2023-2024学年山东省枣庄市滕州市东郭中学八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省枣庄市滕州市东郭中学八年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列四个数，，，中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下面个数：，其中是有理数的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.已知，求(    )

A.  B.  C.  D.

4.图是小明的作业，他判断正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.有意义，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.下列各式计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.勾股定理最早出现在周髀算经：“勾广三，股修四，经隅五”观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差的一类勾股数，如：，，；，，；若此类勾股数的勾为为正整数，则其弦是结果用含的式子表示(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，面积为的正方形的一边与数轴重合，其中正方形的一个顶点与数轴上表示的点重合，则点表示的数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.数轴上表示数的点应在(    )

A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间

10.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为则小正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

11.如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度的范围是(    )

A.
B.
C.
D.

12.在中，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.已知，那么的值为______ ．

14.实数，在数轴上的位置如图所示，化简：______．

15.一个正数的两个平方根分别是和，则______．

16.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则最大的正方形的面积为        ．

17.若直角三角形的两条直角边长为、，且满足，则该直角三角形的斜边为        ．

18.我们知道，同底数幂的乘法法则为其中，，为正整数，类似地，我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，请根据这种新运算填空：
若，则 ______ ；
若，那么 ______ 用含和的代数式表示，其中为正整数．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.计算：
；
．

四、解答题（本大题共5小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.本小题分
如图，滑竿在机械槽内运动，为直角，已知滑竿长米，顶点在上滑动，量得滑竿下端距点的距离为米，当端点向右移动米时，滑竿顶端下滑多少米．

21.本小题分
已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分．
求和的值；
求的算术平方根．

22.本小题分
“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”又到了放风筝的最佳时节．某校八年级班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：测得水平距离的长为米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；牵线放风筝的小明的身高为米．
求风筝的垂直高度；
如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？

23.本小题分

如图，中，，为中点，点在边上点不与点，重合，连接，过点作交于点，连接．
求证：
若，，，直接写出线段的长．

24.本小题分
记，，，，．
计算：；
求的值；
说明与互为相反数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是整数，，是分数，它们不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
则无理数是，
故选：．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：，
有理数有，共个，
故选：．
根据有理数的定义、无理数的定义进行判断即可得解．
本题考查了实数，主要利用了有理数和无理数定义，熟记概念是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
解得，，
．
故选：．
根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．

4.【答案】 

【解析】解：，小明判断错误；
的绝对值是，小明判断正确；
，小明判断错误；
，小明判断正确，
判断正确的个数是，
故选：．
根据算术平方根和立方根的概念，逐个判断即可．
此题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根的求解．

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，得
，
解得，；
故选C
二次根式的被开方数的非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

6.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：．
利用算术平方根和立方根的性质逐项判断即可．
本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义与性质．

7.【答案】 

【解析】解：为正整数，
为偶数，设其股是，
则弦为，
根据勾股定理得，，
解得，
弦是，
故选：．
根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．

8.【答案】 

【解析】解：正方形的面积为，
，
点与数轴上表示的点重合，
点表示的数为．
故选D．
先根据正方形的面积公式求出，再根据点与数轴上表示的点重合，即可求出点表示的数．
本题考查了实数和数轴，正方形的面积，比较简单．

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，即，
故选：．
先根据无理数的估算方法估算出，继而得到，由此可得．
本题主要考查了无理数的估算，熟知无理数的估算方法是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，
小正方形的边长为，
大正方形的面积为，
，
大正方形的面积，
，
，
，
，
即小正方形的边长为．
故选：．
根据大正方形的面积，结合即可求解
本题考查了勾股定理的证明，正确得出大正方形的面积的两种表示方法是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度最大，最大值为，
由勾股定理得，长方体的对角线长为，
当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度最小，最小值为，
这根铅笔露在笔筒外的部分长度的范围是，
故选：．
由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度最大，最大值为，由勾股定理得，长方体的对角线长为，当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度最小，最小值为，然后作答即可．
本题考查了勾股定理的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握．

12.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
则，
故选：．
根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．

13.【答案】 

【解析】解：，
，，，
解得：，，，
．
故答案为：．
直接利用非负数的性质得出，，的值，进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出，，的值是解题关键．

14.【答案】 

【解析】解：根据数轴可得：，，
则；
故答案为：．
根据、在数轴上的位置判断出，，再根据二次根式的性质进行化简即可得出答案．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：一个正数的两个平方根分别是和，
，
解得：，
故答案为：．
由于一个正数的两个平方根互为相反数，得解方程即可求出
此题主要考查了平方根的定义，还要注意正数的两个平方根之间的关系．

16.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为的面积，、的面积和为的面积，、的面积和为的面积，
所以，
即．
故答案是：．
据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形，，，的面积和即为最大正方形的面积．
本题考查的是勾股定理，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：，
，，
解得，，
直角三角形的两直角边长为、，
该直角三角形的斜边长．
故答案为：．
根据非负数的性质求得、的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长．
本题考查了勾股定理，非负数的性质绝对值、算术平方根．任意一个数的绝对值、算术平方根都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为时，则其中的每一项都必须等于．

18.【答案】   

【解析】解：，，
；
，，
．
将变形为，再根据定义新运算进行计算便可；
根据，及定义新运算将原式变形为，再根据同底数幂乘法法则计算求解即可．
本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．

19.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，合并即可得到结果；
原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果．
此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则及二次根式性质是解本题的关键．

20.【答案】解：在中，米，米，
米，
在中，米，米，
米，
米，
答：滑竿顶端下滑了米． 

【解析】根据勾股定理求出米，米，即可求出答案．
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．

21.【答案】解：的平方根是，的立方根是，
，，
即，；
，
，
是的整数部分，
，
由知，，
所以，
那么的算术平方根是，
即的算术平方根是． 

【解析】根据算术平方根，立方根的定义，求得和的值；
根据的结果，代入代数式，然后求得算术平方根即可求解．
本题考查了平方根、算术平方根、立方根、无理数的估算等知识内容，难度较小，注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．

22.【答案】解：在中，
由勾股定理得，，
所以，米，
所以，米，
答：风筝的高度为米．
如下图所示：

由题意得，米，
米，
，即米，
米，
他应该往回收线米． 

【解析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
根据勾股定理即可得到结论

23.【答案】证明：延长至使，连接，

为中点，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
连接，
，，
，
在中，
，
即：；
解：设，
，，，
则，
，
，
，
即：，
由知：，，，
，，
，
，
即：，
解得：，
即：． 

【解析】延长至使，连接，证明≌，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论；
结合中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决．
本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质，其中倍长中线是解决问题的关键．

24.【答案】解：


；




；
与互为相反数．理由如下：
因为，
所以与互为相反数． 

【解析】利用新定义得到，然后利用乘方的意义计算；
利用新定义得到，然后根据同底数幂的乘法进行计算；
利用新定义得到，然后根据同底数幂的乘法计算出它们的和为，从而可判断与互为相反数．
本题考查了数字变化的规律、互为相反数的知识，找出规律并熟练掌握同底数幂的除法法则是解决问题的关键．