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重庆市潼南区六校2023—2024学年八年级上学期期中考试数学试题
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这是一份重庆市潼南区六校2023—2024学年八年级上学期期中考试数学试题，共23页。
A．5B．﹣5C．D．
2．（4分）下列说法中，不正确的是（ ）
A．全等三角形对应角相等
B．全等三角形对应边上的高相等
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
3．（4分）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．1，2，6B．2，2，4C．1，2，3D．2，3，4
4．（4分）下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝4．若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．（4分）估计+5的值应在（ ）
A．6和7之间B．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间
7．（4分）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14B．20C．23D．26
8．（4分）如图，∠1、∠2、∠3是五边形ABCDE的三个外角，边AE、CD的延长线相交于点F，如果∠F＝α，那么∠1+∠2+∠3的度数为（ ）
A．270°﹣αB．360°﹣αC．90°+αD．180°+α
9．（4分）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（ ）
①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（4分）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二.填空题（共8小题，每小题4分。共32分）
11．（4分）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．
12．（4分）起重机的吊臂中有三角形结构，这是利用了三角形的 ．
13．（4分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 ．
14．（4分）如图，AD＝AE，∠1＝∠2，请你添加一个条件 （只填一个即可），使△ABD≌△ACE．
15．（4分）如图，已知AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4cm，AB＝5cm，则△APB的面积为 cm2．
16．（4分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积等于 ．
17．（4分）若关于x的不等式组，有且只有3个整数解，且关于y的一元一次方程2y+6＝3a的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
18．（4分）如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“十佳数”．如：352，∵5＝3+2，∴352是“十佳数”．又如：234，∵3≠2+4，∴234不是“十佳数”．已知M是一个“十佳数”，则M的最大值为 ；交换M的百位数字和十位数字得到一个三位数N，在N的末位数字后添加数字1得到一个四位数P，在M的十位数字与个位数字之间添加M的百位数字得到一个四位数Q，若P﹣Q能被11整除，则满足以上条件的“十佳数”M的最小值为 ．
三.解答题（本小题共8小题，19题8分，20-26小题每小题8分，共78分）
19．（8分）（1）解方程组：；
（2）﹣12023﹣|．
20．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）尺规作图：在斜边AB上找一点D，使AD＝AC，作∠BAC的平分线，交BC于点E，连结DE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：△BDE是直角三角形．
证明：∵AE平分∠BAC，
∴ ＝ ，
在△ACE和△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE，
∵∠ACB＝90°，
∴ ＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE＝90°，△BDE是直角三角形．
21．（10分）重庆市2023年体育中考已经结束，现从某校初三年级随机抽取部分学生的成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，共分成4个等级，A：30≤x＜35，B：35≤x＜40，C：40≤x＜45，D：45≤x≤50），绘制了如下的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，m的值是 ；B对应的扇形圆心角的度数是 ；
（4）若该校初三年级共有2000名学生，估计此次测试成绩优秀（45≤x≤50）的学生共有多少人？
22．（10分）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，AE∥DF，EC∥BF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若AD＝8，BC＝2，求AC的长．
23．（10分）新能源汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭所喜爱，某汽车专卖店销售甲、乙两种型号的新能源汽车，某月的第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元．
（1）求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？
（2）某公司准备向该汽车专卖店购买甲、乙两种型号的新能源汽车共8辆，其购车费用不少于145万元，且不超过153万元，问有哪几种购车方案？从公司节约的角度考虑，你会选择哪种购车方案？
24．（10分）如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD平分∠BAC，点M为线段AD上一动点（不与A，D重合），MN⊥BC于N．
（1）若∠B＝38°，∠DMN＝10°，求∠C的度数；
（2）当点M在AD上移动时，直接写出∠B，∠C，∠DMN之间的数量关系．
25．（10分）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．
26．（10分）请完成下面的说明：
（1）如图（1）所示，△ABC的外角平分线交于点G，试说明∠BGC＝90°﹣∠A．
（2）如图（2）所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC＝90°+∠A．
（3）根据（1），（2）的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗？
2023-2024学年重庆市潼南区六校八年级（上）期中数学试卷
（参考答案）
一.选择题（共10小题，每题4分，共40分）
1．（4分）5的倒数是（ ）
A．5B．﹣5C．D．
【解答】解：由题意得，5的倒数是，
故选：C．
2．（4分）下列说法中，不正确的是（ ）
A．全等三角形对应角相等
B．全等三角形对应边上的高相等
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
【解答】解：A．全等三角形对应角相等，所以A选项不符合题意；
B．全等三角形对应边上的高相等，所以B选项不符合题意；
C．有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，所以C选项符合题意；
D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等，所以D选项不符合题意；
故选：C．
3．（4分）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．1，2，6B．2，2，4C．1，2，3D．2，3，4
【解答】解：A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+2＝4，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项错误；
D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；
故选：D．
4．（4分）下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解；A、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意；
B、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意；
C、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意；
D、图中BE是△ABC边AC边上的高，本选项符合题意；
故选：D．
5．（4分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝4．若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【解答】解：∵△ACD的周长为10，
∴AC+AD+CD＝10，
∵AC＝4，
∴AD+CD＝6，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵AB＝5，
∴△ABD的周长＝AB+AD+CD＝11，
故选：D．
6．（4分）估计+5的值应在（ ）
A．6和7之间B．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴7＜+5＜8，
即+5的值应在7和8之间，
故选：B．
7．（4分）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14B．20C．23D．26
【解答】解：第①个图案中有2个圆圈，
第②个图案中有2+3×1＝5个圆圈，
第③个图案中有2+3×2＝8个圆圈，
第④个图案中有2+3×3＝11个圆圈，
...，
则第⑦个图案中圆圈的个数为：2+3×6＝20，
故选：B．
8．（4分）如图，∠1、∠2、∠3是五边形ABCDE的三个外角，边AE、CD的延长线相交于点F，如果∠F＝α，那么∠1+∠2+∠3的度数为（ ）
A．270°﹣αB．360°﹣αC．90°+αD．180°+α
【解答】解：∵∠F＝α，
∴∠FDE+∠FED＝180°﹣α，
∵多边形的内角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠FDE+∠FED）＝360°﹣（180°﹣α）＝360°﹣180°+α＝180°+α，
故选：D．
9．（4分）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（ ）
①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：过P作PQ⊥AC于Q，
∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PQ，PQ＝PN，
∴PM＝PN，
∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确；
∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，
∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°，
在Rt△PMA和Rt△PQA中，
，
∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL），
∴∠MPA＝∠QPA，
同理Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴∠QPC＝∠NPC，
∵∠PMA＝∠PNC＝90°，
∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正确；
∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN，
又∵∠PCN＝∠ABC+∠CPB，
∴∠ABC+∠CAB＝2（∠ABC+∠CPB），
∴∠CAB＝2∠CPB，故③正确；
∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
10．（4分）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故说法①正确．
若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现﹣x，
显然无论怎么添加绝对值，都无法使x的符号为负号，故说法②正确．
当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y﹣z|﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7种情况；
有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．
故选：C．
二.填空题（共8小题，每小题4分。共32分）
11．（4分）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 10 ．
【解答】解：因为2+2＝4，
所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，
周长：4+4+2＝10，
答：它的周长是10，
故答案为：10
12．（4分）起重机的吊臂中有三角形结构，这是利用了三角形的 稳定性 ．
【解答】解：起重机的吊臂中有三角形结构，这是利用了三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
13．（4分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 720° ．
【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，
该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．
故答案为：720°．
14．（4分）如图，AD＝AE，∠1＝∠2，请你添加一个条件 AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C （只填一个即可），使△ABD≌△ACE．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，若添加AB＝AC，根据SAS可以判定△ABD≌△ACE．
在△ABD与△ACE中，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，若添加∠ADB＝∠E，根据ASA可以判定△ABD≌△ACE．
在△ABD与△ACE中，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，若添加∠B＝∠C，根据AAS可以判定△ABD≌△ACE．
综上所述，若添加AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C都可以判定△ABD≌△ACE．
故答案为：AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C．
15．（4分）如图，已知AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4cm，AB＝5cm，则△APB的面积为 5 cm2．
【解答】解：如图所示，过P作PG⊥AB于点G，
∵∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，EF⊥AD，
∴PF＝PG，
又∵AD∥BC，
∴PF⊥BC，
∴PG＝PF，
∴PG＝PE＝PF＝EF＝2（cm），
又∵AB＝5cm，
∴△APB的面积＝AB•PG＝×5×2＝5（cm2）．
故答案为：5．
16．（4分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积等于 2cm2 ．
【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，高相等；
∴S△BEF＝S△BEC，
D、E、分别是BC、AD的中点，同理得，
S△EBC＝S△ABC，
∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝8cm2，
∴S△BEF＝2cm2，
即阴影部分的面积为2cm2，
故答案为：2cm2．
17．（4分）若关于x的不等式组，有且只有3个整数解，且关于y的一元一次方程2y+6＝3a的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 18 ．
【解答】解：，
解不等式①，得：x≤3，
解不等式②，得：x＞，
∵关于x的不等式组，有且只有3个整数解，
∴该不等式组的三个整数解为3，2，1，
∴0≤＜1，
解得7.5≤a＜11，
由2y+6＝3a可得y＝，
∵关于y的一元一次方程2y+6＝3a的解是正整数，
∴a＝8或10，
∴所有满足条件的整数a的值之和为8+10＝18，
故答案为：18．
18．（4分）如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“十佳数”．如：352，∵5＝3+2，∴352是“十佳数”．又如：234，∵3≠2+4，∴234不是“十佳数”．已知M是一个“十佳数”，则M的最大值为 891 ；交换M的百位数字和十位数字得到一个三位数N，在N的末位数字后添加数字1得到一个四位数P，在M的十位数字与个位数字之间添加M的百位数字得到一个四位数Q，若P﹣Q能被11整除，则满足以上条件的“十佳数”M的最小值为 176 ．
【解答】解：设M的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，
则b＝a+c，
∵各个数位上的数字均不为0，
当“十佳数”，M取最大值时，所以百位数字应取最大值为8，十位数字最大为9，个位数字为1，
故答案为891；
∵交换M的百位数字和十位数字得到一个三位数N，
∴N的百位数字为b，十位数字为a，个位数字为c，
∵在N的末位数字后添加数字1得到一个四位数P，
∴P＝1000b+100a+10c+1，
∵M的十位数字与个位数字之间添加M的百位数字得到一个四位数Q，
∴Q＝1000a+100b+10a+c，
∴P﹣Q＝﹣910a+900b+9c+1，
∵b＝a+c，
∴P﹣Q＝﹣910a+900（a+c）+9c+1
＝﹣10a+909c+1，
＝11×（82c﹣a）+7c+a+1，
∵P﹣Q能被11整除，
∴7c+a+1能被11整除，
∵1≤a≤9，1≤c≤9，
∴9≤7c+a+1≤73，
∴7c+a+1＝11或7c+a+1＝22或或7c+a+1＝33或7c+a+1＝44或7c+a+1＝55或7c+a+1＝66，
当7c+a+1＝11时，a＝3，c＝1，则b＝a+c＝4，此时M＝341；
当7c+a+1＝22时，a＝7，c＝2，则b＝a+c＝9，此时M＝792；
当7c+a+1＝33时，a＝4，c＝4，则b＝a+c＝8，此时M＝484；
当7c+a+1＝44时，a＝1，c＝6，则b＝a+c＝7，此时M＝176；
当7c+a+1＝55时，a＝5，c＝7，则b＝a+c＝12（舍去）；
当7c+a+1＝66时，a＝2，c＝9，则b＝a+c＝11（舍去）；
a＝9，c＝8，则b＝a+c＝17（舍去）；
综上所述：M为：341；792；484；176；
满足以上条件的“十佳数”M的最小值为176，
故答案为：176．
三.解答题（本小题共8小题，19题8分，20-26小题每小题8分，共78分）
19．（8分）（1）解方程组：；
（2）﹣12023﹣|．
【解答】解：（1），
①×3+②，得11x＝27，
解得x＝，
把x＝代入①，得，
解得y＝，
故方程组的解为；
（2）﹣12023﹣|
＝﹣1﹣（2﹣）+2
＝﹣1﹣2++2
＝﹣1．
20．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）尺规作图：在斜边AB上找一点D，使AD＝AC，作∠BAC的平分线，交BC于点E，连结DE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：△BDE是直角三角形．
证明：∵AE平分∠BAC，
∴ ∠CAE ＝ ∠DAE ，
在△ACE和△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE，
∵∠ACB＝90°，
∴ ∠ADE ＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE＝90°，△BDE是直角三角形．
【解答】（1）解：如图所示．
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠DAE，
在△ACE和△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴△BDE是直角三角形．
故答案为：∠CAE；∠DAE；AC；AD；CAE；DAE；∠ADE．
21．（10分）重庆市2023年体育中考已经结束，现从某校初三年级随机抽取部分学生的成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，共分成4个等级，A：30≤x＜35，B：35≤x＜40，C：40≤x＜45，D：45≤x≤50），绘制了如下的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，m的值是 10 ；B对应的扇形圆心角的度数是 108° ；
（4）若该校初三年级共有2000名学生，估计此次测试成绩优秀（45≤x≤50）的学生共有多少人？
【解答】解：（1）20÷40%＝50（人），
即本次共调查了50名学生，
故答案为：50；
（2）C等级的人数为：50﹣10﹣15﹣20＝5（人），
补全条形统计图如图：
（3）C等级的人数所占的百分比为：，
∴m＝10，
B对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：10，108°；
（4）2000×40%＝800（人），
答：估计此次测试成绩优秀（45≤x≤50）的学生共有800人．
22．（10分）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，AE∥DF，EC∥BF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若AD＝8，BC＝2，求AC的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝BD，
∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵EC∥BF，
∴∠ECA＝∠FBD，
在△ACE与△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（ASA），
∴AE＝DF
（2）解：由（1）得△ACE≌△DBF，
∴AC＝DB，
又∵AD＝AC+DB﹣BC，AD＝8，BC＝2，
∴2AC﹣2＝8，
∴AC＝5．
23．（10分）新能源汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭所喜爱，某汽车专卖店销售甲、乙两种型号的新能源汽车，某月的第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元．
（1）求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？
（2）某公司准备向该汽车专卖店购买甲、乙两种型号的新能源汽车共8辆，其购车费用不少于145万元，且不超过153万元，问有哪几种购车方案？从公司节约的角度考虑，你会选择哪种购车方案？
【解答】解：（1）设每辆甲型车的售价为x万元，每辆乙型车的售价为y万元，
根据题意得：，
解得，
答：每辆甲型车的售价为20万元，每辆乙型车的售价为15万元；
（2）设购买甲种型号的新能源汽车m辆，则购买乙种型号的新能源汽车（8﹣m）辆，
∵购车费用不少于145万元，且不超过153万元，
∴145≤20m+15（8﹣m）≤153，
解得5≤m≤6.6，
∵m为整数，
∴m可取5或6，
∴有两种方案：
①购买甲种型号的新能源汽车5辆，购买乙种型号的新能源汽车3辆；
②购买甲种型号的新能源汽车6辆，则购买乙种型号的新能源汽车2辆；
当m＝5时，20m+15（8﹣m）＝20×5+15×（8﹣5）＝145，
当m＝6时，20m+15（8﹣m）＝20×6+15×（8﹣6）＝150，
∵145＜150，
∴从公司节约的角度考虑，选择购买甲种型号的新能源汽车5辆，购买乙种型号的新能源汽车3辆费用较少．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD平分∠BAC，点M为线段AD上一动点（不与A，D重合），MN⊥BC于N．
（1）若∠B＝38°，∠DMN＝10°，求∠C的度数；
（2）当点M在AD上移动时，直接写出∠B，∠C，∠DMN之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵∠MDN＝90°﹣∠DMN＝∠B+∠BAD，即38°+∠BAD＝80°，
∴∠BAD＝42°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2×42°＝84°．
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣84°﹣38°＝58°．
（2）∠C﹣∠B＝2∠DMN．
∵∠MDN＝90°﹣∠DMN＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝90°﹣∠DMN﹣∠B．
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2（90°﹣∠DMN﹣∠B）＝180°﹣2（∠DMN+∠B）．
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴180°﹣2（∠DMN+∠B）+∠B+∠C＝180°，
∴∠C﹣∠B＝2∠DMN．
25．（10分）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE＝∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE＝13，AF＝7，
∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∵DE+DF＝EF＝6，
∴DE＝3．
26．（10分）请完成下面的说明：
（1）如图（1）所示，△ABC的外角平分线交于点G，试说明∠BGC＝90°﹣∠A．
（2）如图（2）所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC＝90°+∠A．
（3）根据（1），（2）的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗？
【解答】解（1）
如图1，∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ACB，∠A+∠ABC+∠CBA＝180°，
∴∠EBC+∠FCB＝180°+∠A，
∵BG、CG分别平分∠EBC、∠FCB，
∴，
∴；
（2）∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，
∴，
∴，
即；
（3）∠BGC和∠BIC的关系是互补．
A．5B．﹣5C．D．
2．（4分）下列说法中，不正确的是（ ）
A．全等三角形对应角相等
B．全等三角形对应边上的高相等
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
3．（4分）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．1，2，6B．2，2，4C．1，2，3D．2，3，4
4．（4分）下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝4．若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．（4分）估计+5的值应在（ ）
A．6和7之间B．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间
7．（4分）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14B．20C．23D．26
8．（4分）如图，∠1、∠2、∠3是五边形ABCDE的三个外角，边AE、CD的延长线相交于点F，如果∠F＝α，那么∠1+∠2+∠3的度数为（ ）
A．270°﹣αB．360°﹣αC．90°+αD．180°+α
9．（4分）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（ ）
①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（4分）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二.填空题（共8小题，每小题4分。共32分）
11．（4分）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．
12．（4分）起重机的吊臂中有三角形结构，这是利用了三角形的 ．
13．（4分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 ．
14．（4分）如图，AD＝AE，∠1＝∠2，请你添加一个条件 （只填一个即可），使△ABD≌△ACE．
15．（4分）如图，已知AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4cm，AB＝5cm，则△APB的面积为 cm2．
16．（4分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积等于 ．
17．（4分）若关于x的不等式组，有且只有3个整数解，且关于y的一元一次方程2y+6＝3a的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
18．（4分）如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“十佳数”．如：352，∵5＝3+2，∴352是“十佳数”．又如：234，∵3≠2+4，∴234不是“十佳数”．已知M是一个“十佳数”，则M的最大值为 ；交换M的百位数字和十位数字得到一个三位数N，在N的末位数字后添加数字1得到一个四位数P，在M的十位数字与个位数字之间添加M的百位数字得到一个四位数Q，若P﹣Q能被11整除，则满足以上条件的“十佳数”M的最小值为 ．
三.解答题（本小题共8小题，19题8分，20-26小题每小题8分，共78分）
19．（8分）（1）解方程组：；
（2）﹣12023﹣|．
20．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）尺规作图：在斜边AB上找一点D，使AD＝AC，作∠BAC的平分线，交BC于点E，连结DE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：△BDE是直角三角形．
证明：∵AE平分∠BAC，
∴ ＝ ，
在△ACE和△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE，
∵∠ACB＝90°，
∴ ＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE＝90°，△BDE是直角三角形．
21．（10分）重庆市2023年体育中考已经结束，现从某校初三年级随机抽取部分学生的成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，共分成4个等级，A：30≤x＜35，B：35≤x＜40，C：40≤x＜45，D：45≤x≤50），绘制了如下的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，m的值是 ；B对应的扇形圆心角的度数是 ；
（4）若该校初三年级共有2000名学生，估计此次测试成绩优秀（45≤x≤50）的学生共有多少人？
22．（10分）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，AE∥DF，EC∥BF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若AD＝8，BC＝2，求AC的长．
23．（10分）新能源汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭所喜爱，某汽车专卖店销售甲、乙两种型号的新能源汽车，某月的第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元．
（1）求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？
（2）某公司准备向该汽车专卖店购买甲、乙两种型号的新能源汽车共8辆，其购车费用不少于145万元，且不超过153万元，问有哪几种购车方案？从公司节约的角度考虑，你会选择哪种购车方案？
24．（10分）如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD平分∠BAC，点M为线段AD上一动点（不与A，D重合），MN⊥BC于N．
（1）若∠B＝38°，∠DMN＝10°，求∠C的度数；
（2）当点M在AD上移动时，直接写出∠B，∠C，∠DMN之间的数量关系．
25．（10分）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．
26．（10分）请完成下面的说明：
（1）如图（1）所示，△ABC的外角平分线交于点G，试说明∠BGC＝90°﹣∠A．
（2）如图（2）所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC＝90°+∠A．
（3）根据（1），（2）的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗？
2023-2024学年重庆市潼南区六校八年级（上）期中数学试卷
（参考答案）
一.选择题（共10小题，每题4分，共40分）
1．（4分）5的倒数是（ ）
A．5B．﹣5C．D．
【解答】解：由题意得，5的倒数是，
故选：C．
2．（4分）下列说法中，不正确的是（ ）
A．全等三角形对应角相等
B．全等三角形对应边上的高相等
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
【解答】解：A．全等三角形对应角相等，所以A选项不符合题意；
B．全等三角形对应边上的高相等，所以B选项不符合题意；
C．有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，所以C选项符合题意；
D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等，所以D选项不符合题意；
故选：C．
3．（4分）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．1，2，6B．2，2，4C．1，2，3D．2，3，4
【解答】解：A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+2＝4，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项错误；
D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；
故选：D．
4．（4分）下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解；A、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意；
B、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意；
C、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意；
D、图中BE是△ABC边AC边上的高，本选项符合题意；
故选：D．
5．（4分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝4．若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【解答】解：∵△ACD的周长为10，
∴AC+AD+CD＝10，
∵AC＝4，
∴AD+CD＝6，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵AB＝5，
∴△ABD的周长＝AB+AD+CD＝11，
故选：D．
6．（4分）估计+5的值应在（ ）
A．6和7之间B．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴7＜+5＜8，
即+5的值应在7和8之间，
故选：B．
7．（4分）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14B．20C．23D．26
【解答】解：第①个图案中有2个圆圈，
第②个图案中有2+3×1＝5个圆圈，
第③个图案中有2+3×2＝8个圆圈，
第④个图案中有2+3×3＝11个圆圈，
...，
则第⑦个图案中圆圈的个数为：2+3×6＝20，
故选：B．
8．（4分）如图，∠1、∠2、∠3是五边形ABCDE的三个外角，边AE、CD的延长线相交于点F，如果∠F＝α，那么∠1+∠2+∠3的度数为（ ）
A．270°﹣αB．360°﹣αC．90°+αD．180°+α
【解答】解：∵∠F＝α，
∴∠FDE+∠FED＝180°﹣α，
∵多边形的内角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠FDE+∠FED）＝360°﹣（180°﹣α）＝360°﹣180°+α＝180°+α，
故选：D．
9．（4分）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（ ）
①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：过P作PQ⊥AC于Q，
∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PQ，PQ＝PN，
∴PM＝PN，
∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确；
∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，
∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°，
在Rt△PMA和Rt△PQA中，
，
∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL），
∴∠MPA＝∠QPA，
同理Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴∠QPC＝∠NPC，
∵∠PMA＝∠PNC＝90°，
∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正确；
∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN，
又∵∠PCN＝∠ABC+∠CPB，
∴∠ABC+∠CAB＝2（∠ABC+∠CPB），
∴∠CAB＝2∠CPB，故③正确；
∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
10．（4分）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故说法①正确．
若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现﹣x，
显然无论怎么添加绝对值，都无法使x的符号为负号，故说法②正确．
当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y﹣z|﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7种情况；
有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．
故选：C．
二.填空题（共8小题，每小题4分。共32分）
11．（4分）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 10 ．
【解答】解：因为2+2＝4，
所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，
周长：4+4+2＝10，
答：它的周长是10，
故答案为：10
12．（4分）起重机的吊臂中有三角形结构，这是利用了三角形的 稳定性 ．
【解答】解：起重机的吊臂中有三角形结构，这是利用了三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
13．（4分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 720° ．
【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，
该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．
故答案为：720°．
14．（4分）如图，AD＝AE，∠1＝∠2，请你添加一个条件 AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C （只填一个即可），使△ABD≌△ACE．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，若添加AB＝AC，根据SAS可以判定△ABD≌△ACE．
在△ABD与△ACE中，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，若添加∠ADB＝∠E，根据ASA可以判定△ABD≌△ACE．
在△ABD与△ACE中，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，若添加∠B＝∠C，根据AAS可以判定△ABD≌△ACE．
综上所述，若添加AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C都可以判定△ABD≌△ACE．
故答案为：AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C．
15．（4分）如图，已知AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4cm，AB＝5cm，则△APB的面积为 5 cm2．
【解答】解：如图所示，过P作PG⊥AB于点G，
∵∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，EF⊥AD，
∴PF＝PG，
又∵AD∥BC，
∴PF⊥BC，
∴PG＝PF，
∴PG＝PE＝PF＝EF＝2（cm），
又∵AB＝5cm，
∴△APB的面积＝AB•PG＝×5×2＝5（cm2）．
故答案为：5．
16．（4分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积等于 2cm2 ．
【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，高相等；
∴S△BEF＝S△BEC，
D、E、分别是BC、AD的中点，同理得，
S△EBC＝S△ABC，
∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝8cm2，
∴S△BEF＝2cm2，
即阴影部分的面积为2cm2，
故答案为：2cm2．
17．（4分）若关于x的不等式组，有且只有3个整数解，且关于y的一元一次方程2y+6＝3a的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 18 ．
【解答】解：，
解不等式①，得：x≤3，
解不等式②，得：x＞，
∵关于x的不等式组，有且只有3个整数解，
∴该不等式组的三个整数解为3，2，1，
∴0≤＜1，
解得7.5≤a＜11，
由2y+6＝3a可得y＝，
∵关于y的一元一次方程2y+6＝3a的解是正整数，
∴a＝8或10，
∴所有满足条件的整数a的值之和为8+10＝18，
故答案为：18．
18．（4分）如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“十佳数”．如：352，∵5＝3+2，∴352是“十佳数”．又如：234，∵3≠2+4，∴234不是“十佳数”．已知M是一个“十佳数”，则M的最大值为 891 ；交换M的百位数字和十位数字得到一个三位数N，在N的末位数字后添加数字1得到一个四位数P，在M的十位数字与个位数字之间添加M的百位数字得到一个四位数Q，若P﹣Q能被11整除，则满足以上条件的“十佳数”M的最小值为 176 ．
【解答】解：设M的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，
则b＝a+c，
∵各个数位上的数字均不为0，
当“十佳数”，M取最大值时，所以百位数字应取最大值为8，十位数字最大为9，个位数字为1，
故答案为891；
∵交换M的百位数字和十位数字得到一个三位数N，
∴N的百位数字为b，十位数字为a，个位数字为c，
∵在N的末位数字后添加数字1得到一个四位数P，
∴P＝1000b+100a+10c+1，
∵M的十位数字与个位数字之间添加M的百位数字得到一个四位数Q，
∴Q＝1000a+100b+10a+c，
∴P﹣Q＝﹣910a+900b+9c+1，
∵b＝a+c，
∴P﹣Q＝﹣910a+900（a+c）+9c+1
＝﹣10a+909c+1，
＝11×（82c﹣a）+7c+a+1，
∵P﹣Q能被11整除，
∴7c+a+1能被11整除，
∵1≤a≤9，1≤c≤9，
∴9≤7c+a+1≤73，
∴7c+a+1＝11或7c+a+1＝22或或7c+a+1＝33或7c+a+1＝44或7c+a+1＝55或7c+a+1＝66，
当7c+a+1＝11时，a＝3，c＝1，则b＝a+c＝4，此时M＝341；
当7c+a+1＝22时，a＝7，c＝2，则b＝a+c＝9，此时M＝792；
当7c+a+1＝33时，a＝4，c＝4，则b＝a+c＝8，此时M＝484；
当7c+a+1＝44时，a＝1，c＝6，则b＝a+c＝7，此时M＝176；
当7c+a+1＝55时，a＝5，c＝7，则b＝a+c＝12（舍去）；
当7c+a+1＝66时，a＝2，c＝9，则b＝a+c＝11（舍去）；
a＝9，c＝8，则b＝a+c＝17（舍去）；
综上所述：M为：341；792；484；176；
满足以上条件的“十佳数”M的最小值为176，
故答案为：176．
三.解答题（本小题共8小题，19题8分，20-26小题每小题8分，共78分）
19．（8分）（1）解方程组：；
（2）﹣12023﹣|．
【解答】解：（1），
①×3+②，得11x＝27，
解得x＝，
把x＝代入①，得，
解得y＝，
故方程组的解为；
（2）﹣12023﹣|
＝﹣1﹣（2﹣）+2
＝﹣1﹣2++2
＝﹣1．
20．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）尺规作图：在斜边AB上找一点D，使AD＝AC，作∠BAC的平分线，交BC于点E，连结DE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：△BDE是直角三角形．
证明：∵AE平分∠BAC，
∴ ∠CAE ＝ ∠DAE ，
在△ACE和△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE，
∵∠ACB＝90°，
∴ ∠ADE ＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE＝90°，△BDE是直角三角形．
【解答】（1）解：如图所示．
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠DAE，
在△ACE和△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴△BDE是直角三角形．
故答案为：∠CAE；∠DAE；AC；AD；CAE；DAE；∠ADE．
21．（10分）重庆市2023年体育中考已经结束，现从某校初三年级随机抽取部分学生的成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，共分成4个等级，A：30≤x＜35，B：35≤x＜40，C：40≤x＜45，D：45≤x≤50），绘制了如下的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，m的值是 10 ；B对应的扇形圆心角的度数是 108° ；
（4）若该校初三年级共有2000名学生，估计此次测试成绩优秀（45≤x≤50）的学生共有多少人？
【解答】解：（1）20÷40%＝50（人），
即本次共调查了50名学生，
故答案为：50；
（2）C等级的人数为：50﹣10﹣15﹣20＝5（人），
补全条形统计图如图：
（3）C等级的人数所占的百分比为：，
∴m＝10，
B对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：10，108°；
（4）2000×40%＝800（人），
答：估计此次测试成绩优秀（45≤x≤50）的学生共有800人．
22．（10分）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，AE∥DF，EC∥BF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若AD＝8，BC＝2，求AC的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝BD，
∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵EC∥BF，
∴∠ECA＝∠FBD，
在△ACE与△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（ASA），
∴AE＝DF
（2）解：由（1）得△ACE≌△DBF，
∴AC＝DB，
又∵AD＝AC+DB﹣BC，AD＝8，BC＝2，
∴2AC﹣2＝8，
∴AC＝5．
23．（10分）新能源汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭所喜爱，某汽车专卖店销售甲、乙两种型号的新能源汽车，某月的第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元．
（1）求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？
（2）某公司准备向该汽车专卖店购买甲、乙两种型号的新能源汽车共8辆，其购车费用不少于145万元，且不超过153万元，问有哪几种购车方案？从公司节约的角度考虑，你会选择哪种购车方案？
【解答】解：（1）设每辆甲型车的售价为x万元，每辆乙型车的售价为y万元，
根据题意得：，
解得，
答：每辆甲型车的售价为20万元，每辆乙型车的售价为15万元；
（2）设购买甲种型号的新能源汽车m辆，则购买乙种型号的新能源汽车（8﹣m）辆，
∵购车费用不少于145万元，且不超过153万元，
∴145≤20m+15（8﹣m）≤153，
解得5≤m≤6.6，
∵m为整数，
∴m可取5或6，
∴有两种方案：
①购买甲种型号的新能源汽车5辆，购买乙种型号的新能源汽车3辆；
②购买甲种型号的新能源汽车6辆，则购买乙种型号的新能源汽车2辆；
当m＝5时，20m+15（8﹣m）＝20×5+15×（8﹣5）＝145，
当m＝6时，20m+15（8﹣m）＝20×6+15×（8﹣6）＝150，
∵145＜150，
∴从公司节约的角度考虑，选择购买甲种型号的新能源汽车5辆，购买乙种型号的新能源汽车3辆费用较少．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD平分∠BAC，点M为线段AD上一动点（不与A，D重合），MN⊥BC于N．
（1）若∠B＝38°，∠DMN＝10°，求∠C的度数；
（2）当点M在AD上移动时，直接写出∠B，∠C，∠DMN之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵∠MDN＝90°﹣∠DMN＝∠B+∠BAD，即38°+∠BAD＝80°，
∴∠BAD＝42°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2×42°＝84°．
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣84°﹣38°＝58°．
（2）∠C﹣∠B＝2∠DMN．
∵∠MDN＝90°﹣∠DMN＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝90°﹣∠DMN﹣∠B．
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2（90°﹣∠DMN﹣∠B）＝180°﹣2（∠DMN+∠B）．
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴180°﹣2（∠DMN+∠B）+∠B+∠C＝180°，
∴∠C﹣∠B＝2∠DMN．
25．（10分）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE＝∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE＝13，AF＝7，
∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∵DE+DF＝EF＝6，
∴DE＝3．
26．（10分）请完成下面的说明：
（1）如图（1）所示，△ABC的外角平分线交于点G，试说明∠BGC＝90°﹣∠A．
（2）如图（2）所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC＝90°+∠A．
（3）根据（1），（2）的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗？
【解答】解（1）
如图1，∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ACB，∠A+∠ABC+∠CBA＝180°，
∴∠EBC+∠FCB＝180°+∠A，
∵BG、CG分别平分∠EBC、∠FCB，
∴，
∴；
（2）∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，
∴，
∴，
即；
（3）∠BGC和∠BIC的关系是互补．
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