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四川省巴中市巴州区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷
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这是一份四川省巴中市巴州区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列实数：﹣，，0.1010010001（每相邻两个1之间依次增加一个0），，3.14，中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．﹣27的立方根是﹣3
B．﹣7是49的一个平方根
C．的平方根是
D．0.2的算术平方根是0.04
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．x3•x4＝x12B．x3+x3＝2x6
C．（﹣2x）3＝8x3D．（﹣6x3）÷（﹣2x2）＝3x
4．（4分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
B．和为180°的两个角是邻补角
C．相等的两个角是对顶角
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
5．（4分）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AO＝BOC．AC＝BOD．AB＝CD
6．（4分）已知9m＝4，27n＝10，则32m+3n＝（ ）
A．14B．30C．40D．60
7．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+y＝a（x+y）B．x2﹣4x+4＝（x+2）2
C．2x2﹣x＝x（2x﹣1）D．x2﹣16＝（x﹣4）2
8．（4分）估算+2的值（ ）
A．在5和6之间B．在6和7之间
C．在7和8之间D．在8和9之间
9．（4分）设x，y为实数，且，则|y﹣x|的值是（ ）
A．1B．9C．4D．5
10．（4分）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（ ）
A．30°B．37°C．54°D．63°
11．（4分）已知a＝，b＝1﹣，则a2+ab+b2的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
12．（4分）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）的算术平方根是 ．
14．（3分）把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式． ．
15．（3分）若＝0，则m+n的值为 ．
16．（3分）若（x+m）（2x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为 ．
17．（3分）如图，已知BD⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，如果∠OAB＝25°，则∠ADB＝ ．
18．（3分）已知a＝2023x+2023，b＝2023x+2024，c＝2023x+2025，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共84分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算．
（1）；
（2）6a6b4÷3a3b4+a2•（﹣5a）．
20．（15分）因式分解：
（1）27xy2﹣3x
（2）a2+b2﹣9+2ab
（3）x2﹣2x﹣8
21．（8分）先化简，再求值．（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝﹣2．
22．（10分）已知：2a﹣7和a+4是某正数的平方根，b﹣7的立方根为﹣2．
（1）求：a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
23．（8分）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．
求证：AE＝BF．
24．（10分）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．
（1）如果∠DEF＝123°，求∠BAF的度数；
（2）判断△ABF和△AGE是否全等吗？请说明理由．
25．（10分）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式： ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝28，求a2+b2+c2的值．
26．（13分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，∠B＝∠C，BC＝6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 后，点P与点Q第一次在△ABC的 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）下列实数：﹣，，0.1010010001（每相邻两个1之间依次增加一个0），，3.14，中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：是分数，属于有理数；
3.14是有限小数，属于有理数；
无理数有：﹣，，（每相邻两个1之间依次增加一个0），，共4个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001．
2．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．﹣27的立方根是﹣3
B．﹣7是49的一个平方根
C．的平方根是
D．0.2的算术平方根是0.04
【分析】根据算术平方根，平方根和立方根的定义逐项判断即可．
【解答】解：﹣27的立方根是﹣3，正确，则A不符合题意；
﹣7是49的一个平方根，正确，则B不符合题意；
的平方根是±，正确，则C不符合题意；
0.04的算术平方根是0.2，原说法错误，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查算术平方根，平方根和立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．x3•x4＝x12B．x3+x3＝2x6
C．（﹣2x）3＝8x3D．（﹣6x3）÷（﹣2x2）＝3x
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方法则以及同底数幂的除法来计算．
【解答】解：A、根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加得：x3•x4＝x7，故本选项错误；
B、根据合并同类项得：x3+x3＝2x3，故本选项错误；
C、根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘得：（﹣2x）3＝﹣8x3，故本选项错误；
D、根据同底数幂的除法，底数不变指数相减得，（﹣6x3）÷（﹣2x2）＝3x，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．（4分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
B．和为180°的两个角是邻补角
C．相等的两个角是对顶角
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【分析】根据平行公理的推论、邻补角的概念、对顶角的概念、平行线的性质判断即可．
【解答】解：A、在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c，是真命题，符合题意；
B、和为180°的两个角不一定是邻补角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、相等的两个角不一定是对顶角，例如等腰直角三角形的两锐角相等，不是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．（4分）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AO＝BOC．AC＝BOD．AB＝CD
【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．
【解答】解：A、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
B、由AC∥BD可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；
C、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
D、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（4分）已知9m＝4，27n＝10，则32m+3n＝（ ）
A．14B．30C．40D．60
【分析】根据幂的乘方法则可得32m＝4，33n＝10，再结合同底数幂的乘法法则求解即可．
【解答】解：∵9m＝4，27n＝10，
∴（32）m＝4，（33）n＝10，即32m＝4，33n＝10，
∴32m+3n＝32m⋅33n＝4×10＝40；
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+y＝a（x+y）B．x2﹣4x+4＝（x+2）2
C．2x2﹣x＝x（2x﹣1）D．x2﹣16＝（x﹣4）2
【分析】ax+y不能因式分解，x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，2x2﹣x＝x（2x﹣1），x2﹣16＝（x﹣4）（x+4），再结合题意求解即可．
【解答】解：ax+y不能因式分解，故A不符合题意；
x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故B不符合题意；
2x2﹣x＝x（2x﹣1），故C符合题意；
x2﹣16＝（x﹣4）（x+4），故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法：提取公因司法，公式法是解题的关键．
8．（4分）估算+2的值（ ）
A．在5和6之间B．在6和7之间
C．在7和8之间D．在8和9之间
【分析】首先求出4＜＜5，进而得出+2的取值范围即可得出答案．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴6＜+2＜7，
故选：B．
【点评】此题主要考查了估计无理数，根据题意得出4＜＜5是解题关键．
9．（4分）设x，y为实数，且，则|y﹣x|的值是（ ）
A．1B．9C．4D．5
【分析】根据二次根式有题意的条件可求解x，y值，进而可求解|y﹣x|的值．
【解答】解：∵，
∴5﹣x≥0，5﹣x≤0，
∴5﹣x＝0，
解得x＝5，
∴y＝4，
∴|y﹣x|＝|4﹣5|＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，绝对值，灵活运用二次根式有意义的条件求解x，y值是解题的关键．
10．（4分）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（ ）
A．30°B．37°C．54°D．63°
【分析】由折叠的性质，得△BMN≌△B'MN，得∠BMN＝∠B'MN，再求出∠BMN，∠AMN的度数，即可得答案．
【解答】解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处，
∴△BMN≌△B'MN，
∴∠BMN＝∠B'MN，
∵∠B＝35°，∠BNM＝28°，
∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°，
∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，外角的性质，解题的关键是证明△BMN≌△B'MN．
11．（4分）已知a＝，b＝1﹣，则a2+ab+b2的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】直接把a＝，b＝1﹣代入a2+ab+b2中即可得到答案．
【解答】解：把a＝，b＝1﹣代入a2+ab+b2中得：
（+1）2+（+1）（1﹣）+（1﹣）2，
＝3+2+1﹣2+3﹣2，
＝5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，关键是二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
12．（4分）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）的算术平方根是 3 ．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可得到答案．
【解答】解：∵＝9，
∴的算术平方根是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
14．（3分）把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式． 如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等 ．
【分析】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式，如果是条件，那么是结论．
【解答】解：∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，
结论是：对应角相等，
∴命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等，
故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
【点评】本题考查了命题由题设和结论两部分组成，命题可写成“如果…那么…”的形式，其中如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论，难度适中．
15．（3分）若＝0，则m+n的值为 ﹣2 ．
【分析】根据任何数的算术平方根以及偶次方都是非负数，几个非负数的和是0，则每个数等于0，据此列方程求的m和n的值，进而求的代数式的值．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
则m+n＝﹣3+1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了非负数的性质，初中范围内的非负数有：任何数的算术平方根、偶次方以及绝对值三个，几个非负数的和是0，则每个数等于0．
16．（3分）若（x+m）（2x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为 ﹣ ．
【分析】根据多项式乘多项式的法则计算出x+m与2x+3的积，再令一次项的系数为0可求出m的值．
【解答】解：（x+m）（2x+3）＝x2+（2m+3）x+3m，
∵不含有x的一次项，
∴2m+3＝0，
解得：m＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查多项式乘多项式，掌握整式乘法的计算方法是正确解答的前提．
17．（3分）如图，已知BD⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，如果∠OAB＝25°，则∠ADB＝ 40° ．
【分析】先根据DB⊥AN于B，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，得出AE平分∠MAN，再根据∠OAB＝25°，得出∠MAN＝50°，最后根据DB⊥AN于B，求得∠ADB即可．
【解答】解：∵DB⊥AN于B，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，
∴AE平分∠MAN，
∵∠OAB＝25°，
∴∠MAN＝50°，
∵DB⊥AN于B，
∴Rt△ABD中，∠ADB＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质定理的逆定理，解决问题的关键是掌握：角的平分线上的点到角的两边的距离相等和到角两边距离相等的点在角平分线上．
18．（3分）已知a＝2023x+2023，b＝2023x+2024，c＝2023x+2025，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是 3 ．
【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc分解因式，然后分别求出a﹣b，b﹣c，c﹣a即可求解．
【解答】解：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，
∵a＝2023x+2023，b＝2023x+2024，c＝2023x+2025，
∴a﹣b＝﹣1，
b﹣c＝﹣1，
c﹣a＝2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝（1+1+4）
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是把所求代数式分解因式．
三、解答题（本大题共8小题，共84分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算．
（1）；
（2）6a6b4÷3a3b4+a2•（﹣5a）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先算乘除，后算加减，即可解答．
【解答】解：（1）
＝2﹣4﹣（﹣1）+2
＝﹣2+1+2
＝1；
（2）6a6b4÷3a3b4+a2•（﹣5a）
＝2a3﹣5a3
＝﹣3a3．
【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（15分）因式分解：
（1）27xy2﹣3x
（2）a2+b2﹣9+2ab
（3）x2﹣2x﹣8
【分析】（1）先提公因式3x，再运用平方差公式因式分解；
（2）运用完全平方公式和平方差公式因式分解；
（3）运用十字相乘法因式分解．
【解答】解：（1）27xy2﹣3x
＝3x（9y2﹣1）
＝3x（3y+1）（3y﹣1）；
（2）a2+b2﹣9+2ab
＝a2+2ab+b2﹣9
＝（a+b）2﹣32
＝（a+b+3）（a+b﹣3）；
（3）x2﹣2x﹣8
＝（x+2）（x﹣4）．
【点评】本题考查了十字相乘法、提公因式法与公式法的综合运用．熟练掌握公式法因式分解，有公因式的先提公因式是解题的关键．
21．（8分）先化简，再求值．（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝﹣2．
【分析】首先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后去括号、合并同类项即可化简，然后把x的值代入即可求解．
【解答】解：原式＝4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4
＝x2﹣5，
当x＝﹣2时，原式＝4﹣5＝﹣1．
【点评】本题考查了整式的化简求值，正确理解完全平方公式和平方差公式的结构是本题的关键．
22．（10分）已知：2a﹣7和a+4是某正数的平方根，b﹣7的立方根为﹣2．
（1）求：a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：（2a﹣7）+（a+4）＝0或2a﹣7＝a+4，
∴3a﹣3＝0或a＝11，
∴a＝1或11，
∵b﹣7＝（﹣2）3，
∴b＝﹣1，
（2）由（1）可知：
当a＝1时，a+b＝0，
当a＝11时，a+b＝10，
∴a+b的算术平方根是0或．
【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．
23．（8分）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．
求证：AE＝BF．
【分析】根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案．
【解答】证明：∵正方形ABCD，
∴∠ABC＝∠C，AB＝BC．
∵AE⊥BF，
∴∠AGB＝∠BAG+∠ABG＝90°，
∵∠ABG+∠CBF＝90°，
∴∠BAG＝∠CBF．
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，直角三角形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质．
24．（10分）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．
（1）如果∠DEF＝123°，求∠BAF的度数；
（2）判断△ABF和△AGE是否全等吗？请说明理由．
【分析】（1）由轴对称的性质可以得出∠AFE＝∠CFE，由邻补角的定义可以得出∠AEF的值，由平行线的性质可以求出∠AFB的值，进而得出结论；
（2）由矩形的性质可以得出AB＝AG，∠B＝∠G，由等式的性质可以得出∠BAF＝∠GAE就可以得出△ABF≌△AGE．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠DAB＝90°，AD∥BC．
∴∠AEF＝∠CFE．
∵∠DEF+∠AEF＝180°，且∠DEF＝123°，
∴∠AEF＝57°，
∴∠CFE＝57°．
∵四边形CDEF与四边形AGEF关于EF对称，
∴四边形CDEF≌四边形AGEF
∴∠G＝∠C＝∠D＝∠GAF＝90°．AG＝CD，∠AFE＝∠CFE．
∴∠AFE＝57°．
∵∠BFA+∠AFE+∠CFE＝180°，
∴∠BFA＝66°．
∵∠BFA+∠BAF＝90°，
∴∠BAF＝24°．
答：∠BAF的度数为24°；
（2）△ABF≌△AGE．
∵AG＝CD
∴AB＝AG．
∵∠BAE＝90°，∠GAF＝90°，
∴∠BAE＝∠GAF，
∴∠BAE﹣∠EAF＝∠GAF﹣∠EAF，
∴∠BAF＝∠GAE．
在△ABF和△AGE中
，
∴△ABF≌△AGE（ASA）．
【点评】本题考查了矩形的性质的运用，轴对称的性质的运用，直角三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．
25．（10分）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝28，求a2+b2+c2的值．
【分析】（1）根据一个图形面积的两种计算方法求解；
（2）利用（1）中结论，变式代入求解．
【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c＝12，ab+bc+ac＝28，
∴a2+b2+c2
＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）
＝122﹣2×28
＝88．
【点评】本题考查了因式分解的应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键．
26．（13分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，∠B＝∠C，BC＝6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 24s 后，点P与点Q第一次在△ABC的 AC 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．
【解答】解：（1）①△BPD≌△CQP，理由如下：
∵t＝1秒，
∴BP＝CQ＝1×1.5＝1.5cm，
∵AB＝9cm，点D为AB的中点，
∴BD＝4.5cm．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝6cm，
∴PC＝6﹣1.5＝4.5cm，
∴PC＝BD．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
②假设△BPD≌△CQP，
∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝CP＝3，BD＝CQ＝4.5，
∴点P，点Q运动的时间t＝＝2秒，
∴vQ＝＝＝2.25cm/s；
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得 2.25x＝1.5x+2×9，
解得x＝24，
∴点P共运动了24s×1.5cm/s＝36cm．
∴点P、点Q在AC边上相遇，
∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．
故答案为：24s．AC．
【点评】本题属于三角形综合题，主要是运用了路程＝速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．
1．（4分）下列实数：﹣，，0.1010010001（每相邻两个1之间依次增加一个0），，3.14，中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．﹣27的立方根是﹣3
B．﹣7是49的一个平方根
C．的平方根是
D．0.2的算术平方根是0.04
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．x3•x4＝x12B．x3+x3＝2x6
C．（﹣2x）3＝8x3D．（﹣6x3）÷（﹣2x2）＝3x
4．（4分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
B．和为180°的两个角是邻补角
C．相等的两个角是对顶角
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
5．（4分）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AO＝BOC．AC＝BOD．AB＝CD
6．（4分）已知9m＝4，27n＝10，则32m+3n＝（ ）
A．14B．30C．40D．60
7．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+y＝a（x+y）B．x2﹣4x+4＝（x+2）2
C．2x2﹣x＝x（2x﹣1）D．x2﹣16＝（x﹣4）2
8．（4分）估算+2的值（ ）
A．在5和6之间B．在6和7之间
C．在7和8之间D．在8和9之间
9．（4分）设x，y为实数，且，则|y﹣x|的值是（ ）
A．1B．9C．4D．5
10．（4分）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（ ）
A．30°B．37°C．54°D．63°
11．（4分）已知a＝，b＝1﹣，则a2+ab+b2的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
12．（4分）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）的算术平方根是 ．
14．（3分）把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式． ．
15．（3分）若＝0，则m+n的值为 ．
16．（3分）若（x+m）（2x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为 ．
17．（3分）如图，已知BD⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，如果∠OAB＝25°，则∠ADB＝ ．
18．（3分）已知a＝2023x+2023，b＝2023x+2024，c＝2023x+2025，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共84分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算．
（1）；
（2）6a6b4÷3a3b4+a2•（﹣5a）．
20．（15分）因式分解：
（1）27xy2﹣3x
（2）a2+b2﹣9+2ab
（3）x2﹣2x﹣8
21．（8分）先化简，再求值．（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝﹣2．
22．（10分）已知：2a﹣7和a+4是某正数的平方根，b﹣7的立方根为﹣2．
（1）求：a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
23．（8分）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．
求证：AE＝BF．
24．（10分）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．
（1）如果∠DEF＝123°，求∠BAF的度数；
（2）判断△ABF和△AGE是否全等吗？请说明理由．
25．（10分）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式： ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝28，求a2+b2+c2的值．
26．（13分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，∠B＝∠C，BC＝6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 后，点P与点Q第一次在△ABC的 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）下列实数：﹣，，0.1010010001（每相邻两个1之间依次增加一个0），，3.14，中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：是分数，属于有理数；
3.14是有限小数，属于有理数；
无理数有：﹣，，（每相邻两个1之间依次增加一个0），，共4个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001．
2．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．﹣27的立方根是﹣3
B．﹣7是49的一个平方根
C．的平方根是
D．0.2的算术平方根是0.04
【分析】根据算术平方根，平方根和立方根的定义逐项判断即可．
【解答】解：﹣27的立方根是﹣3，正确，则A不符合题意；
﹣7是49的一个平方根，正确，则B不符合题意；
的平方根是±，正确，则C不符合题意；
0.04的算术平方根是0.2，原说法错误，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查算术平方根，平方根和立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．x3•x4＝x12B．x3+x3＝2x6
C．（﹣2x）3＝8x3D．（﹣6x3）÷（﹣2x2）＝3x
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方法则以及同底数幂的除法来计算．
【解答】解：A、根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加得：x3•x4＝x7，故本选项错误；
B、根据合并同类项得：x3+x3＝2x3，故本选项错误；
C、根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘得：（﹣2x）3＝﹣8x3，故本选项错误；
D、根据同底数幂的除法，底数不变指数相减得，（﹣6x3）÷（﹣2x2）＝3x，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．（4分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
B．和为180°的两个角是邻补角
C．相等的两个角是对顶角
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【分析】根据平行公理的推论、邻补角的概念、对顶角的概念、平行线的性质判断即可．
【解答】解：A、在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c，是真命题，符合题意；
B、和为180°的两个角不一定是邻补角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、相等的两个角不一定是对顶角，例如等腰直角三角形的两锐角相等，不是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．（4分）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AO＝BOC．AC＝BOD．AB＝CD
【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．
【解答】解：A、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
B、由AC∥BD可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；
C、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
D、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（4分）已知9m＝4，27n＝10，则32m+3n＝（ ）
A．14B．30C．40D．60
【分析】根据幂的乘方法则可得32m＝4，33n＝10，再结合同底数幂的乘法法则求解即可．
【解答】解：∵9m＝4，27n＝10，
∴（32）m＝4，（33）n＝10，即32m＝4，33n＝10，
∴32m+3n＝32m⋅33n＝4×10＝40；
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+y＝a（x+y）B．x2﹣4x+4＝（x+2）2
C．2x2﹣x＝x（2x﹣1）D．x2﹣16＝（x﹣4）2
【分析】ax+y不能因式分解，x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，2x2﹣x＝x（2x﹣1），x2﹣16＝（x﹣4）（x+4），再结合题意求解即可．
【解答】解：ax+y不能因式分解，故A不符合题意；
x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故B不符合题意；
2x2﹣x＝x（2x﹣1），故C符合题意；
x2﹣16＝（x﹣4）（x+4），故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法：提取公因司法，公式法是解题的关键．
8．（4分）估算+2的值（ ）
A．在5和6之间B．在6和7之间
C．在7和8之间D．在8和9之间
【分析】首先求出4＜＜5，进而得出+2的取值范围即可得出答案．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴6＜+2＜7，
故选：B．
【点评】此题主要考查了估计无理数，根据题意得出4＜＜5是解题关键．
9．（4分）设x，y为实数，且，则|y﹣x|的值是（ ）
A．1B．9C．4D．5
【分析】根据二次根式有题意的条件可求解x，y值，进而可求解|y﹣x|的值．
【解答】解：∵，
∴5﹣x≥0，5﹣x≤0，
∴5﹣x＝0，
解得x＝5，
∴y＝4，
∴|y﹣x|＝|4﹣5|＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，绝对值，灵活运用二次根式有意义的条件求解x，y值是解题的关键．
10．（4分）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（ ）
A．30°B．37°C．54°D．63°
【分析】由折叠的性质，得△BMN≌△B'MN，得∠BMN＝∠B'MN，再求出∠BMN，∠AMN的度数，即可得答案．
【解答】解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处，
∴△BMN≌△B'MN，
∴∠BMN＝∠B'MN，
∵∠B＝35°，∠BNM＝28°，
∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°，
∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，外角的性质，解题的关键是证明△BMN≌△B'MN．
11．（4分）已知a＝，b＝1﹣，则a2+ab+b2的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】直接把a＝，b＝1﹣代入a2+ab+b2中即可得到答案．
【解答】解：把a＝，b＝1﹣代入a2+ab+b2中得：
（+1）2+（+1）（1﹣）+（1﹣）2，
＝3+2+1﹣2+3﹣2，
＝5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，关键是二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
12．（4分）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）的算术平方根是 3 ．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可得到答案．
【解答】解：∵＝9，
∴的算术平方根是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
14．（3分）把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式． 如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等 ．
【分析】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式，如果是条件，那么是结论．
【解答】解：∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，
结论是：对应角相等，
∴命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等，
故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
【点评】本题考查了命题由题设和结论两部分组成，命题可写成“如果…那么…”的形式，其中如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论，难度适中．
15．（3分）若＝0，则m+n的值为 ﹣2 ．
【分析】根据任何数的算术平方根以及偶次方都是非负数，几个非负数的和是0，则每个数等于0，据此列方程求的m和n的值，进而求的代数式的值．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
则m+n＝﹣3+1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了非负数的性质，初中范围内的非负数有：任何数的算术平方根、偶次方以及绝对值三个，几个非负数的和是0，则每个数等于0．
16．（3分）若（x+m）（2x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为 ﹣ ．
【分析】根据多项式乘多项式的法则计算出x+m与2x+3的积，再令一次项的系数为0可求出m的值．
【解答】解：（x+m）（2x+3）＝x2+（2m+3）x+3m，
∵不含有x的一次项，
∴2m+3＝0，
解得：m＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查多项式乘多项式，掌握整式乘法的计算方法是正确解答的前提．
17．（3分）如图，已知BD⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，如果∠OAB＝25°，则∠ADB＝ 40° ．
【分析】先根据DB⊥AN于B，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，得出AE平分∠MAN，再根据∠OAB＝25°，得出∠MAN＝50°，最后根据DB⊥AN于B，求得∠ADB即可．
【解答】解：∵DB⊥AN于B，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，
∴AE平分∠MAN，
∵∠OAB＝25°，
∴∠MAN＝50°，
∵DB⊥AN于B，
∴Rt△ABD中，∠ADB＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质定理的逆定理，解决问题的关键是掌握：角的平分线上的点到角的两边的距离相等和到角两边距离相等的点在角平分线上．
18．（3分）已知a＝2023x+2023，b＝2023x+2024，c＝2023x+2025，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是 3 ．
【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc分解因式，然后分别求出a﹣b，b﹣c，c﹣a即可求解．
【解答】解：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，
∵a＝2023x+2023，b＝2023x+2024，c＝2023x+2025，
∴a﹣b＝﹣1，
b﹣c＝﹣1，
c﹣a＝2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝（1+1+4）
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是把所求代数式分解因式．
三、解答题（本大题共8小题，共84分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算．
（1）；
（2）6a6b4÷3a3b4+a2•（﹣5a）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先算乘除，后算加减，即可解答．
【解答】解：（1）
＝2﹣4﹣（﹣1）+2
＝﹣2+1+2
＝1；
（2）6a6b4÷3a3b4+a2•（﹣5a）
＝2a3﹣5a3
＝﹣3a3．
【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（15分）因式分解：
（1）27xy2﹣3x
（2）a2+b2﹣9+2ab
（3）x2﹣2x﹣8
【分析】（1）先提公因式3x，再运用平方差公式因式分解；
（2）运用完全平方公式和平方差公式因式分解；
（3）运用十字相乘法因式分解．
【解答】解：（1）27xy2﹣3x
＝3x（9y2﹣1）
＝3x（3y+1）（3y﹣1）；
（2）a2+b2﹣9+2ab
＝a2+2ab+b2﹣9
＝（a+b）2﹣32
＝（a+b+3）（a+b﹣3）；
（3）x2﹣2x﹣8
＝（x+2）（x﹣4）．
【点评】本题考查了十字相乘法、提公因式法与公式法的综合运用．熟练掌握公式法因式分解，有公因式的先提公因式是解题的关键．
21．（8分）先化简，再求值．（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝﹣2．
【分析】首先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后去括号、合并同类项即可化简，然后把x的值代入即可求解．
【解答】解：原式＝4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4
＝x2﹣5，
当x＝﹣2时，原式＝4﹣5＝﹣1．
【点评】本题考查了整式的化简求值，正确理解完全平方公式和平方差公式的结构是本题的关键．
22．（10分）已知：2a﹣7和a+4是某正数的平方根，b﹣7的立方根为﹣2．
（1）求：a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：（2a﹣7）+（a+4）＝0或2a﹣7＝a+4，
∴3a﹣3＝0或a＝11，
∴a＝1或11，
∵b﹣7＝（﹣2）3，
∴b＝﹣1，
（2）由（1）可知：
当a＝1时，a+b＝0，
当a＝11时，a+b＝10，
∴a+b的算术平方根是0或．
【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．
23．（8分）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．
求证：AE＝BF．
【分析】根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案．
【解答】证明：∵正方形ABCD，
∴∠ABC＝∠C，AB＝BC．
∵AE⊥BF，
∴∠AGB＝∠BAG+∠ABG＝90°，
∵∠ABG+∠CBF＝90°，
∴∠BAG＝∠CBF．
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，直角三角形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质．
24．（10分）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．
（1）如果∠DEF＝123°，求∠BAF的度数；
（2）判断△ABF和△AGE是否全等吗？请说明理由．
【分析】（1）由轴对称的性质可以得出∠AFE＝∠CFE，由邻补角的定义可以得出∠AEF的值，由平行线的性质可以求出∠AFB的值，进而得出结论；
（2）由矩形的性质可以得出AB＝AG，∠B＝∠G，由等式的性质可以得出∠BAF＝∠GAE就可以得出△ABF≌△AGE．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠DAB＝90°，AD∥BC．
∴∠AEF＝∠CFE．
∵∠DEF+∠AEF＝180°，且∠DEF＝123°，
∴∠AEF＝57°，
∴∠CFE＝57°．
∵四边形CDEF与四边形AGEF关于EF对称，
∴四边形CDEF≌四边形AGEF
∴∠G＝∠C＝∠D＝∠GAF＝90°．AG＝CD，∠AFE＝∠CFE．
∴∠AFE＝57°．
∵∠BFA+∠AFE+∠CFE＝180°，
∴∠BFA＝66°．
∵∠BFA+∠BAF＝90°，
∴∠BAF＝24°．
答：∠BAF的度数为24°；
（2）△ABF≌△AGE．
∵AG＝CD
∴AB＝AG．
∵∠BAE＝90°，∠GAF＝90°，
∴∠BAE＝∠GAF，
∴∠BAE﹣∠EAF＝∠GAF﹣∠EAF，
∴∠BAF＝∠GAE．
在△ABF和△AGE中
，
∴△ABF≌△AGE（ASA）．
【点评】本题考查了矩形的性质的运用，轴对称的性质的运用，直角三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．
25．（10分）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝28，求a2+b2+c2的值．
【分析】（1）根据一个图形面积的两种计算方法求解；
（2）利用（1）中结论，变式代入求解．
【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c＝12，ab+bc+ac＝28，
∴a2+b2+c2
＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）
＝122﹣2×28
＝88．
【点评】本题考查了因式分解的应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键．
26．（13分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，∠B＝∠C，BC＝6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 24s 后，点P与点Q第一次在△ABC的 AC 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．
【解答】解：（1）①△BPD≌△CQP，理由如下：
∵t＝1秒，
∴BP＝CQ＝1×1.5＝1.5cm，
∵AB＝9cm，点D为AB的中点，
∴BD＝4.5cm．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝6cm，
∴PC＝6﹣1.5＝4.5cm，
∴PC＝BD．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
②假设△BPD≌△CQP，
∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝CP＝3，BD＝CQ＝4.5，
∴点P，点Q运动的时间t＝＝2秒，
∴vQ＝＝＝2.25cm/s；
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得 2.25x＝1.5x+2×9，
解得x＝24，
∴点P共运动了24s×1.5cm/s＝36cm．
∴点P、点Q在AC边上相遇，
∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．
故答案为：24s．AC．
【点评】本题属于三角形综合题，主要是运用了路程＝速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．
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