2024届新高考一轮复习函数与导数专练（6）函数的应用

这是一份2024届新高考一轮复习函数与导数专练（6）函数的应用，共24页。试卷主要包含了某产品的总成本y时的最低产量是，著名数学家、物理学家牛顿曾提出，已知是函数的一个零点，若，，则，的图象，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
1.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的关系是，，若每台产品的售价为9万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是( )
A.3台B.5台C.6台D.10台
2.已知函数，则使函数有零点的实数m的取值范围( )
A.B.C.D.
3.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度(单位：，满足：)若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为( )(参考数据：)
A.39分钟B.41分钟C.43分钟D.45分钟
4.已知是函数的一个零点，若，，则( )
A.
B.
C.，
D.，
5.某市家庭煤气的使用量和煤气费（元）满足关系已知某家庭今年前四个月的煤气费如下表：
若五月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为( )
A.12.5元B.12元C.11.5元D.11元
6.由于某地人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年20%的比例降低.若要求患病率低于当前患病率的，则至少需要经过___________时间.(参考数据：，)( )
A.4年B.5年C.6年D.7年
7.已知函数则方程在区间上的实根个数为( )
A.9B.10C.11D.12
8.已知函数，若有2个零点，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
9.（多选）如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化的过程中某种有害物质的剩余量y与净化时间t（月）之间满足的函数关系：（，，）的图象.若有害物质的初始量为1，则以下说法中正确的是( )
A.第4个月时，剩余量就会低于
B.每月减少的有害物质的量都相等
C.有害物质每月的衰减率为
D.当剩余量为，，时，所经过的时间分别是，，，则
10.（多选）已知函数，则( )
A.当时，
B.，方程有实根
C.方程有3个不同实根的一个必要不充分条件是“”
D.若，且方程有1个实根，方程有2个实根，则
11.牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛（允许的最大值）调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用.（参考数据：，）
12.用二分法求方程的一个近似解时，已确定有一个根在区间内，则下一步可确定这个根所在的区间为__________.
13.已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是_________.
14.已知函数，若方程有8个相异实根，则实数b的取范围是__________.
15.若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“罗尔区间”.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)求函数在内的“罗尔区间”；
(3)若以函数在定义域所有“罗尔区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素.若存在，求出实数m的取值集合；若不存在，说明理由.
答案以及解析
1.答案：A
解析：依题意，得，即，解得或（舍去）.因为，所以，所以生产者不亏本时的最低产量是3台.故选A.
2.答案：C
解析：
函数的零点就是方程的根，作出的图象，如图所示，观察它与直线的交点，得知当或时有交点，即函数有零点.
3.答案：B
解析：由题知，，，
，，，，.
4.答案：B
解析：函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，故函数在区间上单调递减，又，，，，，，，，则，，即.
5.答案：A
解析：根据题表，得.由三月份和四月份的数据，得解得，.所以所以（元）.故选A.
6.答案：B
解析：假设至少需要经过的时间为x(单位：年)，由题意得，两边同时取以为底的对数得，.
因为，所以，即.故选B.
7.答案：C
解析：当时，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，最小值为-1.结合函数的“周期”规律得在上的大致图象如图所示.因为，所以或.当时，对应的x的值有5个；当时，对应的x的值有6个.故在区间上的实根个数为11.
8.答案：C
解析：可转化为.
设，由基本不等式得，
当且仅当时，取到最小值0.设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取到最大值.若有2个零点，则与有两个交点，此时，解得，故选：C.
9.答案：ACD
解析：根据图象过点，可知，，解得或（舍去），函数关系是.令，得，故A正确；当时，，减少了，当时，，减少了，每月减少的有害物质的量不相等，故B不正确；因为，所以有害物质每月的衰减率为，故C正确；
分别令，，，解得，，，则，故D正确.故选ACD.
10.答案：ACD
解析：因为，所以当时，，，所以在y轴左侧的图象恒在x轴下方，故A正确；因为，令，得，令，得或，所以在，上单调递减，在上单调递增，作出其大致图象如图所示.由图可知，当时，方程有实根，故B错误；若方程有3个不同实根，则，故“”是方程有3个不同实根的一个必要不充分条件，故C正确；由，及方程有1个实根，方程有2个实根，可得，，则，故D正确.故选ACD.
11.答案：188
解析：设经过x个周期后细菌含量超标，
即，即，
所以，
而，因此经过188分钟就不宜再饮用.
故答案为：188.
12.答案：
解析：令，它的图像在上是连续不断的.
，，
下一步可确定这个根所在的区间为.
13.答案：
解析：当时，显然即无零点。
当时，得，令，.
故在，递减，递增.，.
所以，故实数a的取值范围是.
14.答案：
解析：令，则方程等价为 QUOTE t2−bt+2=0 t2−bt+2=0，作出函数的图象如图：
图象可知当时，函数有4个交点，所以要使有8个相异实根，则等价为有两个不等实根，且都在内，令，由根的分布可得 QUOTE Δ>010 Δ>010，解得，则实数b的取值范围是.故答案为：.
15.答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)因为为R上的奇函数，，
又当时，，
所以当时，，
所以，
所以.
(2)设，在上单调递减，
，即a，b是方程的两个不等正根，
，
，
在内的“罗尔区间”为.
(3)设为的一个“罗尔区间”，则，a，b同号.
当时，同理可求在内的“罗尔区间”为，
，
依题意，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，
所以m应当使方程在内恰有一个实数根，
且使方程，在内恰有一个实数根，
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得；
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得.
综上可知，实数m的取值集合为.
月份
一月份
二月份
三月份
四月份
用气量
4
5
25
35
煤气费/元
4
4
14
19