人教A版（2019）高中数学必修第一册期中测试卷测试卷（标准难度）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学必修第一册期中测试卷测试卷

考试范围：第一.二.三章；考试时间：120分钟；总分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 若、是全集的真子集，则下列四个命题：；是的必要不充分条件，其中与命题等价的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 若、是全集的真子集，则下列四个命题：
   ；；是的必要不充分条件其中与命题等价的有．(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 关于的不等式解集为，且，则实数(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

4. 函数在上的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知三个函数，，，则(    )

A. 对任意的，三个函数定义域都为
B. 存在，三个函数值域都为
C. 对任意的，三个函数都是奇函数
D. 存在，三个函数在其定义域上都是增函数

6. 设函数，则下列结论错误的是(    )

A. 的值域为 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 在定义域上是单调函数

7. 已知集合，，，则(    )

A.  B.
C.  D.

8. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区阴影部分和四周绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和如图所示当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下列叙述中正确的是(    )

A.
B. 若，则
C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件
D. 命题“，”的否定是“，”

10. 下列不等式中有解的有(    )

A.  B.
C.  D.

11. 黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：奇函数；值域是；在上是减函数则以下幂函数符合这三个性质的有(    )

A.  B.  C.  D.

12. 下列说法正确的是(    )

A. 的一个必要不充分条件是
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 已知，，则的否定对应的的集合为
D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知集合，，若，则实数值集合为          ．
14. 不等式的解为          ．
15. 若正数，满足，则的最小值为          ．
16. 已知函数，，则其值域为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 在“，，”这三个条件中

任选一个，补充在下面横线上，求解下列问题．

已知集合，集合．

若，求；

若______，求的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一个计分

18. 已知集合，．

若是单元素集，求满足条件实数的值组成的集合；

若，，求实数的值．

19. 已知关于的一元二次不等式的解集为

求和的值；

求不等式的解集．

20. 用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，求这个矩形菜园的最大面积。

用篱笆围一个面积为的矩形菜园，求所用篱笆的最短值。

21. 已知函数．
    求函数的定义域；     
    判断函数的奇偶性；
    已知该函数在第一象限内的图象如下图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．
     

22. 已知函数，

证明：函数是偶函数；

利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；

写出函数的值域．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了集合的包含关系的判断及应用，考查集合的基本运算，考查了图的应用，属于基础题．
直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论．

【解答】

解：由得图，




，与、是全集的真子集矛盾，不可能存在
是的必要不充分条件
故和命题等价的有共个，
故选：

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了集合的运算性质、集合之间的关系，属于基础题．
利用集合的运算性质、集合之间的关系即可判断出结论．

【解答】

解：由得图，




若，则，，与、是全集的真子集矛盾，
显然一定不能得出，故与不等价
是的必要不充分条件，则，
但不一定能得是的必要不充分条件，所以不等价．
故和命题等价的有．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，培养了学生的转化能力，属于基础题．
根据跟与系数的关系，得到关于的方程解得即可，

【解答】

解：的解集为，

，为方程的解，

，，

又，

，

，

，

故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用对勾函数求值域，属于基础题．
由题可知，由对勾函数性质得出其单调性及最值，即可得出值域．

【解答】

解：依题意，，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数有最小值，因为，
故所求值域为，
故选C．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定，涉及函数定义域与值域，函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性，指数、对数及幂函数，属于中档题．
根据指数函数、对数函数、幂函数的性质，利用全称量词命题、存在量词命题真假判断的方法对选项逐一判断即可．
【解答】
解：对于，当时，，定义域为，故A错误；
对于，，当时，，值域为，当且时，是指数函数，值域为，故B错误；
对于，当且时，是指数函数，是非奇非偶函数，故C错误；
对于，当时，三个函数，，在其定义域上都是增函数，故D正确．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查分段函数，指数函数及其性质，属于基础题．
根据指数函数及其性质画出的图象，根据图象逐一判断．
【解答】
解：画出的图象如图，

可知时，；
时，，
则函数的值域为，A正确；
函数是奇函数，B正确；
是偶函数，C正确；
在定义域上不是单调函数，D错误．
故选D．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合的关系和运算，属于基础题．
利用条件逐个判断即可．

【解答】

解：由题意，得故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，注意使用条件：一正二定三相等，为基础题．
设，利用核心喷泉区的面积为，表示出，进而可得整个项目占地面积关于的函数解析式，利用基本不等式即可得到结论．
【解答】
解：设，知 ，
整个项目占地面积为

．
当且仅当，即时取等号．
当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的边长为．
故选B．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了集合的子集，交集，并集，充分条件，必要条件的判断，全称量词命题的否定，属于基础题．
逐项判断即可得出结果．

【解答】

解：：自然数集中包括，故，A正确；
：若，说明集合和中均包括元素，则，故B正确；
：已知 ，，
，，，，
则，
则必要性得证；
但是，如，，
则“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
：由全称量词命题的否定是存在量词命题，
则命题“，”的否定是
“，”，故D错误．
故选ABC．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式解的存在性问题，属于基础题．
利用一元二次方程，一元二次不等式和对应的二次函数的关系，结合判别式与函数图象性质进行判断．

【解答】

解：根据题意，对选项依次判断．
对选项A：函数开口向上，其对应一元二次方程根的判别式为，图象与轴无交点，即恒成立，故A不正确．
对选项B：函数开口向上，其对应一元二次方程根的判别式，图象仅与轴有一个交点，即有且仅有一解，于是选项B正确．
对选项C：函数开口向下，其对应一元二次方程根的判别式，图象仅与轴有一个交点，即有且仅有一解，于是选项C不正确。
对选项D：函数开口向上，其对应一元二次方程根的判别式，图象与轴有两个交点，故选项D正确．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数的性质，属于基础题．
分别依据四个函数的奇偶性值域及单调性判断即可．

【解答】

解：，是偶函数，排除；
B.的定义域为，值域为，排除；
C.是奇函数；值域是；在上是减函数符合；
D.是奇函数；值域是；在上是减函数也符合．
故选CD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查集合和简易逻辑的综合，属于基础题．
根据必要条件、充分条件的定义，集合的基本关系，全称量词命题的否定逐一判断即可．
【解答】
解：对于、因为由，得成立，即成立，反之不成立，
故“”是“”的一个必要不充分条件，故A正确；
对于、若集合中只有一个元素，当时，，符合题意，
又，解得，故B不正确；
对于、已知：，即，故对应的的集合为，故C正确；
对于、由，得，故集合的个数为，故D不正确，
故选AC．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了空集的概念，集合关系中的参数取值问题，交集及其运算，属于基础题．
先根据题意得出，则根据的子集从而讨论的情况，每种情况都讨论的取值，进而求出答案．

【解答】

解：因为，故；
则的子集有，
当时，显然有；
当时，
当，
当，不存在，
所以实数的集合为；
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
不等式化为，求出解集即可．

【解答】

解：不等式化为，
即，
解得，
不等式的解为．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
可对式子乘以，也即乘以，再使用基本不等式即可求出答案．

【解答】

解：正数，满足，
，
当且仅当，也即当时取“”．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复合型指数函数，属于基础题．
将解析式变形，设，则，则函数，求二次函数闭区间的最值．

【解答】

解：函数，，
设，则，
则函数，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数的最小值为，最大值为；
故函数的值域是．
故答案为．

17.【答案】解：若，，，
则．
若选，则，
由，，
所以，解得；
的取值范围为，
若选，，
，
则或，
解得：或；
的取值范围为，
若选，
由，，
则或，
解得：或．
的取值范围为． 

【解析】本题主要考查了集合的交集，并集，子集，属于基础题．
当时，求出集合，，进而得出交集．
若选择，，则，即可求解，
若选择，，求出，则写出关于的不等式组，即可求解，
若选择，，根据，的范围即可求解．
 

18.【答案】解：当时，，满足题意； 
当时，，此时，满足题意． 
所以满足条件的值组成的集合为．
，，
、是方程的两个根， 
代入可得． 

【解析】本题考查元素与集合的关系、集合中元素的性质，考查集合关系中的参数取值问题，考查交集、并集及其运算，考查分析与计算能力，属于基础题．
当时，，满足题意； 当时，，满足题意，即可得到答案；
由题，，得，即、是方程的两个根，计算得的值即可．
 

19.【答案】解：由题意知和是方程的两个根，
由根与系数的关系，得，解得；
由、，不等式可化为，
即，
则该不等式对应方程的实数根为和，且，
所以不等式的解集为． 

【解析】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，．
由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出、的值；
把、的值代入化简不等式，即可求出对应不等式的解集．
 

20.【答案】解：设矩形的长和宽分别为，，，，，，

，，矩形的面积，

当且仅当时取“”，当长和宽都为时，面积最大为，

答：当矩形的长、宽均为时，面积最大且为．

解：设矩形的长为，则宽为，所用篱笆为，

则，

，，

当且仅当，即时，不等式取“”

，此时，．

答：当矩形的长、宽均为时，所用篱笆最短为．

【解析】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．
设长和宽分别为，，根据题意得到，面积，利用基本不等式即可求解．
本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．
设矩形的长为，则宽为，所用篱笆为，求出关于的函数，利用基本不等式求出的最小值．
 

21.【答案】解：，函数的定义域为；
因为，
所以，
所以函数为偶函数；


根据图象可知，函数单调增区间为，单调减区间为． 

【解析】本题主要考查幂函数的性质．
求函数的定义域；
根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性；
根据奇偶性补全图像，再根据图像写出函数的单调区间即可．
 

22.【答案】解：函数的定义域为
定义域关于原点对称．
，
函数是定义在上的偶函数．
当时，，
当时，，
当时，，
综上函数的解析式为
函数的图象为：

由函数的图象可知函数的值域为． 

【解析】本题主要考查了偶函数的概念及判断、分段函数的解析式及图象、函数的值域，培养了学生分类讨论及数形结合的思想方法及解题能力，属基础题．
根据函数奇偶性的定义证明，即可证明该函数为偶函数；
分，，三段写出函数的解析式，根据解析式作出函数图象；
由图象得出函数的值域．