以，所以四边形为平行四边形．又，所以 ，所以平行四边形为矩形．因为，所以，所以,因为，所以，所以 ．所以矩形的面积．函数 图象关于对称，在 上单调递增，在 上单调递减，可求得.所以值域是.【解析】1.空间直线的平行；2.相似三角形对应成比例；3.二次函数的性质.10．如图，正方形的边长为6，点、分别在边、上，且，，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点使得成立，那么的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题画出图形,设的中点为,则，可解得，讨论点P在每一条边上时，的取值范围，进而求解即可得选项.【详解】如图所示，设的中点为，则，两式平方相减得，所以，即,所以，①当点P在DC上时，当P在DC的中点处时，，此时，当P在DC的中点两侧(非端点A、D)时，，此时，②当点P在AB上时，当P在AB的中点处时，，此时，当P在AB的中点两侧(非端点A、B)时，，此时，③当点P在AD上时，当P在点E处时，，此时，当，此时，点P有2个满足的点；当，此时，点P有1个满足的点；④当点P在BC上时，当P在点F处时，，此时，当，此时，点P有2个满足的点；当，此时，点P有1个满足的点；⑤当P在点A处时，，此时，当P在点B处时，，此时，当P在点C处时，，此时，当P在点D处时，，此时，综上得：当时，有1个满足条件的点P；当时，有2个满足条件的点P；当时，有4个满足条件的点P；当时，有6个满足条件的点P；当时，有4个满足条件的点P；当时，有2个满足条件的点P；当时，有3个满足条件的点P；当时，有4个满足条件的点P；当时，有2个满足条件的点P；故选:C.【点睛】本题考查数量积的应用，考查数形结合思想，属于中档题. 二、填空题11．函数的定义域是_____________．【答案】【详解】试题分析：函数有意义得：，解得即函数定义域为．【解析】求函数定义域．12．若的展开式中的系数是，则        ．【答案】1【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数，再根据的系数是列方程求解即可.【详解】展开式的的通项为，令，的展开式中的系数为，故答案为1.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 13．写出一个对于任意，同时满足条件和的函数解析式：________.【答案】（答案不唯一）【分析】题目的意思就是让我们写出一个周期为的偶函数.【详解】说明函数是偶函数；说明函数的周期为.故答案为：（答案不唯一）14．已知数列：具有性质：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质；②数列0，2，4，6具有性质；③若数列具有性质，则；④若数列具有性质，则.其中所有正确命题的序号是________.【答案】②③④【分析】分别求得各命题中的与，根据定义，判断真假即可.【详解】①数列0，1，3中，，，都不是该数列中的数，故①不正确；②数列0，2，4，6，，，，，，这6组数都满足和两数中至少有一个是该数列中的一项，所以数列0，2，4，6具有性质，故②正确；③若数列具有性质，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，∵，，而不是该数列中的项，∴是该数列中的项，∴，故③正确；④∵数列，，具有性质，，由③，，，，都是该数列中的项，∴与至少有一个是该数列中的项，易知不是该数列的项，则是该数列中的一项，即或或，若，则，即，与矛盾；若，则，即；若，则，与矛盾，综上，，故④正确．故答案为：②③④ 三、双空题15．已知，若，则________；若是上的减函数，那么的取值范围是________.【答案】     ##     .【分析】先求出函数解析式，分段代入求解即可；根据函数的单调性以及一次函数和对数函数的性质，求出的范围即可.【详解】当时，，则；由是上的减函数，可得，则，所以的取值范围为.故答案为：，. 四、解答题16．在△中，已知，其中.（Ⅰ）判断能否等于3，并说明理由； （Ⅱ）若，，，求．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根据余弦定理得，再根据余弦函数有界性作判断，（Ⅱ）根据余弦定理得，再根据条件解得，最后根据正弦定理得结果.【详解】（Ⅰ）当时，由题可知 ，由余弦定理， 得．   这与矛盾，所以不可能等于3 .                                         （Ⅱ）由（Ⅰ），得 ，所以.      因为，，，所以，解得（舍）或.                                                      在△中，由正弦定理，                                                得.【点睛】本题考查正余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.17．在平行四边形中，，，.将沿折起，使得平面平面，如图所示.为线段上一点，且________.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.从①为中点，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析  【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证得平面，进而证得；（2）结合（1）中结论建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再利用向量夹角余弦的坐标表示即可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，又平面，所以.（2）选择①为中点，解析如下：结合（1）中结论，建立如图1所示的空间直角坐标系，因为，，所以，则，设平面的法向量，则，令，则，故，设直线与平面所成角为，则.选择②，解析如下：结合（1）中结论，建立如图2所示的空间直角坐标系，因为，，所以，则，设平面的法向量，则，令，则，故，设直线与平面所成角为，则.选对③，解析如下：结合（1）中结论，建立如图3所示的空间直角坐标系，因为，，所以，则，设平面的法向量，则，令，则，故，设直线与平面所成角为，则.18．流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播．科学测定，当空气月平均相对湿度大于或小于时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度． 第一季度第二季度第三季度第四季度1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月甲地乙地 (1)从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；(2)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；(3)若，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）【答案】(1)；(2)分布列见解析；(3)的最大值为，最小值为． 【分析】（1）设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用表示事件抽取的月份为第月，利用列举法能求出该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率．（2）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，所有可能的取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列．（3）由，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，应用中位数的定义结合分类讨论求出的最大值，最小值．【详解】（1）设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用表示事件抽取的月份为第月，∴，，，，，，，，，，，共12个基本事件，且，，，，，共6个基本事件，所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；（2）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，∴所有可能的取值为0，1，2．，，，随机变量的分布列为：012 （3）由表格已知数据：乙地数据从小到大为，又，不妨假设，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，当时，则；当，即时，若有，若有，∴的最大值为，最小值为．19．椭圆：的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用，先得，再由得，即可求得椭圆的方程；（2）易知直线斜率存在，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，由韦达定理可得和，根据为直角可得，代入即可求得斜率的值.【详解】（1）由题，椭圆焦点在轴上，且，，所以，又，所以，所以椭圆的方程为.（2）由题，过点满足题意的直线斜率存在，设，联立，，消去得， ，令，解得. 设两点的坐标分别为，则， 因为为直角三角形，则为直角，所以，即，所以，所以，解得.20．已知函数.（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）【答案】(1) (2) (3)见解析【详解】试题分析：（1）求导数，导数等于0求出，再代入原函数解析式，最后比较大小，即可；（2）设切点，由相切得出切线方程，然后列表并讨论求出结果;(3)由（2）容易得出结果.由得，令，得或， 因为，，，，所以在区间上的最大值为.（2）设过点P（1，t）的直线与曲线相切于点，则，且切线斜率为，所以切线方程为，因此，整理得：，设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”， =，与的情况如下：  0  1   + 0  0 +   t+3      所以，是的极大值，是的极小值，当即时，过点存在3条直线与曲线相切时，t的取值范围是.（3）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线相切.【解析】本小题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年的高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识、基本题型与基本技能是解决这类问题的关键. 21．已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为.若，求证： ；（Ⅲ）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个，求数列的通项公式．【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析.【分析】(Ⅰ)由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；(Ⅱ)利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；(Ⅲ)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可.【详解】(Ⅰ)满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.(Ⅱ)对于每一个长度为的递增子列，都能从其中找到若干个长度为的递增子列，此时，设所有长度为的子列的末项分别为：，所有长度为的子列的末项分别为：，则，注意到长度为的子列可能无法进一步找到长度为的子列，故，据此可得：.(Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是，下面说明此数列满足题意.很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.长度为的递增子列末项的最小值为2s-1，下面用数学归纳法证明长度为s末项为2s-1的递增子列恰有个：当时命题显然成立，假设当时命题成立，即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有个，则当时，对于时得到的每一个子列，可构造：和两个满足题意的递增子列，则长度为k+1末项为2k+1的递增子列恰有个，综上可得，数列是一个满足题意的数列的通项公式.注：当时，所有满足题意的数列为：，当时，数列对应的两个递增子列为：和.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.