2022届重庆市西南大学附属中学高三上学期开学考试数学试题含答案

西南大学附属中学校高2022级开学考试

数学试题

（总分：150分  考试时间：120分钟）

注意事项：

1．答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1．若，则z的虚部为(       )

A．1      B．-1       C．i         D．-i

2．等差数列的前n项和为Sn，若S9=81，则(       )

A．26       B．27         C．28       D．29

3．已知向量，满足，，且⊥(-)，则在方向上的投影为(       )

A．        B．3       C．-         D．

4．下列正确命题的序号有(       )

A．若随机变量X～B(100，p)，且E(X)=20，则

B．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A与BCD是互斥事件，也是对立事件

C．在独立性检验中，K2的观测值越小，则认为“这两个分类变量有关”的把握越大

D．由一组样本数据，，…得到回归直线方程，那么直线至少经过，，…中的一个点

5．已知函数，则①的图象关于点对称；②在上的值域为；③的图象关于直线对称；④若，则．其中正确的有(       )个

A．1        B．2        C．3        D．4

6．A，B，C，D，E，F六名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次．A，B，C去询问成绩，回答者对A说：“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对B说：“你的名次在C之前．”对C说：“你不是最后一名．”从以上的回答分析，6人的名次排列情况种数共有(       )种.

A．108       B．120        C．144        D．156

7．定义在R上的函数的导函数为．若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是(       )

A．       B．        C．        D．

8．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足，点N是F1F2线段上一点，满足．现将ΔMF1F2沿MN折成直二面角F1-MN-F2，若使折叠后点F1，F2距离最小，则(       )

A．        B．         C．         D．

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知全集，，，则集合B可能为(       )

A．        B．        C．        D．

10．下列结论正确的是(       )

A．若，则          B．，

C．若，则     D．若，则

11．“内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后，既没有办法稳定下来，也没有办法转变为新的形态，而只能不断地在内部变得更加复杂的现象，热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线.连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，具体作法是：在边长为1的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得∠BEF=15°；再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，且使得∠FMN=15°；依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第n个正方形的边长为（其中第1个正方形ABCD的边长为，第2个正方形EFGH的边长为，…），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形AEH的面积为，第2个直角三角形EQM的面积为，…），则(       )

A．数列是公比为的等比数列        B．

C．数列是公比为的等比数列       D．数列的前n项和

数学第3页（共4页）

12．已知函数，其中e是自然对数的底数，下列说法正确的有(       )

A．在是增函数

B．是奇函数

C．在上有两个极值点

D．若为在上的一个极值点，且当时，恒成立，则

三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．

13．已知抛物线的焦点为F，P是抛物线上一点，若，则P点的横坐标为_________．

14．在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项的系数为___________．

15．已知ΔABC外接圆的圆心为O，半径为2．设点O到边BC，CA，AB的距离分别为，，．若，则___________．

16．设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）．若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为___________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点．

(1)求证：EF∥平面ABC1D1；

(2)求二面角E-BC1-F的余弦值．

18．在ΔABC中，内A，B，C角的对边分别为a，b，c，请在①；②；③这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：

(1)求∠B的大小；

(2)若b=2，求ΔABC面积的取值范围.

19．在数列中，已知，()．

(1)证明：数列为等比数列；

(2)记，数列的前n项和为，求使得的整数n的最小值.

20．“T2钻石联赛”是国际乒联推出的一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5”模式．在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局．24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式．若某位选手率先在7局比赛中拿下4局，则比赛结束．现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局．已知在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式中，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立．

(1)若甲乙24分钟内可以完整打满2局，求4局比赛决出胜负的概率；

(2)若甲乙24分钟内可以完整打满3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为X，求X的分布列及数学期望．

21．椭圆E：()的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率，过的直线交椭圆于两点，且ΔABF2的周长为8．

(1)求椭圆E的方程．

(2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

22．已知函数，，．

(1)若存在唯一的零点，求a的取值范围；

(2)若有两个不同的解，，求证.

参考答案

选填：

解答题：

17（10分）.（1）证明见解析；（2）.

（1）连接BD1，由E，F分别为DD1，DB的中点，

∴EF∥BD1，又面EFABC1D1，BD1面ABC1D1

∴EF∥平面ABC1D1             4分

（2）构建以D为原点，，，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，

∴D(0，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(0，0，1)，

∴=(2，2,0)，=(0，2，2)，=(2，2，-1)，=(0，2，1)，          6分

又二面角E-BC1-F即为二面角E-BC1-D，

若是面BDC1的一个法向量，则，若，即，  7分

若是面EBC1的一个法向量，则，若，即，8分

∴，则锐二面角E-BC1-F的余弦值为.     10分

18（12分）．（1）条件选择见解析，∠B=；(2)

（1）若选①，，则有，     3分

∴，，所以∠B=.         6分

若选②，由正弦定理：，又，

∴，则且，即∠B=.

若选③，由正弦定理：

∴整理得，又，

∴即∠B=.

（2）由，得到.        8分

由不等式，得到，

∴                         10分

从而，当且仅当时取等号.

所以ΔABC面积的范围为.          12分

19（12分）．（1）证明见解析；（2）10

（1）证明：由，得，从而，     2分，

∴            4分

又，故数列为等比数列；         5分

（2）解：由(1)得，故       ，7分

所以，     8分，

     10分

令，则，解得，

∵，

∴.

故使得的整数n的最小值为10；             12分

20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）分布列见解析，.

（Ⅰ）设前24分钟比赛甲胜出分别为，乙胜出分别为，在“FAST5”模式每局比赛甲获胜为C，4局比赛决出胜负记为事件D.

          4分

（Ⅱ）的可能取值为4、5、6、7

；       5分

；  6分

；       8分

；10分

所以，随机变量X的概率分布列为：

的数学期望为EX=.             12分

21．（1）；（2）存在，定点M(1，0).

（1）因为，即，

又，所以，.       2分

又因为即所以c=1，

所以，

故椭圆E的方程是.        4分

（2）解法一：

由得.

因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，所以且Δ=0，

即化简得.(*)5分

此时，

所以，由得Q.        7分

假设平面内存在定点满足条件，由图形对称性知，点必在轴上.      8分

设M，则对满足(*)式的恒成立.

因为，，由

得

整理得.(**)         10分

由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以，解得

故存在定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.         12分

解法二：

接：假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上.     8分

取k=0，，此时P(0，)，Q(4，)

以PQ为直径的圆为交x轴于点M1(1，0)，M2(3，0)

取，m=2，此时，Q(4，0)，以PQ为直径的圆为

交x轴于点M3(1，0)，M4(4，0)

所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1，0).         10分

因为M的坐标为(1，0)，所以，

而，

故恒有，即存在定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.         12分

解法三：由对称性可知设与

        6分

直线l：                   8分

                   9分

对恒成立，所以x=1，得M(1，0).       12分

22．(1)或；(2)见解析.

(1)解法一：由题，

①当时，恒成立，所以在上为减函数，

当，；当，.

所以在上一定存在唯一的零点，符合题意；

②当，，不符合题意；

③当时，由得，

当时，，递减；

当时，，递增，

所以当时，取得极大值，

因为存在唯一的零点，则，解得

因此a的取值范围为或.            4分

解法二：存在唯一的零点等价于只有一个解（显然x=1不是零点）

令，，

令，得，

因此在(0，1)，(1，e)上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，

当，；

当，；

当，；

当，；

简图如下：

因此的取值范围为或.           4分

(2)令，

则      5分

①当时，恒成立，所以在上为减函数，不符合题意；     6分

②当时，由得，

当时，，所以为减函数；

当时，，所以为增函数，

所以当时，取得极大值.           7分

又因为存在两个不同零点，，所以，即

整理得，显然，         8分

作关于直线的对称曲线，

令.         9分

当，，

所以在上单调递减，          10分

不妨设，（因为若，则显然成立）

则，即，         11分

又因为，，且在上为减函数，

故，即，又，故.       12分