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2023-2024学年重庆市江北区部分学校高一上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年重庆市江北区部分学校高一上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若，则集合P中元素的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据集合和元素的概念进行求解.
【详解】集合P中元素为，，共2个．
故选：B
2．命题：，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】由特称命题的否定判断．
【详解】由题意得，的否定是，，
故选：B
3．函数的定义域为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可.
【详解】由题意可得：，解得.
故选：D.
4．已知、，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由不等式的基本性质可判断A选项；取，，可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，因为，由不等式的基本性质可得，A对；
对于B选项，取，，则，B错；
对于C选项，取，，则，C错；
对于D选项，取，，则，D错.
故选：A.
5．是定义域为上的奇函数，当时，为常数），则
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：因为是定义域为且是奇函数，所以，所以，，，故选D.
【解析】1、函数的奇偶性；2、分段函数的解析式.
6．“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】因为“不等式在上恒成立”，所以当时，原不等式为在上不是恒成立的，所以，
所以“不等式在上恒成立”，等价于，解得.
A选项是充要条件，不成立；
B选项中，不可推导出，B不成立；
C选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确；
D选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，D不正确.
故选：C.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
7．若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的单调性列式求解.
【详解】由题意可得，解得，
所以实数a的取值范围为.
故选：A.
8．定义在R上的函数满足：对任意的（），都有，且，函数关于直线对称，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得到在上单调递减，且为偶函数，故在上单调递增，分和，结合函数单调性求出解集.
【详解】因为对任意的（），都有，
所以在上单调递减，
因为关于直线对称，所以关于轴对称，即为偶函数，
所以在上单调递增，
因为，所以，
当时，，令得，即，
所以，所以，
当时，，令得，即，
所以，所以，
综上，的解集为.
故选：C
二、多选题
9．已知集合，，若，则的取值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】AC
【分析】根据并集的概念及运算即可得到结果.
【详解】∵集合，，
∴，或.
故选：AC.
10．下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BD
【分析】先求出各项两个函数的定义域，若定义域相同，则判断对应关系、解析式是否一致，即可得出答案.
【详解】对于A项，函数的定义域为R，的定义域为，
两个函数定义域不相同，故A项错误；
对于B项，函数的定义域为R，的定义域为R，
两个函数定义域相同，
且，所以两个函数相同，故B项正确；
对于C项，函数的定义域为R，的定义域为R，
两个函数定义域相同，
但是解析式不相同，故C项错误；
对于D项，函数的定义域为R，的定义域为R，
两个函数定义域相同，
且对应关系也一致，故D项正确.
故选：BD.
11．下列幂函数中满足条件的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】先明确题目中条件对应函数的性质，再根据性质进行判断选择.
【详解】由题意可知，当时，满足条件的函数的图象是凹形曲线.
对于A，函数的图象是一条直线，故当时，；
对于B，函数的图象是凹形曲线，故当时，；
对于C，函数的图象是凸形曲线，故当时，；
对于D，在第一象限，函数的图象是一条凹形曲线，故当时，
，
故选：BD.
【点睛】本题考查函数图象与性质，考查综合分析判断能力，属中档题.
12．下列四个命题是真命题的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数的值域为
C．函数f（x）满足，则
D．若方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围为
【答案】AD
【分析】A. 利用抽象函数的定义域求解判断；B.利用函数的单调性求解判断；C. 由得到，联立求解判断；D.令，利用方程根的分布判断.
【详解】A. 因为函数的定义域为，所以，解得 ，所以函数的定义域为，故是真命题；
B. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增，所以函数的值域为，故不是真命题；
C. 由，得，联立解得，故不是真命题；
D.令，因为的两个不等实根都在区间内，
所以，即，
解得，所以实数的取值范围为，故是真命题；
故选：AD
三、填空题
13．已知函数，则 ．
【答案】
【分析】根据已知求出的值，代入即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，
所以，.
故答案为：.
14．若命题“，”为真命题，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意，将问题转化为能成立问题，求其最大值，即可得到结果.
【详解】命题“，”为真命题，即，，
设，，
当时，取得最大值为，所以，
即的取值范围为.
故答案为：
15．已知正实数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解．
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
16．表示不超过x的最大整数，如，，，已知且满足，则 ．
【答案】3
【分析】根据已知可推得，进而求得的范围，代入，求出整数部分，即可得出答案.
【详解】因为，
且每一项都是整数，
又，
所以，，
所以有，所以，
所以，，
所以，.
故答案为：3.
四、解答题
17．（1）设全集为，，，求．
（2）；
【答案】（1）或；（2）
【分析】（1）根据补集和交集的知识求得正确答案.
（2）根据指数运算的知识求得正确答案.
【详解】（1）或，
所以或.
（2）
.
18．已知幂函数在上是减函数，.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数为幂函数，可列出关于m的方程，结合幂函数的单调性确定m的值，即可求得答案；
（2）结合（1）中m的值，再结合幂函数的定义域以及单调性，可得相应不等式组，即可求得答案.
【详解】（1）由于函数是幂函数，故，
解得或，
当时，在上是增函数，不合题意；
当时，在上是减函数，符合题意，
故.
（2）由（1）知，则，
结合幂函数在上为增函数，
得，解得，
即.
19．定义在上的偶函数，当时，．
（1）求函数在上的解析式；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）（2）最大值是-1，最小值是-22
【分析】（1）根据函数的奇偶性，合理设出变量，即可求解函数在上的解析式；
（2）由（1）可得，函数在区间上单调递增，在上单调递减，进而求解函数的最大值与最小值.
【详解】:
上单调递增，在上单调递减
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数单调性的应用，其中根据题意，令函数的奇偶性求得函数的解析式，得出函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题好解答问题的能力，属于基础题.
20．已知是定义在上的奇函数．
求的解析式；
判断并证明的单调性；
解不等式：
【答案】（1）（2）函数在上为增函数．证明见解析（3）
【分析】（1）根据奇函数的性质，列出方程求出、的值，代入解析式；
（2）先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：设元，作差，变形，判断符号，下结论．
（3）根据函数的单调性即可得到关于的不等式组，解得即可．
【详解】解：是定义在上的奇函数，
，即．
又．
函数在上为增函数．
证明如下，任取，
为上的增函数．
，即，
，解得，
解集为：
【点睛】本题考查奇函数的性质的应用，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论．
根据奇函数的性质，列出方程求出的值，代入解析式；
先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：设元，作差，变形，判断符号，下结论
根据函数的单调性即可得到关于x的不等式组，解得即可．
21．如图，现将正方形区域规划为居民休闲广场，八边形位于正方形的正中心，计划将正方形WUZV设计为湖景，造价为每平方米20百元；在四个相同的矩形，上修鹅卵石小道，造价为每平方米2百元；在四个相同的五边形上种植草坪，造价为每平方米2百元；在四个相同的三角形上种植花卉，造价为每平方米5百元.已知阴影部分面积之和为8000平方米，其中的长度最多能达到40米.
(1)设总造价为（单位：百元），长为（单位：米），试用表示；
(2)试问该居民休闲广场的最低造价为多少百元？
（参考数据：取，结果保留整数）
【答案】(1)
(2)68800百元
【分析】（1）将各部分分别求造价再求和即可；
（2）根据基本不等式求解即可.
【详解】（1）方法一：因为米，所以米，得米.
根据题意可得四个三角形的面积之和为平方米，
正方形的面积为平方米，
四个五边形的面积之和为平方米，
则休闲广场的总造价
.
方法二：设米，因为米，所以米，得米，
根据题意可得阴影部分面积为平方米，
则，
四个三角形的面积之和为平方米，
正方形的面积为平方米，
因为正方形的面积为平方米，
所以四个五边形的面积之和为
平方米，
所以休闲广场的总造价
.
（2）因为
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该居民休闲广场的总造价最低为68800百元.
22．若函数.
(1)讨论的解集；
(2)若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)或
【分析】（1）分类讨论a的范围，根据二次方程根的分布情况，解不等式即可；
（2）令，原题等价于，对使得恒成立，再根据恒成立与有解关系分别转化即可求出实数b的取值范围.
【详解】（1）已知，
①当时，时，即；
②当时，，
若，，解得 ，
若，，解得或，
若，，解得，
若时，，解得或，
综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为.
（2）若，则，，
令，原题等价于，对使得恒成立，
令，是关于的减函数，
对，恒成立，
即，
又，，
即，
故，解得或.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解综合问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④在上有解，则.
一、单选题
1．若，则集合P中元素的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据集合和元素的概念进行求解.
【详解】集合P中元素为，，共2个．
故选：B
2．命题：，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】由特称命题的否定判断．
【详解】由题意得，的否定是，，
故选：B
3．函数的定义域为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可.
【详解】由题意可得：，解得.
故选：D.
4．已知、，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由不等式的基本性质可判断A选项；取，，可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，因为，由不等式的基本性质可得，A对；
对于B选项，取，，则，B错；
对于C选项，取，，则，C错；
对于D选项，取，，则，D错.
故选：A.
5．是定义域为上的奇函数，当时，为常数），则
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：因为是定义域为且是奇函数，所以，所以，，，故选D.
【解析】1、函数的奇偶性；2、分段函数的解析式.
6．“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】因为“不等式在上恒成立”，所以当时，原不等式为在上不是恒成立的，所以，
所以“不等式在上恒成立”，等价于，解得.
A选项是充要条件，不成立；
B选项中，不可推导出，B不成立；
C选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确；
D选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，D不正确.
故选：C.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
7．若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的单调性列式求解.
【详解】由题意可得，解得，
所以实数a的取值范围为.
故选：A.
8．定义在R上的函数满足：对任意的（），都有，且，函数关于直线对称，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得到在上单调递减，且为偶函数，故在上单调递增，分和，结合函数单调性求出解集.
【详解】因为对任意的（），都有，
所以在上单调递减，
因为关于直线对称，所以关于轴对称，即为偶函数，
所以在上单调递增，
因为，所以，
当时，，令得，即，
所以，所以，
当时，，令得，即，
所以，所以，
综上，的解集为.
故选：C
二、多选题
9．已知集合，，若，则的取值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】AC
【分析】根据并集的概念及运算即可得到结果.
【详解】∵集合，，
∴，或.
故选：AC.
10．下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BD
【分析】先求出各项两个函数的定义域，若定义域相同，则判断对应关系、解析式是否一致，即可得出答案.
【详解】对于A项，函数的定义域为R，的定义域为，
两个函数定义域不相同，故A项错误；
对于B项，函数的定义域为R，的定义域为R，
两个函数定义域相同，
且，所以两个函数相同，故B项正确；
对于C项，函数的定义域为R，的定义域为R，
两个函数定义域相同，
但是解析式不相同，故C项错误；
对于D项，函数的定义域为R，的定义域为R，
两个函数定义域相同，
且对应关系也一致，故D项正确.
故选：BD.
11．下列幂函数中满足条件的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】先明确题目中条件对应函数的性质，再根据性质进行判断选择.
【详解】由题意可知，当时，满足条件的函数的图象是凹形曲线.
对于A，函数的图象是一条直线，故当时，；
对于B，函数的图象是凹形曲线，故当时，；
对于C，函数的图象是凸形曲线，故当时，；
对于D，在第一象限，函数的图象是一条凹形曲线，故当时，
，
故选：BD.
【点睛】本题考查函数图象与性质，考查综合分析判断能力，属中档题.
12．下列四个命题是真命题的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数的值域为
C．函数f（x）满足，则
D．若方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围为
【答案】AD
【分析】A. 利用抽象函数的定义域求解判断；B.利用函数的单调性求解判断；C. 由得到，联立求解判断；D.令，利用方程根的分布判断.
【详解】A. 因为函数的定义域为，所以，解得 ，所以函数的定义域为，故是真命题；
B. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增，所以函数的值域为，故不是真命题；
C. 由，得，联立解得，故不是真命题；
D.令，因为的两个不等实根都在区间内，
所以，即，
解得，所以实数的取值范围为，故是真命题；
故选：AD
三、填空题
13．已知函数，则 ．
【答案】
【分析】根据已知求出的值，代入即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，
所以，.
故答案为：.
14．若命题“，”为真命题，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意，将问题转化为能成立问题，求其最大值，即可得到结果.
【详解】命题“，”为真命题，即，，
设，，
当时，取得最大值为，所以，
即的取值范围为.
故答案为：
15．已知正实数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解．
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
16．表示不超过x的最大整数，如，，，已知且满足，则 ．
【答案】3
【分析】根据已知可推得，进而求得的范围，代入，求出整数部分，即可得出答案.
【详解】因为，
且每一项都是整数，
又，
所以，，
所以有，所以，
所以，，
所以，.
故答案为：3.
四、解答题
17．（1）设全集为，，，求．
（2）；
【答案】（1）或；（2）
【分析】（1）根据补集和交集的知识求得正确答案.
（2）根据指数运算的知识求得正确答案.
【详解】（1）或，
所以或.
（2）
.
18．已知幂函数在上是减函数，.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数为幂函数，可列出关于m的方程，结合幂函数的单调性确定m的值，即可求得答案；
（2）结合（1）中m的值，再结合幂函数的定义域以及单调性，可得相应不等式组，即可求得答案.
【详解】（1）由于函数是幂函数，故，
解得或，
当时，在上是增函数，不合题意；
当时，在上是减函数，符合题意，
故.
（2）由（1）知，则，
结合幂函数在上为增函数，
得，解得，
即.
19．定义在上的偶函数，当时，．
（1）求函数在上的解析式；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）（2）最大值是-1，最小值是-22
【分析】（1）根据函数的奇偶性，合理设出变量，即可求解函数在上的解析式；
（2）由（1）可得，函数在区间上单调递增，在上单调递减，进而求解函数的最大值与最小值.
【详解】:
上单调递增，在上单调递减
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数单调性的应用，其中根据题意，令函数的奇偶性求得函数的解析式，得出函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题好解答问题的能力，属于基础题.
20．已知是定义在上的奇函数．
求的解析式；
判断并证明的单调性；
解不等式：
【答案】（1）（2）函数在上为增函数．证明见解析（3）
【分析】（1）根据奇函数的性质，列出方程求出、的值，代入解析式；
（2）先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：设元，作差，变形，判断符号，下结论．
（3）根据函数的单调性即可得到关于的不等式组，解得即可．
【详解】解：是定义在上的奇函数，
，即．
又．
函数在上为增函数．
证明如下，任取，
为上的增函数．
，即，
，解得，
解集为：
【点睛】本题考查奇函数的性质的应用，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论．
根据奇函数的性质，列出方程求出的值，代入解析式；
先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：设元，作差，变形，判断符号，下结论
根据函数的单调性即可得到关于x的不等式组，解得即可．
21．如图，现将正方形区域规划为居民休闲广场，八边形位于正方形的正中心，计划将正方形WUZV设计为湖景，造价为每平方米20百元；在四个相同的矩形，上修鹅卵石小道，造价为每平方米2百元；在四个相同的五边形上种植草坪，造价为每平方米2百元；在四个相同的三角形上种植花卉，造价为每平方米5百元.已知阴影部分面积之和为8000平方米，其中的长度最多能达到40米.
(1)设总造价为（单位：百元），长为（单位：米），试用表示；
(2)试问该居民休闲广场的最低造价为多少百元？
（参考数据：取，结果保留整数）
【答案】(1)
(2)68800百元
【分析】（1）将各部分分别求造价再求和即可；
（2）根据基本不等式求解即可.
【详解】（1）方法一：因为米，所以米，得米.
根据题意可得四个三角形的面积之和为平方米，
正方形的面积为平方米，
四个五边形的面积之和为平方米，
则休闲广场的总造价
.
方法二：设米，因为米，所以米，得米，
根据题意可得阴影部分面积为平方米，
则，
四个三角形的面积之和为平方米，
正方形的面积为平方米，
因为正方形的面积为平方米，
所以四个五边形的面积之和为
平方米，
所以休闲广场的总造价
.
（2）因为
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该居民休闲广场的总造价最低为68800百元.
22．若函数.
(1)讨论的解集；
(2)若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)或
【分析】（1）分类讨论a的范围，根据二次方程根的分布情况，解不等式即可；
（2）令，原题等价于，对使得恒成立，再根据恒成立与有解关系分别转化即可求出实数b的取值范围.
【详解】（1）已知，
①当时，时，即；
②当时，，
若，，解得 ，
若，，解得或，
若，，解得，
若时，，解得或，
综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为.
（2）若，则，，
令，原题等价于，对使得恒成立，
令，是关于的减函数，
对，恒成立，
即，
又，，
即，
故，解得或.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解综合问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④在上有解，则.
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