2023-2024学年重庆市西南大学附属中学高三上学期期中数学试题含答案

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1. 设集合，则下列结论正确是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知a，，，若，则的虛部是（ ）
A 2B. -2C. -2iD. 2i
3. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则（ ）
A. B. C. D. 3
4. 现有一张正方形剪纸，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，……，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过10次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为（ ）
A. 33B. 34C. 36D. 37
5. 20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（ ）
A. 120种B. 240种C. 360种D. 720种
6. 已知两条异面直线a，b所成角为，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为，则这样的直线l有（ ）
A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条
7. 已知抛物线的焦点关于直线的对称点为， 为坐标原点, 点在上且满足（均不与重合），则面积的最小值为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 20
8. 若曲线与曲线有公切线，则实数取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.
9. 设随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A. 服从正态分布
B.
C.
D. 当且仅当时，取最大值
10. 若将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论正确的有（ ）
A. 与所成的角为B. 与所成的角为
C. 与平面所成角的正弦值为D. 平面与平面所成角的正切值是
11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（ ）

A. 曲线有两条对称轴
B. 曲线上的点到原点的最大距离为
C. 曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为
D. 四叶草面积小于
12. 单位向量，，的两两夹角为，若实数，，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的最大值是B. 的最大值是
C. 的最大值是D. 的最大值是
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13. 一组样本数据为，若是方程两根，则这个样本的方差是_____________．
14. 已知正方形的边长为2，点是边上的动点，则的最大值为__________.
15. 已知数列中，，若对任意，则数列的前项和______．
16. 已知函数（且），若，是假命题，则实数a取值范围是______．
四、解答题：共70分.
17. 在中，，，所对的边分别为，，，已知.
（1）若，求的值；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围.
18. 已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
19. 如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面平面ABCD，，，G是CF的中点．

（1）证明：平面AEF；
（2）求直线AE与平面BDEF所成角的余弦值．
20. 2024届起，上海实行高考改革新方案．新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目．某校为了解高一年级360名学生选科方案的意向，随机选取36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
（1）估计该学校高一年级学生中，选科方案为“物理、化学、历史”组合的男生有多少人？
（2）从选取的16名男生中随机选出2名，求恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率；
（3）已知选取的20名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案，若从选取的20名女生中随机选出2名，设随机变量为，其中两名学生选科方案不同时，，两名学生选科方案相同时，，求的分布列与期望．
21. 已知椭圆的左右顶点分别为A，B，椭圆E与抛物线的准线相切，椭圆的左焦点F到A，B两点的距离之积为3.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q，直线BP，BQ分别与y轴交于点M，N，则，求直线PQ的方程.
22. 已知函数，.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；性别
人数
物理
化学
生物
政治
历史
地理
男生
16
16
16
8
2
4
2
女生
20
4
4
20
6
16
10