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吉林省松原市宁江区三校2023-2024学年八年级上学期期中教学质量检测数学试卷
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这是一份吉林省松原市宁江区三校2023-2024学年八年级上学期期中教学质量检测数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．1cmB．2cmC．13cmD．14cm
2．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（ ）．
A．12B．15C．12或15D．9
3．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角∠α的度数是（ ）
A．45°B．60°C．70°D．75°
5．如图，在用尺规作图得到 △DBC≌△ABC过程中．运用的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
6．如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（-2，5），则线段DE的长为（ ）
A．4B．6C．6.5D．7
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．点M（-1，3）关于x轴对称的点N的坐标是
8．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆"，这样做是利用三角形的
9．在△ABC中，若∠A=∠B-∠C，则△ABC是 三角形（填"锐角”“直角"“钝角"）．
10．如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件 ，使得△ABD≌△ACD．（添一个即可）
11．将正六边形和正方形按照如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上．则∠BOC的度数是 ．
12．如图，把两根钢条的中点连在一起。可以做成一个测量工件内槽的工具（卡钳）．在图中，若测量得A'B'=20cm．则工件内槽宽AB= cm
13．如图，在△ABC中．∠ABC的角平分线BD交AC于点E．DC⊥BC，若∠ABC=50° ，则∠D的度数是
14．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若AC=6．则AD的长为
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．一个多边形的内角和比它外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
16．用一条长20cm的细绳围成一个等腰三角形，若一腰长是底边长的2倍，求腰长．
17．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，∠BAC的平分线AD交BC于点D．求∠ADB的度数．
18．如图，在△ECB中，∠CEB=∠B，延长BE至点A，过点A作AD∥CE，∠A=60°，连接CD．求证：△ECB是等边三角形．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一．起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙．如图2．伞骨BD=CD，AB=AC，试向：当伞圈D沿着伞柄AP滑动时，伞柄AP是否始终平分∠BAC？请说明你的理由．
20．图①、图②均为4×4的正方形网格。每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1.在图①图②中按下列要求各画一个三角形.
要求：
（1）三角形的三个顶点都在格点上。
（2）与△ABC全等，且位置不同.
21．如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE=10m，BF=3m，则FC的长度为 m．
22．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点C在DE上．
（1）求证：∠BDA=∠E．
（2）若∠BDA=35°，则∠BDE= °
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的角平分线．以点A为圆心，AD长为半径面弧，与AB、AC分别交于点E、F，连接DE、DF．
（1）求证：△ADE≌△ADF ；
（2）若∠BAC=80°．求∠BDE的度数．
24．如图，在四边形ABCD中，∠BCD和∠ADC的平分线交于点E．
（1）若∠A=42°．∠B=58°，则∠E= °
（2）若∠A+∠B=110°．则∠E= °
（3）请你探究∠A，∠B，∠E之向的数量关系，并说明理由．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．数学兴趣小组在活动时．老师提出了这样一个问题：如图1．在△ABC中，AB=6，AC=8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取优范围．
（1）[探究小明在组内经过合作交流．得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB"的推理过程
求证：△ADC≌△EDB
证明：延长AD到点E，使DE=AD
在△ADC和△EDB中
AD=ED（已作），
∠ADC=∠EDB（ ）
CD=BD（中点定义），
∴△ADC≌△EDB（ ）．
（2）探究得出AD的取值范围是 ； （直接写出结果即可）
（3）[感悟]解题时．条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求征的结论集合到同一个三角形中．
如图2，△ABC中，∠B=90°，AB=2．AD是△ABC的中线，CE⊥BC．CE=4．且∠ADE=90°，求AE的长．
26．如图1，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC=90°．∠B=30°，BC=24cm，沿ED折叠纸片，使点B与点A重合．得到四边形ADEC．
（1）∠ADE= °
（2）求DE的长；
（3）如图2．动点P从点D出发，以2cm/s的速度沿D→E→C方向运动，动点Q从点E出发．以同样的速度沿E→C方向运动，已知P、Q两点同时出发．当点Q到达点C时．P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为ts．连接AP．AQ．当t为何值时，AP=AQ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设以6cm与8cm为边长的三角形的第三边长为xcm，
由题意，得8-6＜x＜8+6，
即2＜x＜14，
∴A、B、D三个选项错误，不符合题意，只有C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】设以6cm与8cm为边长的三角形的第三边长为xcm，根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可求出x的取值范围，从而即可一一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形有两边是相等，且两边之和大于第三边
第一种情况：腰为3，三角形三边为3，3，6，3+3=6不符合三边关系不能构成三角形，排除此情况；
第二种情况：腰为6，三角形三边为3，6，6， 3+6>6符合三边关系，所以周长为3+6+6=15.
故答案为：B.
【分析】分类讨论等腰三角形，且三边符合两边之和大于第三边即可.
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据直角三角板∠1=60°，∠3=45°，∠BAC=90°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°﹣45°=45°，
∴∠α=180°﹣45°﹣60°=75°，
故答案为：D．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠α的值.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：根据题意可得：∠ABC=∠DBC，∠ACB=∠DCB，
在△DBC≌△ABC中，
∠ABC=∠DBCBC=BC∠ACB=∠DCB，
∴△DBC≌△ABC（ASA），
故答案为：B.
【分析】根据题意可得∠ABC=∠DBC，∠ACB=∠DCB，再结合BC=BC，用“ASA”证出三角形全等即可.
6．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵A（-2，5），AD⊥x轴，
∴AD=5，OD=2，
∵△ABO为等腰直角三角形，
∴OA=BO，∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠DAO=∠BOE，
在△ADO和△OEB中，
∠DAO=∠BOE∠ADO=∠OEBOA=BO，
∴△ADO≌△OEB（AAS），
∴AD=OE=5，OD=BE=2，
∴DE=OD+OE=5+2=7.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得AD=5，OD=2，由等腰直角三角形的性质可得OA=BO，∠AOB=90°，根据同角的余角相等可得∠DAO=∠BOE，证明△ADO≌△OEB，得到AD=OE=5，OD=BE=2，然后根据DE=OD+OE进行计算.
7．【答案】(-1，-3)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点M的坐标为（-1，3），
∴点M关于x轴对称的点N的坐标是（-1，-3），
故答案为：（-1，-3）.
【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征：纵坐标变为相反数，横坐标不变可得答案.
8．【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：根据三角形的稳定性可得答案，
故答案为：稳定性.
【分析】利用三角形的稳定性分析求解即可.
9．【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠A=∠B-∠C，
∴（∠B-∠C）+∠B+∠C=180°，
∴2∠B=180°，
∴∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形且∠B为直角，
故答案为：直角.
【分析】利用三角形的内角和及∠A=∠B-∠C，求出∠B=90°，即可得到答案.
10．【答案】AB=AC（不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加AB=AC，
∵在△ABD和△ACD中，
AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为AB=AC．
【分析】添加合适的条件，结合全等三角形的判定定理，证明得到答案即可。
11．【答案】30°
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正六边形的一个外角∠CBO=360°÷6=60°，正方形的一个外角∠OCB=360°÷4=90°，
∴在△BCO中，∠BOC=180°-∠CBO-∠OCB=180°-60°-90°=30°，
故答案为：30°.
【分析】先利用正多边形的性质求出∠CBO和∠OCB的度数，再利用三角形的内角和求出∠BOC的度数即可.
12．【答案】20
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：根据题意可得：AO=A'O，BO=B'O，∠AOB=∠A'OB'，
在△AOB和△A'OB'中，
AO=A'O∠AOB=∠A'OB'BO=B'O，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
∴AB=A'B'=20，
故答案为：20.
【分析】先利用“SAS”证出△AOB≌△A'OB'，再利用全等三角形的性质可得AB=A'B'=20.
13．【答案】65°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50° ，∠ABC的角平分线BD交AC于点E，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=25°，
∵DC⊥BC，
∴∠BCD=90°，
在△BCD中，
∠D=180°-∠CBD-∠BCD=180°-25°-90°=65°，
故答案为：65°.
【分析】先利用角平分线的定义求出∠ABD=∠CBD=12∠ABC=25°，再利用三角形的内角和求出∠D=180°-∠CBD-∠BCD=180°-25°-90°=65°即可.
14．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°，
在△ABC中，∠CBD=180°-∠A-∠C-∠ABD=30°，
∴BD=2CD，
∴AD=2CD，
∵AC=AD+CD=2CD+CD=3CD=6，
∴CD=2，
∴AD=2×2=4，
故答案为：4.
【分析】先利用三角形的内角和求出∠CBD=180°-∠A-∠C-∠ABD=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质及等量代换可得AD=2CD，再结合AC=AD+CD=2CD+CD=3CD=6，求出CD的长，再求出AD的长即可.
15．【答案】解：设这个多边形的边数为n． 根据题意，得(n-2)180°=3×360°-180°． 解得n=7． 答：这个多边形的边数是7．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
16．【答案】解：设底长为xcm．则腰边长为2xcm，
根据题意得：x+2x+2x=20．
解得x=4，
当x=4时，2x=8，
答：腰长为8cm．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】设底长为xcm，则腰边长为2xcm，利用三角形的周长列出方程x+2x+2x=20，求出x的值，再求出腰长即可.
17．【答案】解：∵∠B=30° ．∠C=50°。
∴∠BAC= 180° -∠B- ∠C=100°
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=12∠BAC=50°。
∴∠ADB=∠DAC+∠C=100°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】先利用三角形的内角和求出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义求出 ∠DAC=12∠BAC=50°，再利用三角形外角的性质求出∠ADB=∠DAC+∠C=100°即可.
18．【答案】证明：∵AD∥CE，∠A=60°
∴∠CEB=∠A=60°．
∵∠CEB=∠B．
∴CE=CB．
∴△CEB是等腰三角形，
又∵∠CEB=60°．
∴△CEB是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】先证出△CEB是等腰三角形，再结合∠CEB=60°，可证出△CEB是等边三角形．
19．【答案】解：结论：伞柄AP始终平分∠BAC，
理由如下：
在△MBD和△MCD中，AB=ACAD=ADBD=CD
∴△BDA≌△ACD (SSS)；
∴∠BMD=∠CAD
即AP平分∠BAC．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】先利用“SSS”证出△BDA≌△ACD，可得∠BMD=∠CAD，即可得到AP平分∠BAC．
20．【答案】（1）解：如图①△DCB即为所求：
（2）解：如图②，△DEP即为所求(答案不唯一)
【知识点】三角形全等的判定；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法作出三角形即可；
（2）利用全等三角形的判定方法作出三角形即可.
21．【答案】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
∠ABC=∠DEFAB=DE∠A=∠D ，
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）4
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BF=EC，
∵BE=10m，BF=3m，
∴FC=10-3-3=4m．
故答案为：4．
【分析】（1）先求出 ∠ABC=∠DEF， 再利用ASA证明求解即可；
（2）先求出BF+FC=EC+FC，再求出BF=EC，最后计算求解即可。
22．【答案】（1）证明： ∵∠BC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE- ∠DMC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
∴∠BDA=∠E．
（2）70
【知识点】角的运算；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（2）∵∠BDA=35°，
∴∠BDA=∠E=35°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠E=35°，
∴∠BDE=∠BDA+∠ADE=35°+35°=70°，
故答案为：70°
【分析】（1）先利用角的运算求出∠BAD=∠CAE，再利用“SAS”证出△ABD≌△ACE，即可得到∠BDA=∠E；
（2）利用等边对等角的性质可得∠ADE=∠E=35°，再利用角的运算求出∠BDE=∠BDA+∠ADE=35°+35°=70°即可.
23．【答案】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分钱，∠BAD=∠CAD．
由作图可知： AE=AF
在△ADE和△ADF中AE=AF∠BAD=∠CADAD=AD
∴△ADE≌△ADF (ASA)
（2）解：∵∠BAD=80°，AD 为△ABC的平分线，∴∠EAD=40°
由作图可知：AE=AD，∴∠ADE=70°．
∵AB=AC，AD为△ABC的角平分线，∴AD⊥ BC，
∴∠BDE=20°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用“ASA”证出 △ADE≌△ADF 即可；
（2）先证出AD为△ABC的角平分线，再结合AD⊥BC，可得∠ADB=90°，最后利用角的运算求出∠BDE=20°即可．
24．【答案】（1）50
（2）55
（3）解：结论：∠A+∠B=2∠E．
理由如下：
∵DE 平分∠ADC， CE平分∠BCD，
∴∠ADC=2∠CDE，∠BCD =2∠ECD．
∵∠A+∠B+∠ADC+∠BCD=360°，
∴∠A+∠B+2 (∠EDC+∠ECD) =360°，
∴∠A+∠B+2 (180 -∠E) =360°
∴∠A+∠B=2∠E ．
【知识点】多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=42°，∠B=58°，
∴∠ADC+∠BCD=360°-（∠A+∠B）=360°-（42°+58°）=260°，
∵∠BCD和∠ADC的平分线交于点E，
∴∠CDE=12∠ADC，∠DCE=12∠BCD，
∴∠CDE+∠DCE=12∠ADC+12∠BCD=12（∠ADC+∠BCD）=130°，
在△DCE中，∠E=180°-（∠CDE+∠DCE）=180°-130°=50°，
故答案为：50°；
（2）∵∠A+∠B=110°，
∴∠ADC+∠BCD=360°-（∠A+∠B）=360°-110°=250°，
∵∠BCD和∠ADC的平分线交于点E，
∴∠CDE=12∠ADC，∠DCE=12∠BCD，
∴∠CDE+∠DCE=12∠ADC+12∠BCD=12（∠ADC+∠BCD）=125°，
在△DCE中，∠E=180°-（∠CDE+∠DCE）=180°-125°=55°，
故答案为：55°；
【分析】（1）利用四边形的内角和求出∠ADC+∠BCD，再利用角平分线的定义求出∠CDE+∠DCE=12∠ADC+12∠BCD=12（∠ADC+∠BCD）=130°，最后利用三角形的内角和求出∠E=180°-（∠CDE+∠DCE）=180°-130°=50°即可；
（2）方法同（1），先求出∠ADC+∠BCD，再利用角平分线的定义及三角形的内角和求出∠E的度数即可；
（3）先求出∠ADC=2∠CDE，∠BCD =2∠ECD，再结合∠A+∠B+∠ADC+∠BCD=360°，求出∠A+∠B+2 (180 -∠E) =360°，即可得到∠A+∠B=2∠E.
25．【答案】（1）证明：延长AD到点E，使DE=AD
在△ADC和△EDB中
AD=ED（已作），
∠ADC=∠EDB（对顶角相等）
CD=BD（中点定义），
∴△ADC≌△EDB（SAS）．
（2）1< AD<7
（3）解：延长AD交EC的延长线于F，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ABD=∠FCD=90"，
在AABD和△PCB中，∠ABD=∠FCDBD=CD∠ADB=∠FDC
∴△ABD≌△FCB (ASA)，
∴CF=AB=2，AD= DF，
∵∠ADE=90° ，
∴AE= EF，
∵EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6
∴AE=6．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（2）∵△ADC≌△EDB，
∴AC=EB=8，
在△ABE中，BE-AB∴8-6∴2∵AD=DE=12AE，
∴1故答案为：1【分析】（1）利用“SAS”证明△ADC≌△EDB即可；
（2）利用全等三角形的性质可得AC=EB=8，再利用三角形三边的关系可得2（3）延长AD交EC的延长线于F，先利用“ASA”证出△ABD≌△FCB，可得CF=AB=2，AD= DF，可得AE=EF，再结合EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6，可得AE=6.
26．【答案】（1）90
（2）解：由折叠得：
∠B=∠DAE =30°，∠ADE=∠BDE=90°，∠AED=∠BED， BE=AE．
∴∠AED=∠BED =60°，∴∠AEC=60° ，
∵∠BAC=90° ，∠B=30° ，∠C=60° ，
∴△AEC是等边三角形，
∴AE=BE=EC=12．
∴DE=12BE=6．
（3）解：①当点P在DE上运动，即0≤t≤3时，
∵∠AEC=∠AED =60°，AE =AE．
∴当PE =EQ时，△APE≌△AQE，此时有 AP=AQ．
∴6-2t=2t．
∴t=1.5．
②当点P在EC上运动，即3∵∠AEC=∠ACE=60°，AE=AC．
∴当PE=CQ时，△AEP≌△ACQ，此时有AP=AQ．
∴2t-6=12-2t．
∴t=4.5．
即t=1.5或t=4.5时，AP=AQ．
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵沿ED折叠纸片，使点B与点A重合，
∴∠ADE=∠BDE，
∵∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠ADE=12×180°=90°，
故答案为：90°；
【分析】（1）利用折叠的性质可得∠ADE=12×180°=90°；
（2）先证出△AEC是等边三角形，可得AE=BE=EC=12，再求出DE=12BE=6即可；
（3）分类讨论：①当点P在DE上运动，即0≤t≤3时；②当点P在EC上运动，即3
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．1cmB．2cmC．13cmD．14cm
2．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（ ）．
A．12B．15C．12或15D．9
3．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角∠α的度数是（ ）
A．45°B．60°C．70°D．75°
5．如图，在用尺规作图得到 △DBC≌△ABC过程中．运用的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
6．如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（-2，5），则线段DE的长为（ ）
A．4B．6C．6.5D．7
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．点M（-1，3）关于x轴对称的点N的坐标是
8．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆"，这样做是利用三角形的
9．在△ABC中，若∠A=∠B-∠C，则△ABC是 三角形（填"锐角”“直角"“钝角"）．
10．如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件 ，使得△ABD≌△ACD．（添一个即可）
11．将正六边形和正方形按照如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上．则∠BOC的度数是 ．
12．如图，把两根钢条的中点连在一起。可以做成一个测量工件内槽的工具（卡钳）．在图中，若测量得A'B'=20cm．则工件内槽宽AB= cm
13．如图，在△ABC中．∠ABC的角平分线BD交AC于点E．DC⊥BC，若∠ABC=50° ，则∠D的度数是
14．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若AC=6．则AD的长为
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．一个多边形的内角和比它外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
16．用一条长20cm的细绳围成一个等腰三角形，若一腰长是底边长的2倍，求腰长．
17．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，∠BAC的平分线AD交BC于点D．求∠ADB的度数．
18．如图，在△ECB中，∠CEB=∠B，延长BE至点A，过点A作AD∥CE，∠A=60°，连接CD．求证：△ECB是等边三角形．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一．起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙．如图2．伞骨BD=CD，AB=AC，试向：当伞圈D沿着伞柄AP滑动时，伞柄AP是否始终平分∠BAC？请说明你的理由．
20．图①、图②均为4×4的正方形网格。每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1.在图①图②中按下列要求各画一个三角形.
要求：
（1）三角形的三个顶点都在格点上。
（2）与△ABC全等，且位置不同.
21．如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE=10m，BF=3m，则FC的长度为 m．
22．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点C在DE上．
（1）求证：∠BDA=∠E．
（2）若∠BDA=35°，则∠BDE= °
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的角平分线．以点A为圆心，AD长为半径面弧，与AB、AC分别交于点E、F，连接DE、DF．
（1）求证：△ADE≌△ADF ；
（2）若∠BAC=80°．求∠BDE的度数．
24．如图，在四边形ABCD中，∠BCD和∠ADC的平分线交于点E．
（1）若∠A=42°．∠B=58°，则∠E= °
（2）若∠A+∠B=110°．则∠E= °
（3）请你探究∠A，∠B，∠E之向的数量关系，并说明理由．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．数学兴趣小组在活动时．老师提出了这样一个问题：如图1．在△ABC中，AB=6，AC=8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取优范围．
（1）[探究小明在组内经过合作交流．得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB"的推理过程
求证：△ADC≌△EDB
证明：延长AD到点E，使DE=AD
在△ADC和△EDB中
AD=ED（已作），
∠ADC=∠EDB（ ）
CD=BD（中点定义），
∴△ADC≌△EDB（ ）．
（2）探究得出AD的取值范围是 ； （直接写出结果即可）
（3）[感悟]解题时．条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求征的结论集合到同一个三角形中．
如图2，△ABC中，∠B=90°，AB=2．AD是△ABC的中线，CE⊥BC．CE=4．且∠ADE=90°，求AE的长．
26．如图1，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC=90°．∠B=30°，BC=24cm，沿ED折叠纸片，使点B与点A重合．得到四边形ADEC．
（1）∠ADE= °
（2）求DE的长；
（3）如图2．动点P从点D出发，以2cm/s的速度沿D→E→C方向运动，动点Q从点E出发．以同样的速度沿E→C方向运动，已知P、Q两点同时出发．当点Q到达点C时．P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为ts．连接AP．AQ．当t为何值时，AP=AQ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设以6cm与8cm为边长的三角形的第三边长为xcm，
由题意，得8-6＜x＜8+6，
即2＜x＜14，
∴A、B、D三个选项错误，不符合题意，只有C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】设以6cm与8cm为边长的三角形的第三边长为xcm，根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可求出x的取值范围，从而即可一一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形有两边是相等，且两边之和大于第三边
第一种情况：腰为3，三角形三边为3，3，6，3+3=6不符合三边关系不能构成三角形，排除此情况；
第二种情况：腰为6，三角形三边为3，6，6， 3+6>6符合三边关系，所以周长为3+6+6=15.
故答案为：B.
【分析】分类讨论等腰三角形，且三边符合两边之和大于第三边即可.
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据直角三角板∠1=60°，∠3=45°，∠BAC=90°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°﹣45°=45°，
∴∠α=180°﹣45°﹣60°=75°，
故答案为：D．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠α的值.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：根据题意可得：∠ABC=∠DBC，∠ACB=∠DCB，
在△DBC≌△ABC中，
∠ABC=∠DBCBC=BC∠ACB=∠DCB，
∴△DBC≌△ABC（ASA），
故答案为：B.
【分析】根据题意可得∠ABC=∠DBC，∠ACB=∠DCB，再结合BC=BC，用“ASA”证出三角形全等即可.
6．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵A（-2，5），AD⊥x轴，
∴AD=5，OD=2，
∵△ABO为等腰直角三角形，
∴OA=BO，∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠DAO=∠BOE，
在△ADO和△OEB中，
∠DAO=∠BOE∠ADO=∠OEBOA=BO，
∴△ADO≌△OEB（AAS），
∴AD=OE=5，OD=BE=2，
∴DE=OD+OE=5+2=7.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得AD=5，OD=2，由等腰直角三角形的性质可得OA=BO，∠AOB=90°，根据同角的余角相等可得∠DAO=∠BOE，证明△ADO≌△OEB，得到AD=OE=5，OD=BE=2，然后根据DE=OD+OE进行计算.
7．【答案】(-1，-3)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点M的坐标为（-1，3），
∴点M关于x轴对称的点N的坐标是（-1，-3），
故答案为：（-1，-3）.
【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征：纵坐标变为相反数，横坐标不变可得答案.
8．【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：根据三角形的稳定性可得答案，
故答案为：稳定性.
【分析】利用三角形的稳定性分析求解即可.
9．【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠A=∠B-∠C，
∴（∠B-∠C）+∠B+∠C=180°，
∴2∠B=180°，
∴∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形且∠B为直角，
故答案为：直角.
【分析】利用三角形的内角和及∠A=∠B-∠C，求出∠B=90°，即可得到答案.
10．【答案】AB=AC（不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加AB=AC，
∵在△ABD和△ACD中，
AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为AB=AC．
【分析】添加合适的条件，结合全等三角形的判定定理，证明得到答案即可。
11．【答案】30°
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正六边形的一个外角∠CBO=360°÷6=60°，正方形的一个外角∠OCB=360°÷4=90°，
∴在△BCO中，∠BOC=180°-∠CBO-∠OCB=180°-60°-90°=30°，
故答案为：30°.
【分析】先利用正多边形的性质求出∠CBO和∠OCB的度数，再利用三角形的内角和求出∠BOC的度数即可.
12．【答案】20
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：根据题意可得：AO=A'O，BO=B'O，∠AOB=∠A'OB'，
在△AOB和△A'OB'中，
AO=A'O∠AOB=∠A'OB'BO=B'O，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
∴AB=A'B'=20，
故答案为：20.
【分析】先利用“SAS”证出△AOB≌△A'OB'，再利用全等三角形的性质可得AB=A'B'=20.
13．【答案】65°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50° ，∠ABC的角平分线BD交AC于点E，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=25°，
∵DC⊥BC，
∴∠BCD=90°，
在△BCD中，
∠D=180°-∠CBD-∠BCD=180°-25°-90°=65°，
故答案为：65°.
【分析】先利用角平分线的定义求出∠ABD=∠CBD=12∠ABC=25°，再利用三角形的内角和求出∠D=180°-∠CBD-∠BCD=180°-25°-90°=65°即可.
14．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°，
在△ABC中，∠CBD=180°-∠A-∠C-∠ABD=30°，
∴BD=2CD，
∴AD=2CD，
∵AC=AD+CD=2CD+CD=3CD=6，
∴CD=2，
∴AD=2×2=4，
故答案为：4.
【分析】先利用三角形的内角和求出∠CBD=180°-∠A-∠C-∠ABD=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质及等量代换可得AD=2CD，再结合AC=AD+CD=2CD+CD=3CD=6，求出CD的长，再求出AD的长即可.
15．【答案】解：设这个多边形的边数为n． 根据题意，得(n-2)180°=3×360°-180°． 解得n=7． 答：这个多边形的边数是7．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
16．【答案】解：设底长为xcm．则腰边长为2xcm，
根据题意得：x+2x+2x=20．
解得x=4，
当x=4时，2x=8，
答：腰长为8cm．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】设底长为xcm，则腰边长为2xcm，利用三角形的周长列出方程x+2x+2x=20，求出x的值，再求出腰长即可.
17．【答案】解：∵∠B=30° ．∠C=50°。
∴∠BAC= 180° -∠B- ∠C=100°
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=12∠BAC=50°。
∴∠ADB=∠DAC+∠C=100°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】先利用三角形的内角和求出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义求出 ∠DAC=12∠BAC=50°，再利用三角形外角的性质求出∠ADB=∠DAC+∠C=100°即可.
18．【答案】证明：∵AD∥CE，∠A=60°
∴∠CEB=∠A=60°．
∵∠CEB=∠B．
∴CE=CB．
∴△CEB是等腰三角形，
又∵∠CEB=60°．
∴△CEB是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】先证出△CEB是等腰三角形，再结合∠CEB=60°，可证出△CEB是等边三角形．
19．【答案】解：结论：伞柄AP始终平分∠BAC，
理由如下：
在△MBD和△MCD中，AB=ACAD=ADBD=CD
∴△BDA≌△ACD (SSS)；
∴∠BMD=∠CAD
即AP平分∠BAC．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】先利用“SSS”证出△BDA≌△ACD，可得∠BMD=∠CAD，即可得到AP平分∠BAC．
20．【答案】（1）解：如图①△DCB即为所求：
（2）解：如图②，△DEP即为所求(答案不唯一)
【知识点】三角形全等的判定；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法作出三角形即可；
（2）利用全等三角形的判定方法作出三角形即可.
21．【答案】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
∠ABC=∠DEFAB=DE∠A=∠D ，
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）4
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BF=EC，
∵BE=10m，BF=3m，
∴FC=10-3-3=4m．
故答案为：4．
【分析】（1）先求出 ∠ABC=∠DEF， 再利用ASA证明求解即可；
（2）先求出BF+FC=EC+FC，再求出BF=EC，最后计算求解即可。
22．【答案】（1）证明： ∵∠BC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE- ∠DMC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
∴∠BDA=∠E．
（2）70
【知识点】角的运算；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（2）∵∠BDA=35°，
∴∠BDA=∠E=35°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠E=35°，
∴∠BDE=∠BDA+∠ADE=35°+35°=70°，
故答案为：70°
【分析】（1）先利用角的运算求出∠BAD=∠CAE，再利用“SAS”证出△ABD≌△ACE，即可得到∠BDA=∠E；
（2）利用等边对等角的性质可得∠ADE=∠E=35°，再利用角的运算求出∠BDE=∠BDA+∠ADE=35°+35°=70°即可.
23．【答案】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分钱，∠BAD=∠CAD．
由作图可知： AE=AF
在△ADE和△ADF中AE=AF∠BAD=∠CADAD=AD
∴△ADE≌△ADF (ASA)
（2）解：∵∠BAD=80°，AD 为△ABC的平分线，∴∠EAD=40°
由作图可知：AE=AD，∴∠ADE=70°．
∵AB=AC，AD为△ABC的角平分线，∴AD⊥ BC，
∴∠BDE=20°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用“ASA”证出 △ADE≌△ADF 即可；
（2）先证出AD为△ABC的角平分线，再结合AD⊥BC，可得∠ADB=90°，最后利用角的运算求出∠BDE=20°即可．
24．【答案】（1）50
（2）55
（3）解：结论：∠A+∠B=2∠E．
理由如下：
∵DE 平分∠ADC， CE平分∠BCD，
∴∠ADC=2∠CDE，∠BCD =2∠ECD．
∵∠A+∠B+∠ADC+∠BCD=360°，
∴∠A+∠B+2 (∠EDC+∠ECD) =360°，
∴∠A+∠B+2 (180 -∠E) =360°
∴∠A+∠B=2∠E ．
【知识点】多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=42°，∠B=58°，
∴∠ADC+∠BCD=360°-（∠A+∠B）=360°-（42°+58°）=260°，
∵∠BCD和∠ADC的平分线交于点E，
∴∠CDE=12∠ADC，∠DCE=12∠BCD，
∴∠CDE+∠DCE=12∠ADC+12∠BCD=12（∠ADC+∠BCD）=130°，
在△DCE中，∠E=180°-（∠CDE+∠DCE）=180°-130°=50°，
故答案为：50°；
（2）∵∠A+∠B=110°，
∴∠ADC+∠BCD=360°-（∠A+∠B）=360°-110°=250°，
∵∠BCD和∠ADC的平分线交于点E，
∴∠CDE=12∠ADC，∠DCE=12∠BCD，
∴∠CDE+∠DCE=12∠ADC+12∠BCD=12（∠ADC+∠BCD）=125°，
在△DCE中，∠E=180°-（∠CDE+∠DCE）=180°-125°=55°，
故答案为：55°；
【分析】（1）利用四边形的内角和求出∠ADC+∠BCD，再利用角平分线的定义求出∠CDE+∠DCE=12∠ADC+12∠BCD=12（∠ADC+∠BCD）=130°，最后利用三角形的内角和求出∠E=180°-（∠CDE+∠DCE）=180°-130°=50°即可；
（2）方法同（1），先求出∠ADC+∠BCD，再利用角平分线的定义及三角形的内角和求出∠E的度数即可；
（3）先求出∠ADC=2∠CDE，∠BCD =2∠ECD，再结合∠A+∠B+∠ADC+∠BCD=360°，求出∠A+∠B+2 (180 -∠E) =360°，即可得到∠A+∠B=2∠E.
25．【答案】（1）证明：延长AD到点E，使DE=AD
在△ADC和△EDB中
AD=ED（已作），
∠ADC=∠EDB（对顶角相等）
CD=BD（中点定义），
∴△ADC≌△EDB（SAS）．
（2）1< AD<7
（3）解：延长AD交EC的延长线于F，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ABD=∠FCD=90"，
在AABD和△PCB中，∠ABD=∠FCDBD=CD∠ADB=∠FDC
∴△ABD≌△FCB (ASA)，
∴CF=AB=2，AD= DF，
∵∠ADE=90° ，
∴AE= EF，
∵EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6
∴AE=6．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（2）∵△ADC≌△EDB，
∴AC=EB=8，
在△ABE中，BE-AB
∴1
（2）利用全等三角形的性质可得AC=EB=8，再利用三角形三边的关系可得2
26．【答案】（1）90
（2）解：由折叠得：
∠B=∠DAE =30°，∠ADE=∠BDE=90°，∠AED=∠BED， BE=AE．
∴∠AED=∠BED =60°，∴∠AEC=60° ，
∵∠BAC=90° ，∠B=30° ，∠C=60° ，
∴△AEC是等边三角形，
∴AE=BE=EC=12．
∴DE=12BE=6．
（3）解：①当点P在DE上运动，即0≤t≤3时，
∵∠AEC=∠AED =60°，AE =AE．
∴当PE =EQ时，△APE≌△AQE，此时有 AP=AQ．
∴6-2t=2t．
∴t=1.5．
②当点P在EC上运动，即3
∴当PE=CQ时，△AEP≌△ACQ，此时有AP=AQ．
∴2t-6=12-2t．
∴t=4.5．
即t=1.5或t=4.5时，AP=AQ．
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵沿ED折叠纸片，使点B与点A重合，
∴∠ADE=∠BDE，
∵∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠ADE=12×180°=90°，
故答案为：90°；
【分析】（1）利用折叠的性质可得∠ADE=12×180°=90°；
（2）先证出△AEC是等边三角形，可得AE=BE=EC=12，再求出DE=12BE=6即可；
（3）分类讨论：①当点P在DE上运动，即0≤t≤3时；②当点P在EC上运动，即3
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