江西省南昌县莲塘第四中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份江西省南昌县莲塘第四中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图所示的图形是全等图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）下列三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2，4，6B．5，8，11C．5，8，14D．3，4，9
3．（3分）如图，△ABC中AC边上的高是（ ）
A．线段AEB．线段CBC．线段BED．线段AB
4．（3分）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A与点A'重合，且落在四边形BCDE的内部a，已知∠1+∠2＝78°，则∠A的度数为（ ）
A．39°B．38°C．30°D．35°
5．（3分）如图，将△ABC折叠，使点B和点C重合，展开后得到点E，连接AE，则AE是（ ）
A．角平分线B．高线
C．中线D．任意一条线段
6．（3分）如图所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．下列结论：
①BD是∠ABE的平分线；②AB⊥AC；③∠C＝30°；④线段DE是△BDC的中线；⑤AD+BD＝AC
其中正确的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）如图，胶州湾大桥是一座斜拉式大桥，斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是 ．
8．（3分）一个三角形的三条边长分别为5，7，x，另一个三角形的三条边长分别为y，5，4，若这两个三角形全等，则x+y＝ ．
9．（3分）已知：从n边形的一个顶点出发共有6条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为49．则（n﹣m）t的值为 ．
10．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝30°，则∠DAE的度数是 ．
11．（3分）如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若阴影的面积为6，则△ABC的面积是 ．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．则∠α，∠1，∠2之间的关系为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝10，BE＝7，求DE的长；
（2）已知两个多边形的内角和为1800°且两多边形的边数之比为2：5，求这两个多边形的边数．
14．（6分）一个等腰三角形的一边长为8cm，周长为22cm，求其他两边的长．
15．（6分）如图，已知△ABC≌△DEF且点A、B、D、E在同一直线上，请你仅用无刻度的直尺按以下要求作图．
（1）在图1中，作出一个与∠CAB相等的角（∠EDF除外）．
（2）若∠ACB＝90°，在图2中，作出△AEC的边AC上的高．
16．（6分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝20°，∠ACB＝48°，求∠E的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
17．（6分）如图，在四边形MNCB中，BD平分∠MBC，且与四边形MNCB的外角∠NCE的平分线交于点D，若∠BMN＝150°，∠CNM＝110°，求∠D的度数．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，已知AD，AE分别是△ABC的边BC上的高和中线，若AB＝12cm，AC＝16cm，BC＝20cm，∠BAC＝90°．
（1）求AD的长度；
（2）求△ABE的面积；
（3）求△ACE和△ABE的周长之差．
19．（8分）如图所示，E为线段AB上一点．△ACE≌△BED．
（1）试猜想线段CE与DE的位置关系满足什么条件时，能保证AC⊥AB，并证明你的结论；
（2）猜想AC，AB，BD的数量关系．
20．（8分）如图，∠BCD和∠BAD的角平分线交于点P．
（1）求证：∠PCB+∠P＝∠PAB+∠B；
（2）若∠B＝44°，∠D＝58°，求∠P的度数．
五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）李大爷准备用一段长60m的篱笆围成一个三角形形状的场地用于饲养鸡，已知第一条边长为am，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3m．
（1）第二条边长为 m，第三条边长为 m（用含a的式子表示）；
（2）第一条边长能否为10m？为什么？
（3）求a的取值范围．
22．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s．
（1）当t＝ s时，△ABC的周长被线段AP平分为相等的两部分；
（2）如图1，当t＝ s时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
（3）如图2，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．
23．（12分）解答题
【概念认识】
如图1，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图1，∠ABC＝66°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝ ；
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝45°，若∠B的“三分线”BD交AC于点D，则∠BDC＝ ；
（3）如图3，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC的“邻BC三分线”和∠ACB的“邻BC三分线”，且∠BPC＝142°，求∠A的度数；
【延伸推广】
（4）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的“三分线”所在的直线与∠ACD的“三分线”所在的直线交于点P．若∠A＝α，∠B＝β，直接写出∠BPC的度数（用含α，β的代数式表示）．
2024-2025学年江西省南昌市南昌县莲塘四中八年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）
1．【解答】解：如图所示的图形是全等图形的是B，
故选：B．
2．【解答】解：A、∵2+4＝6，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、∵8+5＞11，∴能构成三角形，故本选项符合题意；
C、∵5+8＜14，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；
D、∵4+3＜9，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．【解答】解：△ABC中AC边上的高是线段BE．
故选：C．
4．【解答】解：由折叠的性质得：∠A'ED＝∠AED，∠A'DE＝∠ADE，
∵∠1＝180°﹣∠A'ED﹣∠AED，∠2＝180°﹣∠A'DE﹣∠ADE，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AED+∠ADE），
又∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A＝78°，
∴∠A＝39°，
故选：A．
5．【解答】解：根据题意可得，E是BC的中点，
∴AE是△ABC的中线，
故选：C．
6．【解答】解：①∵△ADB≌△EDB，
∴∠ABD＝∠EBD，
∴BD是∠ABE的平分线，故①正确；
②∵△BDE≌△CDE，
∴BD＝CD，BE＝CE，
∴DE⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∵△ADB≌△EDB，
∴∠A＝∠BED＝90°，
∴AB⊥AD，
∵A、D、C可能不在同一直线上
∴AB可能不垂直于AC，故②不正确；
③∵△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，
∴∠ABD＝∠EBD，∠EBD＝∠C，
∵∠A＝90°
若A、D、C不在同一直线上，则∠ABD+∠EBD+∠C≠90°，
∴∠C≠30°，故③不正确；
④∵△BDE≌△CDE，
∴BE＝CE，
∴线段DE是△BDC的中线，故④正确；
⑤∵△BDE≌△CDE，
∴BD＝CD，
若A、D、C不在同一直线上，则AD+CD＞AC，
∴AD+BD＞AC，故⑤不正确．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．【解答】解：胶州湾大桥是一座斜拉式大桥，斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是：三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
8．【解答】解：∵两个三角形全等，
∴x＝4，y＝7，
∴x+y＝11，
故答案为：11．
9．【解答】解：∵n边形的一个顶点出发共有6条对角线，
∴n边形是9边形，即n＝9，
∵从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形，
∴m边形是8边形，即m＝8，
∵正t边形的边长为7，周长为49，
∴7t＝49，
∴t＝7，
∴（n﹣m）t＝（9﹣8）7＝1．
故答案为：1．
10．【解答】解：在△ABC中∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝35°，
在直角△ACD中，∠DAC＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝25°，
故答案为：25°．
11．【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABD＝2S△EBD，S△AFD＝2S△EFD，
∴S四边形ABDF＝2S四边形EBDF＝12，
∵D，F分别是边BC，AC上的中点，
∴DF∥AB，DF＝AB，
∴△CDF∽△CBA，且相似比为1：2，
∴＝，即，
解得，S△CDF＝4，
∴△ABC的面积＝12+4＝16，
故答案为：16．
12．【解答】解：∵点P是直线AB上一动点，
∴有以下三种情况：
①当点P在线段AB上时，如图1所示：
∴∠PDC＝180°﹣∠1，∠PEC＝180°﹣∠2，
∵∠C+∠PDC+∠PEC+∠DPE＝360°，∠C＝90°，
∴90°+180°﹣∠1+180°﹣∠2+∠α＝360°，
∴∠1+∠2﹣∠α＝90°；
②当点P在BA的延长线上时，如图2所示：
∵∠PAD＝∠C+∠ABC＝90°+∠ABC，∠APE＝180°﹣∠2﹣∠ABC，
∴∠APD＝∠DPE+∠APE＝∠α+180°﹣∠2﹣∠ABC，
∵∠PAD+∠APD+∠PDA＝180°，
∴90°+∠ABC+∠α+180°﹣∠2﹣∠ABC+∠1＝180°，
∴∠2﹣∠1﹣∠α＝90°；
③当点P在AB的延长线上时，如图3所示：
∵∠PBE＝∠C+∠BAC＝90°+∠BAC，∠BPD＝180°﹣∠1﹣∠BAC，
∴∠BPE＝∠DPE+∠BPD＝∠α+180°﹣∠1﹣∠BAC，
∵∠BPE+∠PEB+∠PBE＝180°，
∴∠α+180°﹣∠1﹣∠BAC+∠2+90°+∠BAC＝180°，
∴∠1﹣∠2﹣∠α＝90°，
综上所述：∠α，∠1，∠2之间的关系为：∠1+∠2﹣∠α＝90°或∠2﹣∠1﹣∠α＝90°或∠1﹣∠2﹣∠α＝90°．
故答案为：∠1+∠2﹣∠α＝90°或∠2﹣∠1﹣∠α＝90°或∠1﹣∠2﹣∠α＝90°．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DCB，
∴BD＝AC＝10，
∵BE＝7，
∴DE＝BD﹣BE＝10﹣7＝3；
（2）设两个多边形的边数分别是2x和5x，
则（2x﹣2）•180+（5x﹣2）•180＝1800，
解得x＝2，
则两个多边形的边数分别为4和10．
14．【解答】解：①底边长为8cm，则腰长为：（22﹣8）÷2＝7，所以另两边的长为7cm，7cm，能构成三角形；
②腰长为8cm，则底边长为：22﹣8×2＝6，底边长为6cm，另一个腰长为8cm，能构成三角形．
因此另两边长为7cm、7cm或8cm、6cm．
15．【解答】解：（1）如图1中，延长FD到T，∠BDT即为所求．
（2）如图2中，延长EF交AC的延长线于H，线段EH即为所求．
16．【解答】解：（1）∵∠ACB＝48°，
∴∠ACD＝180°﹣48°＝132°，
∵∠B＝20°，
∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝68°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝66°，
∴∠E＝180°﹣68°﹣66°＝46°；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
17．【解答】解：如图，延长BM，CN交于点A，
∵∠BMN＝∠ANM+∠A，∠CNM＝∠AMN+∠A，
∴∠A＝∠BMN+∠CNM﹣180°＝150°+110°﹣180°＝80°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴，，
∵∠ACE＝∠ABC+∠A，∠DCE＝∠DBC+∠D，
∴，
即，
∴，
∴∠D＝40°．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴AB•AC＝BC•AD，
∴AD＝＝＝（cm），即AD的长度为cm；
（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝12cm，AC＝16cm，
∴S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE＝EC，
∴BE•AD＝EC•AD，即S△ABE＝S△AEC，
∴S△ABE＝S△ABC＝48（cm2）．
∴△ABE的面积是48cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝16﹣12＝4（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是4cm．
19．【解答】解：（1）当CE⊥DE时，AC⊥AB，
证明：∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC+∠BED＝90°，
∵△ACE≌△BED，
∴∠ACE＝∠BED，
∴∠ACE+∠AEC＝90°，
∴∠A＝180°﹣（∠ACE+∠AEC）＝180°﹣90°＝90°，
即AC⊥AB，
所以当CE⊥DE时，AC⊥AB；
（2）AB＝AC+BD，
理由是：∵△ACE≌△BED，
∴AC＝BE，BD＝AE，
∴AB＝BE+AE＝AC+BD．
20．【解答】（1）证明：∵∠PCB+∠P+∠PNC＝∠PAB+∠B+∠ANB＝180°，∠PNC＝∠ANB，
∴∠PCB+∠P＝∠PAB+∠B；
（2）解：由（1）的结论得到：∠D+∠MCD＝∠P+∠PAM，∠B+∠BAN＝∠P+∠PCN，
∴∠D+∠MCD+∠B+∠BAN＝∠P+∠PAM+∠P+∠PCN，
∵PC平分∠BCD，PA平分∠BAD，
∴∠MCD＝∠PCN，∠BAN＝∠PAM，
∴∠D+∠B＝2∠P，
∵B＝44°，∠D＝58°，
∴∠P＝（∠B+∠D）＝51°．
五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共18分）
21．【解答】解：（1）∵第二条边长为（2a﹣3）米，
∴第三条边长为60﹣a﹣（2a﹣3）＝（63﹣3a）米．
故答案为：（2a﹣3），（63﹣3a）；
（2）当m＝10时，三边长分别为10，17，33，
由于10+17＜33，
所以不能构成三角形，即第一条边长不能为10米．
（3）由题意，可得，
解得11＜m＜，
则m的取值范围是：11＜m＜．
22．【解答】解：（1）①Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，
∴周长为：9+12+15＝36（cm），
依据题意得：
3t＝×36，
解得：t＝6，
∴当t＝6s时，△ABC的周长被线段AP平分为相等的两部分，
故答案为：6；
②当点P在BC上时，如图1.1，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP＝BC＝cm，
此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+＝，
移动的时间为：÷3＝秒，
当点P在BA上时，如图1.2，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD＝AB，即点P为BA中点，
此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+＝cm，
移动的时间为：÷3＝秒，
故答案为：或；
（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；
当点P在AC上，如图2.1：
此时，AP＝4，AQ＝5，
∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）＝cm/s；
当点P在AB上，如图2.2：
此时，AP＝4，AQ＝5，
即点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，
∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）＝cm/s，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速度为cm/s或cm/s．
23．【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，
∴∠ABD＝∠DBE＝∠EBC＝ABC＝60°＝20°，
∴∠ABE＝∠ABD+∠DAE＝20°+20°＝40°，
故答案为：40°；
（2）如图2，
当BD是“邻AB三分线”时，
∵∠A＝62°，∠ABC＝45°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝62°+×45°＝77°；
当BD′是“邻BC三分线”时，
∵∠A＝62°，∠B＝45°，
∴∠BDC′＝∠A+∠ABD′＝62°+×45°＝92°；
综上所述，∠BDC＝77°或92°，
故答案为：77°或92°；
（3）∵∠BPC＝142°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣142°＝38°，
∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝38°，
∴∠ABC+∠ACB＝114°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣114°＝66°；
（4）分为四种情况：
情况一：如图4﹣1，
当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
由外角可得：∠PCD＝∠ACD＝（α+β），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（α+β）﹣β＝α；
情况二：如图4﹣2，
当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
由外角可知：∠PCD＝∠ACD＝（α+β），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（α+β）﹣β＝；
情况三：当α＞β时，如图4﹣3，
当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
由外角可得：∠PCD＝ACD＝（α+β），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（α+β）﹣n°＝；
当α＜β时，如图4﹣4，
由外角及对顶角可得：∠DCE＝∠PCB＝∠ACD＝（α+β），
∴∠BPC＝∠FBC﹣∠PCB＝n°﹣（α+β）＝；
情况四：如图4﹣5，
当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
由外角可得：∠PCD＝ACD＝（α+β），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（α+β）﹣β＝α；
综合上述：∠BPC的度数是α或或或或α．