新疆乌鲁木齐市新疆生产建设兵团第十二师第二中学2025届高三上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份新疆乌鲁木齐市新疆生产建设兵团第十二师第二中学2025届高三上学期第一次月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由对数函数值域，一元二次不等式解法得出集合，根据交集的定义求解即可．
【详解】由对数函数的值域得，解得，
所以，
故选：D．
2. 若点在角的终边上，则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：因为，所以，故选D．
考点：任意角的三角函数值．
3. 设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得到结果.
【详解】函数的对称轴为，
由函数在上单调递增可得，即，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
4. 已知则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断在上的单调性，将不等式等价于，由一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】，可得当时，单调递减，当时，单调递减，且时函数连续，则在上单调递减，
不等式，可化为，即，
解得：，则原不等式的解集为：，
故选：A
5. 已知函数没有极值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导，由题意可得，即可得解.
【详解】，是开口向上的二次函数，
因函数没有极值点，则，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
6. 已知函数，，若，，则a，b，c的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出的导数，利用导数研究函数的单调性，结合对数运算性质可比较，，的大小，从而根据单调性即可得出a，b，c的大小关系．
【详解】因为，
所以在上单调递增，
因为，，，
所以，
所以，
故．
故选：B．
【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．
7. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值
【详解】因为，则，
由于，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，
故选：C
8. 若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】原问题等价于在上有两解，即直线与函数，的图象有两个不同的交点即可求解.
【详解】解：由题意，在上有两解，
即在上有两解，
令，故，
令，故在上单调递增，且，
所以当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
故选：C.
【点睛】思路点睛：已知函数有几个零点或方程有几个根求参数的取值范围的问题，常常分离参数，将原问题等价转化为直线与函数图象的交点来解决.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，结合已知，逐一分析四个答案中的不等式是否一定成立，可得答案.
【详解】对于A，当，，时，则，故A不一定成立；
对于B，因为，则，所以，则B一定成立，故B正确；
对于C，因为，则，所以，则C一定成立，故C正确；
对于D，因为在上为单调递增函数，由，则，即，所以D正确；
故选：BCD
10. 已知函数fx=Asinωx+φ（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象关于点中心对称
C.
D. 在上的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，先根据图象求出最小正周期，进而得到；B选项，求出，代入求出，得到函数解析式，计算出，B错误；C选项，利用诱导公式得到C正确；D选项，整体法求出函数的值域.
【详解】A选项，设的最小正周期为，则，
故，
因为，所以，A正确；
B选项，由图象可知，，，
将代入解析式得，
故，故，
因为，所以，
故，
，故的图象不关于点中心对称，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，，，
故，D错误
故选：AC
11. 已知函数的定义域为，的图像关于直线对称，且对任意的都有，则下列正确的是（ ）
A. 为偶函数B.
C. 2是的一个周期D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性，结合条件，化简变形，再利用赋值法，可判断A,B，判断函数的周期性，结合条件，可判断CD.
【详解】因为函数的定义域为，的图像关于直线对称，所以关于轴对称，即，所以为偶函数，故A正确；
因为，令，可得，则，因为为偶函数，所以，故B不正确；
由，令，可得：，,2是不是的一个周期，C错误；
因为，，所以，
所以，则，即是以4为周期的周期函数；
所以，故D正确；
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知扇形的周长为，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为______.
【答案】16
【解析】
【分析】由扇形的周长可求半径，然后由扇形的面积公式即得.
【详解】设扇形半径为r，圆心角为，弧长为
扇形的周长为，所以，
扇形的面积为.
故答案为：16
13. 已知，则的值为___________．
【答案】1
【解析】
分析】利用诱导公式对原式化简得，然后分子分母同时除以，再由代入即可得出答案.
【详解】因为，
所以；
故答案为：1
14. 已知函数若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据分段函数的性质，先判断，再根据函数的性质可知，可知，再构造函数，，利用导数求函数的最值的取值范围.
【详解】当时，，当时.
当时，方程只有一个实数根.
当或时，方程有两个实数根.
当时，方程有三个不同的实数根，分别为，，，又，
可知，
且，，∴，
∴，且.
记，，
则.
当时，，
当，h'x<0，
当时，h'x>0，
∴hx的极小值也是最小值，，
又当时，，，
∴的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程，根据方程实数根的个数，求参数的取值范围，本题的关键是根据函数的图象和绝对值的性质，判断.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2.
（1）求的值；
（2）求在上的值域.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果；
（2）由（1）可得在上单调递增，在上单调递减，求出，，的值可得结果.
【小问1详解】
因，所以，则.
因为，所以切点坐标为，
所以的图象在点处的切线方程为.
令，得，又，所以，所以.
【小问2详解】
由（1）可知，令，解得，所以在上单调递增.
令，解得，所以 在上单调递减，
又，，，
所以在上的值域为.
16. 为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮在最后一轮比赛中，有，两道问题其中问题为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；问题为必答题，甲、乙两人都要回答已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为23，且甲、乙两人各题是否答对互不影响．
（1）求问题被回答正确的概率；
（2）记正确回答问题的人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）．
（2）分布列见解析，．
【解析】
【分析】（1）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可；
（2）根据独立事件的概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可.
【小问1详解】
设“甲抢到问题”为事件，“问题被回答正确”为事件，
由题意可知：，
由全概率公式可得
所以问题被回答正确的概率为．
【小问2详解】
由题意可知：的可能取值有：，，，则有：
，
，
，
所以的分布列为
期望．
17. 已知函数f(x)＝sin 2x－cs 2x＋1.
（1）求f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
（2）若f(α)＝，α∈，求sin 2α的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由辅助角公式化简函数f(x)，再根据正弦函数的单调性建立不等式＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之可得答案.
（2）由（1）求得sin＝－，再由角的范围求得cs，观察角之间的关系凑角sin 2α＝sin，再运用正弦的和角公式可得答案.
【详解】（1）f(x)＝sin 2x－cs 2x＋1＝sin＋1，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
又∵x∈[0，π]，∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.
（2）由（1）知f(x)＝sin＋1，
又∵f(α)＝，∴sin＝－，
∵α∈，∴2α－∈，
∵sin＝－＜0，
∴cs＝－＝－.
∴sin 2α＝sin＝sincs＋cssin＝－×＋×＝.
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，同角三角函数间的关系，以及正弦的和角公式，属于中档题.
18. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：
①；②；③．
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
【答案】（1）符合，
（2）当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh
【解析】
【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③即可；
（2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的，可得国道上的耗电量，根据二次函数的最值分析最小值即可
【小问1详解】
因为函数是定义域上的减函数，又无意义，所以函数
与不可能是符合表格中所列数据的函数模型，
故是可能符合表格中所列数据的函数模型.
由，得：，所以
【小问2详解】
由题意，高速路上的耗电量
任取，当时，
所以函数在区间上是增函数，所以Wh
国道上的耗电量
所以Wh
所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh
19. 已知函数，
（1）求函数的单调区间
（2）若函数的两个极值点分别为，，证明：．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导得，设，分类讨论的根的情况，可得的单调区间；
（2）求导根据题意可得方程在上有两个不同的实数解，可得解得，要证，需证lnx1x2>2x1-x2x1+x2=2x1x2-1x1x2+1，进而换元可证结论；
【小问1详解】
函数的定义域为，，
令方程，则．
当，即时，，此时函数的单调增区间为，无单调减区间．
当时，，故当时函数的单调增区间为，无单调减区间．
当时，令f'(x)=0，得，，
当时，，
当时，，
故当时，函数的单调增区间为和，
单调减区间为
综上所述，当时，函数的单调增区间为，无单调减区间
当时，函数的单调增区间为和，
单调减区间为；
【小问2详解】
因为函数的两个极值点分别为，，由得，，
所以，要证，
即证，
不妨设，则只需要证lnx1x2>2x1-x2x1+x2=2x1x2-1x1x2+1，
设只需证lnt-2t-1t+1>0．
令，其中，
则g'(t)=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2>0，
所以在上单调递增，所以，得证．
【点睛】方法点睛：求含参数的函数的单调区间，求导后能转化为一元二次方程的问题，常利用判别式进行分类讨论求解；函数有两个极值点即为导函数有两个零点，在此基础上证不等式恒成立问题，常转化为构造函数，通过求最大值与最小值证明；
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