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重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题原卷版docx、重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
（满分：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.
3.考试结来后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）.
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若随机变量服从正态分布，，则实数等于（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
2. 已知函数的定义域内R，则实数m的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
3. 为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其经验回归方程为.已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）
A. 162B. 166C. 170D. 174
4. 将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，则甲、乙、丙分到同一个地区概率为（）
A. B. C. D.
5. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为
A. B. C. D.
6. 若某射击手每次射击击中目标概率为（），每次射击的结果相互独立.在他连续8次射击中，“恰有3次击中目标”的概率是“恰有5次击中目标”的概率的，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 定义；各位数字之和为9的四位数叫“好运数”，比如1008，2205，则所有“好运数”的个数为（ ）
A. 165B. 162C. 156D. 144
8. 已知函数及其导函数的定义域均为，与均为偶函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题；本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中，正确是（ ）
A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12
B. 某人解答5个问题，答对题数为X，若，则
C. 在的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等
D. 已知一系列样本点（，2，3…）的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
10. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点，
B. 有三个零点
C. 点是的对称中心
D. 在区间上有最大值，则a的取值范围为
11. 现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得块月饼、黄球获得块月饼、绿球获得块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（ ）
A. 在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是
B. 第二次抽到红球的概率是
C. 如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为
D. 小明获得块月饼的概率是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从名男生和名女生中，选出名代表，要求名代表中既有男生又有女生的选法有___________种.
13. 的展开式中项的系数为___________.
14. 已知关于x的不等式在上有解.则实数k的取值范围为___________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式以及前项和；
（2）若，求数列的前项和.
16. 某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学学科提供4种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4，每个学生只能从4种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表：
用分层抽样的方法从这1800名学生中插取10人进行分析.
（1）选出的10名学生中，选择数学1、数学2、数学3、数学4的各有几人？从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率；
（2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为，选择数学1的人数为，设随机变量，求随机变量的分布列和数学期望.
17. 已知椭圆E：（），经过点，离心率为，圆O以椭圆的短轴为直径.
（1）求椭圆E标准方程和圆O的方程；
（2）设P为椭圆的左顶点，过点P作两条相互垂直的直线，，设直线与椭圆E的另一个交点为Q，直线交圆O于A，B两点，求面积的最大值.
18. 已知函数.
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递减，求的取值范围；
（3）若函数有两个极值点，，求证：.
19. 阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题：
知识卡片1：
一般地，如果两数在区间上的图象连续不断，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点（，2，…，n），作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数的图象连续不断且恒有，那么定积分表示由直线，，和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积.
知识卡片2：
一般地，如果在区间上的图象连续不断，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式.例如，如图所示，对于函数（），从几何上看，定积分的值为由直线，，和曲线所围成的区域即曲边梯形的面积，根据微积分基本定理可得.
（1）求下列定积分：
① ；
② ；
③ ；
④ .
（2）已知，计算：
①；
②
（3）当，时，有如下表达式：.计算：
课程
数学1
数学2
数学3
数学4
合计
选课人数
360
540
540
360
1800
（满分：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.
3.考试结来后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）.
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若随机变量服从正态分布，，则实数等于（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
2. 已知函数的定义域内R，则实数m的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
3. 为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其经验回归方程为.已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）
A. 162B. 166C. 170D. 174
4. 将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，则甲、乙、丙分到同一个地区概率为（）
A. B. C. D.
5. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为
A. B. C. D.
6. 若某射击手每次射击击中目标概率为（），每次射击的结果相互独立.在他连续8次射击中，“恰有3次击中目标”的概率是“恰有5次击中目标”的概率的，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 定义；各位数字之和为9的四位数叫“好运数”，比如1008，2205，则所有“好运数”的个数为（ ）
A. 165B. 162C. 156D. 144
8. 已知函数及其导函数的定义域均为，与均为偶函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题；本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中，正确是（ ）
A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12
B. 某人解答5个问题，答对题数为X，若，则
C. 在的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等
D. 已知一系列样本点（，2，3…）的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
10. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点，
B. 有三个零点
C. 点是的对称中心
D. 在区间上有最大值，则a的取值范围为
11. 现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得块月饼、黄球获得块月饼、绿球获得块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（ ）
A. 在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是
B. 第二次抽到红球的概率是
C. 如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为
D. 小明获得块月饼的概率是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从名男生和名女生中，选出名代表，要求名代表中既有男生又有女生的选法有___________种.
13. 的展开式中项的系数为___________.
14. 已知关于x的不等式在上有解.则实数k的取值范围为___________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式以及前项和；
（2）若，求数列的前项和.
16. 某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学学科提供4种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4，每个学生只能从4种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表：
用分层抽样的方法从这1800名学生中插取10人进行分析.
（1）选出的10名学生中，选择数学1、数学2、数学3、数学4的各有几人？从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率；
（2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为，选择数学1的人数为，设随机变量，求随机变量的分布列和数学期望.
17. 已知椭圆E：（），经过点，离心率为，圆O以椭圆的短轴为直径.
（1）求椭圆E标准方程和圆O的方程；
（2）设P为椭圆的左顶点，过点P作两条相互垂直的直线，，设直线与椭圆E的另一个交点为Q，直线交圆O于A，B两点，求面积的最大值.
18. 已知函数.
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递减，求的取值范围；
（3）若函数有两个极值点，，求证：.
19. 阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题：
知识卡片1：
一般地，如果两数在区间上的图象连续不断，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点（，2，…，n），作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数的图象连续不断且恒有，那么定积分表示由直线，，和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积.
知识卡片2：
一般地，如果在区间上的图象连续不断，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式.例如，如图所示，对于函数（），从几何上看，定积分的值为由直线，，和曲线所围成的区域即曲边梯形的面积，根据微积分基本定理可得.
（1）求下列定积分：
① ；
② ；
③ ；
④ .
（2）已知，计算：
①；
②
（3）当，时，有如下表达式：.计算：
课程
数学1
数学2
数学3
数学4
合计
选课人数
360
540
540
360
1800
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