2024届新疆乌鲁木齐市第七十中学高三上学期第一次联考（月考）数学试题含答案

这是一份2024届新疆乌鲁木齐市第七十中学高三上学期第一次联考（月考）数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则的子集的个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
【答案】B
【分析】解分式不等式确定集合，然后由交集定义计算，再由子集的性质得结论．
【详解】由题意知，，所以，所以的子集的个数为．
故选：B．
2．已知幂函数在上单调递增，则（ ）
A．B．3
C．或D．3或
【答案】B
【分析】根据幂函数定义，由系数为1求得值，再根据幂函数的单调性判断．
【详解】因为幂函数，所以，解得或．当时，在上单调递减，不符合题意；当时，在上单调递增，符合题意．综上，．
故选：B．
3．已知，“不等式与的解集相同”是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】可举出反例证明充分性和必要性均不成立.
【详解】不等式与的解集均为空集，但，
所以充分性不成立；
不妨令，，满足，
但的解集为，的解集为，
所以与的解集不同，必要性不成立；
故选：D
4．已知函数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】去绝对值，当时，利用导数讨论其单调性，由单调性即可得最大值.
【详解】当时，，所以在上单调递增．
当时，，
所以，当时，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
综上，在上单调递增，在上单调递减，
所以．
故选：B．
5．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的单调性判断.
【详解】因为，，，
又，在上单调递增，
所以．
综上，．
故选：A．
6．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出函数的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出a的范围作答.
【详解】当时，，而函数在上单调递增，又是增函数，
因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为，
当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此，
而当时，，必有，解得，
所以a的取值范围是.
故选：C
7．定义在R上的偶函数满足：对任意的，（），都有，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性和单调性作出函数草图，借助图形分段讨论可得.
【详解】因为函数满足对任意的，（），都有，
所以在上单调递减，
又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，
又，所以，作函数的草图如图，
所以，当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
当或或时，.
综上，不等式的解集为.
故选：C．

8．已知函数，若存在实数，且，使得 ，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用二次函数对称性化简目标式，然后构造函数，利用导数求最值可得.
【详解】作出的函数图象如图所示：
若存在实数，且，使得 ，
因为的图象关于直线对称，
所以，
所以，
由图可知，，所以．
设，，
所以，与在单调递增，
所以在上单调递增，又，所以当时，，
所以在上单调递增，
所以．
故选：D．
二、多选题
9．已知，，且，，若则下列不等式可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】分和两种情况，结合对数函数单调性以及不等式的性质分析判断.
【详解】若，因为，所以，
则，则，，故D正确；
当时，则，可得，故A正确；
当时，则，可得，故B正确；
若，因为，所以；
则，则，，故D正确；
综上所述：不能得到，故C错误；
故选：ABD．
10．若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．ab有最大值B．有最大值
C．有最小值4D．有最小值
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式求最值判断各选项．
【详解】，当且仅当，即，时等号成立，故ab有最大值，故A正确；
，当且仅当，时等号成立，所以有最大值，故B正确；
，当且仅当，即时等号成立，即有最小值4，故C正确；
，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为，故D错误．
故选：ABC．
11．已知函（），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的极小值为
B．若，则函数有极值点
C．若在区间上有极值点，则a的取值范围是
D．若函数恰有3个零点，则a的取值范围是
【答案】AD
【分析】利用导数确定函数的单调性、极值，判断AB，由在上有解求得参数范围判断C，由导数确定函数的极大值和极小值，再根据极大值和极小值满足的关系式求得参数范围判断D．
【详解】若，则，所以，当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，又，所以的极小值为，故A正确；
由，当时，，函数在定义域内为增函数，此时没有极值点，故B错误；
若在区间上有极值点，在上有解，首先必须有，，因此，解得，即a的取值范围是，故C错误；
由，当时，，函数在定义域内为增函数，故不存在三个零点，不符合题意；当时，由，解得．所以当时，，当时，，当时，，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以函数的极小值和极大值．又函数恰有3个零点，所以，即，解得，即a的取值范围是，故D正确．
故选：AD．
12．已知函数的定义域为R，且，，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．当时，
C．
D．若，则恰有4个不同的零点
【答案】AC
【分析】由对称性判断A，利用对称性求得值后，结合已知等式求得时的函数表达式判断B，由已知确定函数的周期性，然后计算函数值的和判断C，作出两函数与的图象，由图象确定交点个数（注意在处需要结合导数的几何意义判断交点个数），判断D．
【详解】因为，所以的图象关于中心对称，从而的图象关于原点对称，故A正确；
因为的图象关于中心对称，所以，解得．
所以当时，，因为，
所以，因为，所以，所以，即．
当时，，所以，故B错误；
因为，所以，所以的周期为8，
又，，，，，，，，
所以故C正确；
令，即，画出与的图象，
如图所示：

因为，
时，，，，由周期性知，
，则，，
即，时，的切线斜率大于的切线斜率，
所以两函数图象在区间上除了有公共点外，在区间上还有一个公共点，
因此两函数图象共有5个交点，所以恰有5个不同的零点，故D错误．
故选：AC．
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
三、填空题
13．已知函数，则 ．
【答案】4
【分析】利用周期性将转化为，然后利用解析式求解可得.
【详解】由题意知．
故答案为：4
14． ．
【答案】5
【分析】根据指数和对数的运算性质求解即可.
【详解】．
故答案为：5
15．已知，，且，则y的最大值为 ．
【答案】
【分析】已知等式变形为，利用基本不等式求得的最小值，然后解关于的不等式可得．
【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，又，所以，解得，即y的最大值为．
故答案为：．
16．已知正实数x，y满足，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】先变形同构，令，利用导数讨论单调性，由单调性可得，然后可得，令，利用导数求最值即可.
【详解】由得，所以，则，
因为，，，所以，
令，则，
所以在上单调递增，
所以由，即，得，
所以，所以．
令，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
故答案为：
【点睛】难点点睛：本题难点主要有二：一是根据已知进行同构函数，二是利用单调性得到，进而可得，利用导数即可求解.
四、解答题
17．已知函数的定义域为集合A，集合．
(1)若，求；
(2)若，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由函数定义求出定义域得集合，然后由并集定义计算；
（2）由得，然后根据和分类讨论．
【详解】（1）由题意得：，解得，所以．
若，则，所以．
（2）因为，所以
当时，满足，则，解得；
当时，由得，解得．
综上，m的取值范围为．
18．已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由偶函数的性质即可求解的值；
（2）由题意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分别求出和的最小值，即可求解.
【详解】（1）因为是偶函数，
所以，
即，
，
，
，
，
，
，
，
所以，即.
（2），
因为对任意的 ，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
19．已知函数（）．
(1)若的解集为，解关于x的不等式；
(2)若对任意的恒成立，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解集和韦达定理可得a，b，c的关系，及，代入目标不等式化简可解；
（2）根据不等式恒成立可得和，利用判别式所得关系放缩目标式，然后换元，分离常数后，利用基本不等式可得.
【详解】（1）因为的解集为，
所以，，，得，（），
所以等价于，
又，所以，解得，
即关于x的不等式的解集为．
（2）因为对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，，
所以，
所以，时等号成立．
令，又，
所以，即，所以，
所以，
令（），当时，；
当时，，当且仅当时，等号成立．
所以的最大值为．
20．已知函数
(1)若，求不等式的解集;
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合指数函数的性质解不等式；
（2）用换元法，然后结合二次函数性质求得最小值．
【详解】（1）若，则，
所以，即，所以，
所以或，解得或，
即不等式的解集为．
（2）若，即，解得．
所以，
令，所以．
当，即时，在上单调递增，
所以，即．
当，即时，在上单调递减，
在上单调递增，所以，
即．
综上，．
21．已知函数（）．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程：求出导函数，计算并计算出，由点斜式得切线方程并化简；
（2）求出导函数，然后分类讨论确定和的解得单调区间．
【详解】（1）若，则，所以，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2），
当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增
当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，由在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
22．已知函数
(1)若 在 上恒成立，求a的取值范围；
(2)设 为函数g(x)的两个零点，证明：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分离参数，利用导数求解函数最值可得答案；
（2）构造函数，利用导数判断单调性，结合零点所在区间及函数单调性可证结论.
【详解】（1）函数的定义域为，因为，所以；
令，，
当，，为减函数；
当，，为增函数；
所以有最小值，所以，即a的取值范围为.
（2）证明:令，此时；
不妨设，函数定义域为.
，
令，可得，
所以函数在上单调递增，
又，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
不妨设，
此时，；
因为，
所以
令，在上恒成立，
所以为增函数，，所以，即；
又因为在上单调递减，所以，故.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有二个：一是恒成立问题，利用分类参数法求解，求解新函数的最值即可；二是函数零点问题，把两个变量转化到同一个单调区间内，结合单调性可得结论.