高中湘教版（2019）第4章 立体几何初步4.2 平面课后测评

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1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )
A．b∥α B．b⊂α
C．b⊥α D．b与α相交
2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
3．在正方体ABCD －A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则( )
A．AE⊥CC1 B．AE⊥B1D1
C．AE⊥BC D．AE⊥CD
4．若斜线段AB是它在平面α内投影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为( )
A．60° B．45°
C．30° D．90°
5．线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
6．(多选)在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )
7．长方体ABCD­A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC于点M，则MN与AA1的位置关系是________.
8.
已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．
9．如图所示，在四棱锥P ­ ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，直线l⊥平面PCD，且直线l不经过点E.
求证：l∥AE.
10．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F分别是PA和AB的中点，求PA与平面PBC所成角的正弦值．
[提能力]
11．已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA≠AD，M，N分别是AB，PC的中点，则MN垂直于( )
A．AD B．CD
C．PC D．PD
12.
(多选)如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的投影，则( )
A．AF⊥PB B．EF⊥PB
C．AF⊥BC D．AE⊥平面PBC
13．如图所示，在三棱锥P ­ ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________.
14.
如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线A1B与直线AC所成角的大小为________；直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为________．
15.如图，在四棱锥P ­ ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝ eq \f(π,2)，AB＝BC＝PA＝a，PA⊥平面ABCD.
(1)求直线AD到平面PBC的距离．
(2)求点A到直线PC的距离．
[培优生]
16．如图，在四面体P ­ ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝1，BC＝ eq \r(3)，AC＝2.
(1)证明：BC⊥平面PAB.
(2)在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD，若存在，求PD的值，若不存在，请说明理由．
课时作业(三十六) 直线与平面垂直的性质
1．解析：由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.
答案：C
2．解析：由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．
答案：B
3．解析：如图所示．
连接AC，BD，因为ABCDA1B1C1D1是正方体，
所以四边形ABCD是正方形，AC⊥BD，CE⊥平面ABCD，所以BD⊥CE，而AC∩CE＝C，
故BD⊥平面ACE，因为BD∥B1D1，故B1D1⊥平面ACE，故B1D1⊥AE.
答案：B
4.
解析：斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，
∠ABO即是斜线段与平面所成的角．
又AB＝2BO，所以cs∠ABO＝eq \f(OB,AB)＝eq \f(1,2)，
所以∠ABO＝60°.
答案：A
5.
解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质定理可知AA1∥MM1∥BB1.结合题意知，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.故选A.
答案：A
6．解析：因为BE⊥CD，AE⊥CD，BE∩AE＝E，所以CD⊥平面ABE，因为AB⊂平面ABE，所以AB⊥CD，故A正确；因为CD∥AE，△ABE是等边三角形，所以AB与CD异面，且所成角为60°，故B错误；CD∥BE，∠ABE＝45°，所以AB与CD异面，且所成角为45°，故C错误；CD⊥平面ABC，所以CD⊥AB，故D正确．
答案：AD
7．解析：如图．易知AB⊥平面BCC1B1.
又∵MN⊂平面BCC1B1，∴AB⊥MN.
又∵MN⊥BC，AB∩BC＝B，
∴MN⊥平面ABCD，易知AA1⊥平面ABCD.故AA1∥MN.
答案：平行
8．解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又因为AF＝DE，所以四边形AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.
答案：6
9．证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD.因为四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD.
因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.
因为AE⊂平面PAD，所以AE⊥CD.
因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为直线l⊥平面PCD，且直线l不经过点E，
所以l∥AE.
10．解析：过A作AH⊥BC于H，连接PH，
∵PC⊥平面ABCD，AH⊂平面ABCD，
∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，∴AH⊥平面PBC.
∴∠APH为PA与平面PBC所成的角，
在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形，又AH⊥BC，
∴H为BC中点，AH＝eq \r(3)，
∵PC＝AC＝2，∴PA＝2eq \r(2)，
∴sin∠APH＝eq \f(AH,PA)＝eq \f(\r(6),4).
故PA与平面PBC所成角的正弦值为eq \f(\r(6),4).
11.
解析：连接AC，取AC的中点为O，连接NO，MO，如图所示：
因为N，O分别为PC，AC的中点，所以NO∥PA，因为PA⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，所以NO⊥CD.
又因为M，O分别为AB，AC的中点，所以MO∥BC.因为BC⊥CD，所以MO⊥CD，因为NO∩MO＝O，所以CD⊥平面MNO，所以CD⊥MN.
答案：B
12．解析：因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC，又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF，又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，AF⊥BC，故A，C正确；由选项A知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB，故B正确；由上面过程可知，AE与平面PBC不垂直，故D不正确．
答案：ABC
13．解析：∵DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，∴DE∥PA.又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC.
答案：平行
14．解析：连接A1C1，BC1，△BA1C1为等边三角形，所以直线A1B与直线AC所成角的大小为eq \f(π,3)，
因为四边形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥B1C，又DC⊥平面BCC1B1，所以BC1⊥CD，又因为CD∩B1C＝C，所以BC1⊥平面A1B1CD.
设BC1交B1C于O，则∠OA1B为直线A1B和平面A1B1CD所成的角，
在Rt△OA1B中，sin∠OA1B＝eq \f(BO,A1B)＝eq \f(1,2)，所以直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为eq \f(π,6).
答案：eq \f(π,3) eq \f(π,6)
15．解析：(1)∵AD∥BC.AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
∴AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，
过点A作AH⊥PB，交PB于H，如图所示，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
又AH⊂平面PAB，
∴BC⊥AH，
又AH⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，
∴AH⊥平面PBC，
∴AH的长即为点A到平面PBC的距离，也即直线AD到平面PBC的距离，
在等腰直角三角形PAB中，易得AH＝eq \f(\r(2),2)a，
所以直线AD到平面PBC的距离为eq \f(\r(2),2)a.
(2)过点A作AE⊥PC，交PC于E，则AE的长即为点A到PC的距离．连接AC，
在Rt△PAC中，PA＝a，AC＝eq \r(2)a，PC＝eq \r(3)a，
∵AE·PC＝PA·AC，
∴AE＝eq \f(PA·AC,PC)＝eq \f(\r(6),3)a，即点A到直线PC的距离为eq \f(\r(6),3)a.
16．解析：(1)证明：由题知：AB＝1，BC＝eq \r(3)，AC＝2.
则AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，
又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.
(2)在线段PC上存在点D，当PD＝eq \f(\r(5),4)时，使得AC⊥BD.
理由如下：如图，在平面ABC内，过点B作BE⊥AC，垂足为E，在平面PAC内，过点E作DE∥PA，交PC于点D，连接BD，由PA⊥平面ABC，知DE⊥平面ABC，
所以DE⊥AC，所以AC⊥平面DBE，
又因为BD⊂平面DBE，所以AC⊥BD，
在△ABC中，BE＝eq \f(AB·BC,AC)＝eq \f(\r(3),2)，
所以AE＝eq \f(1,2)，CE＝eq \f(3,2)，
所以eq \f(CE,CA)＝eq \f(CD,CP)＝eq \f(3,4)，所以CD＝eq \f(3\r(5),4)，PD＝eq \f(\r(5),4).