人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册期中测试卷（标准难度）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册期中测试卷

考试范围：第一.二章；考试时间：120分钟；总分150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成在翻折过程中，直线与平面所成角的正弦值最大为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知空间中三点，，，则(    )

A. 与是共线向量
B. 与向量方向相同的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是

3. 如图，在空间四边形中，点在上，满足，点为的中点，则(    )

A.
B.
C.
D.

4. 已知四棱锥，底面为平行四边形，，分别为，上的点，，设，，，则向量用为基底表示为(    )

A.  B.
C.  D.

5. 线段是圆的一条直径，直线上有一动点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若直线经过，两点，则直线的倾斜角的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7. “”是直线与直线平行的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 在平面直角坐标系中，已知定点，，若在圆上存在点，使得为直角，则实数的最大值是

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 已知直线：，则下述正确的是(    )

A. 直线的斜率可以等于
B. 直线的斜率有可能不存在
C. 直线可能过点
D. 若直线的横纵截距相等，则

10. 已知点，均在圆：外，则下列表述正确的有(    )

A. 实数的取值范围是
B.
C. 直线与圆不可能相切
D. 若圆上存在唯一点满足，则的值是

11. 若，，，为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是(    )

A.  
B.
C.  
D.

12. 如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则(    )

A. 点的坐标为
B. 点关于点对称的点为
C. 点关于直线对称的点为
D. 点关于平面对称的点为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 如图，直三棱柱一中，侧棱长为，，，是的中点，是上的动点，，交于点，要使平面，则线段的长为          ．

14. 在长方体中，，，点为底面上一点，则的最小值为          ．
15. 直线：被圆：所截得的弦长为，则实数的值是          ．
16. 在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足为坐标原点，则的最小值是           ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，分别为，的中点，．
    证明：
    若与所成角为，求平面和平面所成角的余弦值．
     

18. 如图，在直三棱柱中，，，，点是线段的中点．
    求证：；
    试求二面角的余弦值；
    求点到平面的距离．

19. 如图，已知在平面四边形中，为的中点，，，且将此平面四边形沿折起，使平面平面，连接、．

求证：平面平面

设为侧棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

20. 已知直线．

若直线不经过第四象限，求的取值范围；

若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．

21. 已知圆的圆心在轴上，且经过点，．
    求圆的标准方程；
    过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
22. 如图所示，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数，的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段为保证参赛运动员的安全，限定求，的值和，两点间的距离．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用空间向量求线面角，求函数的最值，属于拔高题．
建立空间直角坐标系，求出的坐标和平面的其中一个法向量，得出，令，利用函数最值的求解，即可求出结果．

【解答】

解：分别取的中点，易得点的轨迹是以为直径的圆，建系如图，
 
则，平面的其中一个法向量为，
由，设，
则，
记直线与平面所成角为，
则
，
令，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
所以直线与平面所成角的正弦值最大为．
故选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查空间向量共线的判断，考查单位向量和向量的数量积运算，考查平面的法向量的求解，属于中档题．
可根据向量的相关概念和数量积运算、以及求法向量的方法逐一验证即可．

【解答】

解：，，，所以与不共线，所以A错误
，与向量方向相同的单位向量为，所以B错误
，所以，所以C错误
设平面的法向量是，
则，即，
令，可得，，所以平面的一个法向量是，所以D正确．
故选D．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
利用，然后进一步转化即可得出．

【解答】

解：由得由点为线段的中点得，
，故选D．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的加法法则、空间向量的线性运算的知识，属于基础题．
结合空间向量的线性运算法则直接求解即可．

【解答】

解：


，
所以．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与圆的位置关系中的最值问题，涉及到向量的运算、点到直线的距离公式，属中档题．

【解答】

解：因为，
所以求的最小值只要求的最小值即可，
而的最小值即为圆心到直线的最小值，
因此，．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线的斜率、倾斜角的计算，关键是求出斜率的范围．
根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率，分析可得斜率的范围，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得，又由倾斜角的范围分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，直线经过，，
则直线的斜率，
又由，则，
则有，
又由，则．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验，属于中档题．
先检验当时，是否满足两直线平行，然后判断当时，两直线的斜率都存在，由斜率相等即，解得的值并验证，最后根据充要条件的判定进行选择．

【解答】

解：
当时，两直线的斜率都不存在，
它们的方程分别是，，显然两直线是重合的，舍去．
当时，两直线的斜率都存在，且它们的斜率相等，
则，解得：．
经验证，时，两直线不重合，符合条件．
综上，，
所以“”是直线与直线平行的充要条件．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆与圆的位置关系的应用，圆的方程的求解，属于中档题．
由题意知点在圆上，且在以为直径的圆上，故当以为直径的圆与圆内切时，最大，从而由两圆的位置关系可求出的最大值．

【解答】

解：将圆化为标准方程为，，
由题意知点在圆上，且在以为直径的圆上，
故当以为直径的圆与圆内切时，最大，
又，，故以为直径的圆的方程为，圆心为，
所以，
当两圆内切时，，解得，
故选D．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了直线方程，考查了直线方程中的有关概念，属于中档题．
根据直线的方程，可得直线的斜率，直线过定点，直线的的截距．

【解答】

解：直线：，直线斜率为，所以直线斜率不可能为，故A错误，
当时，直线的斜率不存在，故B正确；
，即，直线恒过点，故C错误；
若直线的横纵截距相等，则，解得或，故D正确．
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查点与圆、直线与圆位置关系的判定及应用，考查运算求解能力，属于中档题．
由、均在圆外列关于的不等式组，求得的范围判断；直接求出判断；由的范围及圆心坐标判断；由题意可得，点在以线段为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，结合点在圆：上，可得圆与圆外切，且点为切点，再由圆心距与半径的关系列式求解判断．

【解答】

解：点，均在圆：外，
，解得，故A正确；
，故B正确；
由题知，直线与轴重合，，且圆心坐标为，当时，直线与圆相切，与实际矛盾，故C错误；
，点在以线段为直径的圆上，
又，，点在圆上，
又点在圆：上，
点，均在圆外，圆与圆外切，且点为切点，
，即，故D正确．
故答案选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的运算问题，属于基础题．
判断所给的向量是否是零向量，从而求解．

【解答】

解：因为，
不一定等于，所以不符合题意；
因为，所以符合题意；
因为，所以不符合题意；
因为，所以符合题意；
故选BD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间点的对称性、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用空间点的对称性即可得出．

【解答】

解：由图形及其已知可得：点的坐标为，
点关于点对称的点为，
点关于直线对称的点为，
点关于平面对称的点为，
因此BC正确．
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查线段长的求法，线面垂直的向量表示，属于中档题．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段的长．

【解答】

解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

由题意，，
，，，设，，
，，，
平面，
，即
，解得．
线段的长为．
故答案为．

 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的理解与应用，空间向量数量积的运用，空间向量基本定理的运用，利用基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
先利用空间向量基本定理将转化为，由空间向量的数量积定义以及基本不等式求解最值即可．

【解答】

解：在长方体中，，，点为底面上一点，
则，
当反向时，的值最小值为，
此时，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．

15.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．
由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由直线被圆所截得的弦长得圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式求得的值．

【解答】

解：圆：的圆心坐标为，半径为，
又直线：被圆：所截得的弦长为，
圆心到直线的距离．
则，解得或．
故答案为：或．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了动点轨迹方程的求解，涉及了与圆有关的最值问题的求解，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．
先分别求出动点和动点的轨迹方程，然后将问题转化为求解圆上的点到直线的距离最小问题，利用圆心到直线的距离减去半径即可．

【解答】

解：设动点，因为点，
且动点满足为坐标原点，
所以，即，
整理可得，
故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
因为，故点的轨迹是直线，
因为圆心到直线的距离，
所以的最小值即为．
故答案为．

17.【答案】证明：因为，为的中点，所以
又，且．
所以平面，
又因为面
所以
易证，则，，
所以四边形是平行四边形，则，
所以，则，
以为原点，以为轴，为轴，以为轴，建立空间直角坐标系：

则，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，则，
平面的一个法向量为，
则，，
所以平面和平面所成角的余弦值． 

【解析】本题考查了线面垂直的判定与性质、异面直线所成的角，以及利用空间向量研究平面与平面所成角，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：证明：在中，，，，
，，
平面，平面，
，
又，，平面，
平面，又平面，
C.
由可知，平面，，平面，所以，，
又，
以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，
，，，
平面，是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则，即，解得
令可得，
，
由图形可知二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．
由可知，，
设与平面所成角为，
则，，
到平面的距离为． 

【解析】本题考查了线面垂直的判定，考察空间向量与二面角、线面角、空间距离的计算，属于中档题．
证明，，可得出平面，于是；
建立空间直角坐标系，求出平面和的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小；
得出与平面所成角的正弦值，再计算到平面的距离．
 

19.【答案】解：证明：在平面四边形中，，，
因此，折叠后，，
平面底面，平面底面，
平面，且，
平面，
又平面，
，
取中点，连结，
则，且，
在中，，
在中，得，
，
，
平面，
平面；
因为平面
所以平面平面
解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，

由可知，，，，
设平面的法向量为，
，，
因为，所以
取，得．
因为，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】本题考查线面垂直的判定，考查利用空间直角坐标系求线面所成角，考查空间思维能力，属于中档题．
利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明平面平面；
以为原点建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求直线与平面所成角即可．
 

20.【答案】解：直线的方程可化为：，则直线在轴上的截距为，
要使直线不经过第四象限，则，解得的取值范围是：．
依题意，直线在轴上的截距为：，在轴上的截距为，
，，
又且，，
故，当且仅当，即时取等号，
故的最小值为，此时直线的方程为． 

【解析】本题考查直线的一般式方程，考查直线的截距及三角形的面积，考查基本不等式的应用，属于中档题．
可求得直线的斜截式方程及直线在轴上的截距，依题意，从而可解得的取值范围；
依题意可求得，，，，利用基本不等式即可求得答案．
 

21.【答案】解：设的中点为，则，
由圆的性质得，故，因为，所以，
故线段的垂直平分线所在方程是，
设圆的标准方程为，其中，半径为，
由圆的性质，圆心在直线上，得，
故圆心，，
圆的标准方程为；
由可知，设为中点，则，得，
圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程，即，
由题意，解得，
故直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或． 

【解析】本题考查圆的方程的求法，直线与圆位置关系的应用，圆的弦长．
由已知求得的垂直平分线方程，进一步求得圆心坐标，再求出圆的半径，则圆的标准方程可求；
由已知求出圆心到直线的距离，然后分直线的斜率存在与不存在求解直线的方程．
 

22.【答案】解：依题意，有，，即．

又，．

，．

当时，．

．

又，

．

即，两点间的距离为．
故答案为：，，，两点间的距离为．

【解析】本题考查三角函数的图像与性质和两点间的距离公式，属于中档题．
由图中函数最大值可得到的值，由最高点与原点横坐标差得到四分之一个周期，利用三角函数的周期公式求出，将的横坐标代入求出的坐标，利用两点距离公式求出．