2024届河南省焦作市博爱县第一中学高三上学期11月期中考试数学word版含答案

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2.
【答案】A
3.
【答案】B
4.
【答案】D
5.
【答案】C
6.
【答案】D
7.
【答案】D
8.
【答案】A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.
【答案】AC
10.
【答案】AB
11.
【答案】AC
12.
【答案】ABD
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13.【答案】
14.
【答案】
15.
【答案】3
16.
【答案】8
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量，，且.
（1）求证：
（2）求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理，正弦定理，解三角方程即可证明；
（2）根据正弦定理将边转化为角，构建关于角的函数，再利用换元法及对勾函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
因为，，且，
所以，
又由余弦定理，，得，
所以，即，
由正弦定理可得，，
在△ABC中，，代入上式，
得，，
即，又因为是锐角，
所以，即.
【小问2详解】
由和正弦定理可得，
，
因为△ABC是锐角三角形，
所以，所以，
所以，，令，
则，
因为对勾函数在上单调递增，所以，
所以的取值范围是.
18. 某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元，其销售宗旨是当天进货当天销售，若当天未销售完，未售出的全部降价以每千克10元处理完．据以往销售情况，按进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图求该蔬果日需求量平均数（同组数据用区间中点值代表）；
（2）该经销商某天购进了250千克蔬果，假设当天的日需求量为千克（），利润为元．
①求关于的函数表达式；
②根据频率分布直方图估计利润不小于1750元的概率．
【答案】（1）265千克；（2）①；②0.7.
【解析】
【分析】
(1) 用频率分布直方图中每一个矩形的面积乘以矩形的底边中点横坐标的和即为平均值；
(2) ①根据日需求量与进货量250千克的关系，分类讨论即可求出；
②由解出日需求量的取值范围，再根据频率分布直方图求出对应的面积即可．
【详解】(1)
50×0.001×100+150×0.002×100+250×0.003×100+350×0.0025×100+450×0.0015×100=265
故该蔬果日需求量的平均数为265千克．
(2)
① 当日需求量低于250千克时，利润=（元）；
当日需求量不低于250千克时，利润（元），
所以．
② 由，解得．
所以==++=0.7
故根据频率分布直方图估计利润不小于1750元概率为0.7
【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计样本的平均数，以及分段函数的求法应用，属于基础题．结论点睛：在频率分布直方图中，众数等于最高矩形底边中点横坐标，中位数是把频率分布直方图分成左右两边面积相等的分界对应的数值，平均数等于频率分布直方图中每一个矩形的面积乘以矩形的底边中点横坐标的和．
19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点，是上一点．
（1）证明：平面．
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，根据线面平行判定定理证明即可得结论；
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据空间向量坐标运算求平面与平面的法向量，在根据向量夹角余弦公式即可得所求.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，．
因为是的中点，所以，．
又底面为正方形，是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以
因为平面，平面，所以平面
【小问2详解】
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
令，则，，，．
设，得，
则，．
因为，所以，解得，
从而，，．
设平面的法向量为，则
令，得
设平面的法向量为，则
令，得
故平面与平面的夹角的余弦值为
20. 某外语学校的一个社团有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.求：
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
（2）求在选派的3人中既会法语又会英语的人数的分布列.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果；
（2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列.
【详解】（1）名同学中，会法语的人数为人，
从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；
选派的人中恰有人会法语的概率.
（2）由题意可知：所有可能的取值为，
；；
；；
的分布列为：
【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、超几何分布的分布列的求解问题；关键是能够利用组合的知识计算出基本事件个数和超几何分布中随机变量每个取值对应的概率，属于基础题型.
21. 已知函数
（1）判断的单调性；
（2）若函数存在极值，求这些极值的和的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）求出导函数，，对（），用判别式进行分类讨论，以确定的零点与符号，从而确定的单调区间；
（2）题意说明在上有解，且在解的两侧符号相反.
【详解】（1）因为，所以，令．
，即时，恒成立，此时，
所以函数在上为减函数；，即或时，有不相等的两根，
设为（），则，．
当或时，，
此时，所以函数在和上为减函数；
当时，，此时，所以函数在上为增函数．
（2）对函数求导得. 因为存在极值，
所以在上有解，即方程在上有解，
即.显然当时，无极值，不合题意，
所以方程必有两个不等正根.
设方程的两个不等正根分别为，则，
由题意知
，
由得，
即这些极值的和的取值范围为．
【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与极值．掌握用导数研究函数的方法是解题基础.，特别要注意不是为极值点的充分条件（即使在可导情况下），还必须满足在的两侧符号相反.
22. 已知，复数在复平面上对应的点分别为为坐标原点.
（1）求的取值范围；
（2）当三点共线时，求三角形的面积.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）易得，再由，利用基本不等式求解；
（2）根据三点共线，由得到，再利用数量积求得夹角，利用三角形的面积公式求解.
【小问1详解】
解：因为，
所以，
当且仅当时取得等号，
所以；
【小问2详解】
因为，
且三点共线时，有，
即，
解得
此时，，
所以，
所以.