2024届新疆乌鲁木齐市第一中学高三上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2024届新疆乌鲁木齐市第一中学高三上学期第二次月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数定义域和指数函数值域即可求出，再根据集合间关系即可判断.
【详解】根据幂函数的定义域知，则，
根据指数函数的值域知，则，
则，且，故BC错误，，则D错误，
故选：A.
2．复数，是z的共轭复数，则=（ ）
A．B．C．D．i
【答案】C
【分析】由复数的除法化简，根据共轭复数的定义及复数减法运算求结果.
【详解】由，则，
所以.
故选：C
3．两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，，根据可得，设与的夹角为，利用即可求解.
【详解】由题意可得，，且，
所以.
设与的夹角为，，
则,
所以.
故选；D.
4．设等比数列的前n项和为，若成等差数列，则数列的公比为（ ）
A．3B．或3C．或 D．
【答案】B
【分析】根据题意设出数列的公比为，列出方程即可解得或.
【详解】设数列的公比为，
依题意可得，即；
又，所以，
解得或.
故选：B
5．在中，内角、、所对的边分别为、、，则“”是“是以、为底角的等腰三角形”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】利用余弦定理化简等式，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.
【详解】，，即，
整理得，或，
则是以、为底角的等腰三角形或以为直角的直角三角形.
因此，“”是“是以、为底角的等腰三角形”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了余弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
6．在上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由定义化简不等式，然后由不等式的恒成立问题，分离参数求解即可.
【详解】因为在上定义运算：，
所以，
所以不等式对任意实数x恒成立，
即对任意实数x恒成立，
则对任意实数x恒成立，
令，则即可.
，所以，解得.
所以实数a的最小值为.
故选：A.
7．某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（ ）
A．49%B．51%C．65.7%D．72.9%
【答案】C
【分析】根据给定的函数模型，结合已知数据列出方程求解作答.
【详解】依题意，前2个小时过滤后剩余污染物数量为，于是，解得，
因此前6小时过滤后剩余污染物数量为，
所以前6小时共能过滤掉污染物的.
故选：C
8．我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，，则Q，R的余弦距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题设得利用向量夹角公式求得，根据新定义及正余弦齐次运算可求目标函数值.
【详解】由题意得
则，
又，
∴，
∴，，
，
故选：
二、多选题
9．如图，在正方体中，E､F､G分别为的中点，则（ ）
A．B．与所成角为
C．D．平面
【答案】ABD
【分析】利用坐标法，根据向量运算结合条件逐项分析即得.
【详解】以点D为坐标原点，所在直线分别为x､y､z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则.
对于A选项，，所以，故A选项正确；
对于B选项，，
，
所以，向量与向量的夹角是，与所成角为，故B选项正确；
对于C选项，，则，故C选项错误；
对于D选项，设平面的法向量为，
由，可得，取，可得，
又，
∵，∴，∵平面，∴平面，故D选项正确.
故选：ABD.
10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为
D．若向量与向量共线，则
【答案】AD
【分析】根据向量的坐标运算求，，对于A：根据向量的夹角公式运算求解；对于B：根据投影向量的定义分析运算；对于C：根据向量垂直的坐标运算求解；对于D：根据向量共线的判定定理分析运算.
【详解】由题意知，，
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：在方向上的投影向量为，故B错误；
对于选项C：设与垂直的单位向量的坐标为，
可得，解得或，
所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误；
对于选项D：因为向量与向量共线，
所以若存在，使得，
则，解得，故D正确．
故选：AD.
11．如图，直线与半径为1的圆相切于点，射线从出发绕点逆时针方向旋转到，在旋转过程中，交于点，设为（其中），射线扫过的圆内部的区域（阴影部分）的面积为，则下列说法正确的有（ ）

A．
B．函数的单调递增区间为
C．函数图象的对称中心为
D．函数在处的瞬时变化率最大
【答案】ACD
【分析】根据扇形及三角形面积公式求出即可判断A，求导数利用三角函数的有界性可判断B，根据函数对称性的性质判断C，根据导数的几何意义三角函数有界性判断D.
【详解】由题意，，则.
所以，故选项A正确；
因为，故函数的单调递增区间为，故选项错误；
因为，所以的图象关于点中心对称，故选项C正确；，故时，函数的瞬时变化率最大，故选项D正确.
故选：ACD.
12．若函数，，则函数在上平均变化率的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据平均变化率得，结合该式的几何意义为在上任意一点与连线的斜率，数形结合及导数几何意义求其范围，即可得答案.
【详解】由在上平均变化率为，
故表示在上任意一点与连线的斜率，
图象如下：
最大为与连线的斜率，即为；
最小为在处的切线斜率，即；
所以.
故选：BD
三、填空题
13．在数列中，若，前项和，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据题意，求得，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由数列中，因为，且，
可得，解得，所以，
则为的二次函数，对称轴为，故当或6时取得最大值，
又由，所以的最大值为.
故答案为：.
14．已知，且，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】根据基本不等式凑项法和“1”的巧用即可求得最值.
【详解】因为，所以，又，所以
则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．函数是定义在R上的偶函数，是奇函数，且当时，，则 .
【答案】1
【分析】根据函数的奇偶性判断周期性，带入解析式计算求函数值即可.
【详解】由题意可得，
故的一个正周期为4，即，
故答案为：1
16．已知函数的部分图象如图1所示，、分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则 .
给出下列四个结论：
①；
②图2中，；
③图2中，过线段的中点且与垂直的平面与轴交于点；
④图2中，是及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】 ②③
【分析】在图2中，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，根据已知条件求出的值，结合的取值范围求出的值，可判断①；利用空间向量数量积的坐标运算可判断②；求出线段的中点的坐标，计算，可判断③；求出，结合扇形的面积公式可判断④.
【详解】函数的最小正周期为，
在图2中，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设点，则点、，
，因为，解得，
所以，，则，可得，
又因为函数在附近单调递减，且，所以，，①错；
因为，可得，
又因为点是函数的图象在轴左侧距离轴最近的最高点，则，可得，
所以，，
因为点是函数在轴右侧的第一个对称中心，所以，，可得，
翻折后，则有、、、，
所以，，，
所以，在图2中，，②对；
在图2中，线段的中点为，
因为，则，即，③对；
在图2中，设点，，可得，
，，，
易知为锐角，则，
所以，区域是坐标平面内以点为圆心，半径为，且圆心角为的扇形及其内部，
故区域的面积，④错.
故答案为：；②③.
【点睛】关键点点睛：本题考查翻折问题，解题的关键在于建立空间直角坐标系，通过空间向量法来求解相应问题.
四、解答题
17．在等比数列和等差数列 中，已知，
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用等比数列和等差数列定义设出公比为，公差为，列方程组并根据得出，，即可得出数列和的通项公式；
（2）易知，利用错位相减法和等比数列前项和公式即可得.
【详解】（1）根据题意不妨设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
由可得,
将代入并消去可得，
解得或（舍），
由可得，
所以，
即数列的通项公式为，
的通项公式为；
（2）由（1）可得，
所以，
；
两式相减可得：
；
所以，
即数列的前项和.
18．已知函数是上的奇函数，.
(1)若函数与有相同的零点，求的值；
(2)若，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题干得到，，解得，是函数的零点，所以，进而求得t值；（2），等价于,根据函数的单调性得到函数的最值，即可求出结果.
【详解】(1)因为是上的奇函数，所以，
即，解得.
因为是函数的零点，所以，则.
(2)由(1)可得，
，
因为奇函数，所以在上是减函数，
则在上的最大值为.
因为，所以在上是增函数，在上是减函数.
则的最小值为和中的较小的一个.
因为，.
所以.
因为，，所以.
解得.
故的取值范围为.
【点睛】恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .
19．已知在中，为的面积，且.
(1)求角的大小；
(2)若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式以及同角三角函数关系式，求出的值，即可得；
（2）由已知外接圆半径为，利用正弦定理得，由题意可求，设，则，由正弦定理，三角函数恒等变换可求的周长表达式为，再利用正弦函数的性质即可求解其最大值．
【详解】（1），
又，，
，
又，，则，
又，.
（2）的外接圆半径，
由正弦定理，，
，.
，，
与的内角平分线交于点，
，，
设，则，且，
在中，由正弦定理得，
，
，，
的周长为
，
，，
则当，时，
即为正三角形时，的周长取得最大值，最大值为.
五、证明题
20．如图，在三棱柱中，，，平面平面，.

(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得答案；
（2）由求出，以为坐标原点，，，分别为，，的正向建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，由二面角的向量求法可得答案.
【详解】（1），，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
（2）由
，，
以为坐标原点，，，分别为，，的正向建立空间直角坐标系，
则各点坐标如下：，，，，
取平面的法向量为，设平面的法向量为，
取，，
则，可得，令，可得，
设二面角的大小为，则，
所以二面角的正弦值为.

六、应用题
21．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
【答案】(1)名
(2)
【分析】（1）根据题意列出不等式，即可求解；
（2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，可得，即，
又因为，解得，
所以最多调整名员工从事第三产业.
（2）解：从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则，
所以，
所以，即在上恒成立，
因为，
当且仅当时，即时等号成立，所以，
又因为，所以，即实数的取值范围是.
七、解答题
22．已知函数，．其中
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若，且，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可求得切线方程；
（2）易知，将恒成立的不等式转化为，分别在和的情况下得到变形后的不等关系；构造函数，分别在和的情况下讨论得到的单调性，结合可确定满足题意的取值范围.
【详解】（1），，
又，
在点处的切线方程为，即.
（2）当时，；当时，；
在上恒成立，
当时，，不成立，不合题意；
当时，不等式可变形为：，
当时，，即；
当时，，即；
令，，则；
令，则；
①当，即时，恒成立，即恒成立，
在上单调递减，
则当时，，即，；
当时，，即，；
恒成立，满足题意；
②当，即时，设的两根分别为，
，，，
当时，，即，在上单调递增，
此时，即，，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数几何意义求解切线方程、恒成立问题的求解；本题求解恒成立的基本思路是将问题转化为含参函数单调性的讨论问题，通过讨论含参函数的单调性，确定符合题意的参数范围即可.