2023-2024学年陕西省西安市长安区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安市长安区九年级上学期数学期中试题及答案，共22页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。全卷共4页，总分120分。考试时间100分钟。
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号。
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效。
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑。
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根，根据定义“一元二次方程的根是使这个一元二次方程两边相等的未知数的值”，将代入，得到关于m的一元一次方程，解方程即可得到m的值．
【详解】解：将代入，
得：，
解得，
故选D．
2. 用配方法解方程，配方后方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查配方法解一元二次方程，将常数项移到等号右边，再在方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可配方解方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键．
【详解】解：
，
故选：D．
3. 若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A. B. 4C. 25D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先求出方程的解，即可得到，根据菱形的性质求出和 ，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：解方程，得，
即，
∵四边形是菱形，
∴，
由勾股定理得，
即菱形的边长为，
故选：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，正确求出方程的根是解题的关键．
4. 如图，直线，直线分别交、、于点、、，直线分别交、、于点、、，已知，若，则的长是（ ）
A. B. C. 9D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，可得，从而即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
5. 如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B
向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得
BC=3.2m"，CA=0.8m， 则树高度为（ ）
A. 4.8mB. 6.4mC. 8mD. 10m
【答案】C
【解析】
【详解】解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，
设树高x米，则，即
∴x=8
故选C．
6. 如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查菱形的性质，线段垂直平分线的性质，根据菱形的性质得到是菱形的对称轴，，，连接，利用线段垂直平分线的性质得到，求出，再根据菱形的对称性得到答案，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴是菱形的对称轴，，，
连接，
∵是线段的垂直平分线，
∴
∴，
由轴对称得
故选：C．
7. 如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（ ）
A. ①和②B. ①和③C. ②和③D. ②和④
【答案】A
【解析】
【分析】分别算出四个三角形的边长，然后根据相似三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：①三角形的三边的长度为：2，2，2；
②三角形的三边的长度为：，2，；
③三角形的三边的长度为：，3，；
④三角形的三边的长度为：，，3；
∵，
∴相似三角形的是①和②，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
8. 如图，在中，于点，为的中点，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线等于斜边的一边，等边三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和、外角和的运用等知识的综合，掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一边，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
根据于点，为的中点，可判定，是等边三角形，可求出的度数，在中，可求出的度数，由此即可求解．
【详解】解：∵在中，于点，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故选：．
9. 阅览室有十本名著，小红和小燕都想借阅，于是她们通过摸球游戏决定谁先看，游戏规则：在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同，先由小红从中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，再由小燕从口袋中摸出1个乒乓球，记下颜色．若二人摸到乒乓球的颜色相同，则小红先看，否则小燕先看．则小燕先看的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查列举法求概率，根据题意列树状图表示出所有可能的结果数及所求的结果数，根据概率公式计算即可，正确理解列树状图法或列表法求概率是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下，

共有9种等可能的结果，其中二人摸到乒乓球的颜色相同的有5种，
∴P（小红先看），P（小燕先看）
故选：C．
10. 如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接、．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③的最小值为2；④；⑤．其中正确的结论有（ ）

A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】B
【解析】
【分析】利用正方形的性质，得到，进而证明是等腰直角三角，四边形为矩形，最后用勾股定理得到，故①正确；利用等量代换，把四边形的周长转化为，代入即可得到四边形的周长为8，故②正确；当 时的值最小，求出 ．再由矩形的对角线相等可知，则的最小值为，故③错误；证明，得到，故④正确；先证明，再利用角的等量代换证明两锐角的和为 ，最后得到两条线的夹角为直角，故⑤正确．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴ ，，
∵，，
∴ 是等腰直角三角形，四边形为矩形，
∵ ，，
∴，故①正确；
∵ 是等腰直角三角形，
∴，
同理，
四边形的周长，故②正确；
连接，则：，
∵当 时的值最小，，
∴的最小值为；故③错误；
∵，
∴，
∴；故④正确；
如图：过点P作 ，点G为垂足，则，延长 交 于点H，

∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故⑤正确，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形、正方形的性质和勾股定理以及全等三角形的判定和性质，熟练正方形和矩形的性质，添加合适的辅助线是关键．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
11. 如图，，、相交于点，，，，则的长________．

【答案】
【解析】
【分析】利用平行线证明判定三角形相似，得到线段成比例求解．
【详解】解：，
，
，即，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形相似判定和性质，利用这些知识是解题的关键．
12. 一个口袋中有若干个白球，小明想用学过的概率知识估计口袋中白球的个数，于是将4个黑球放入口袋中搅匀（黑球与口袋中的白球除颜色外其余都相同），从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋并摇匀，不断重复上述过程，共摸了300次，其中有48次摸到黑球，估计口袋中大约有________个白球．
【答案】21
【解析】
【分析】此题考查了用频率估计概率的知识：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计事件的概率，设白球有x个，列方程并求解即可，掌握频率和概率的关系是解题关键．
【详解】解：设白球有x个，列方程为：
，
解得：，
经检验：是方程的解，
故答案为：．
13. 若、是一元二次方程的两个根，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，先根据根的定义得出，再由根与系数关系得出，代入代数式计算即可．
【详解】解：是一元二次方程的实数根，
，
．
，是一元二次方程的两个实数根，
，
．
故答案为：．
14. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为___．

【答案】
【解析】
【详解】∵AB=12，BC=5，
∴AD=5，
∴，
根据折叠可得：AD=A′D=5，
∴A′B=13－5=8，
设AE=x，则A′E=x，BE=12－x，
在Rt△A′EB中：，
解得：．
故答案为：
15. 如图，边长为的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为、，则的值为________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解图示，掌握几何面积的转换是解题的关键．
根据正方形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质可得，，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，

∵四边形，四边形，四边形是正方形，是对角线，是对角线，
∴，，
∴是等腰直角三角形，且，
同理，是等腰直角三角形，且，
∴，，，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共9小题，计75分．解答应写出过程）
16. 如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点D，使得．

【答案】见解析
【解析】
【分析】作线段垂直平分线交于点D，连接，点D即为所求．
【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点D，连接，则点D即为所求．

∵，
∴，
∵线段的垂直平分线交于点D，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图−相似变换，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
分析】本题考查了解一元二次方程：
（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
【小问1详解】
解：移项得：，
因式分解得：，
即或，
解得：，．
【小问2详解】
整理得：，
因式分解得：，
即或，
解得：，．
18. 已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质，通过，设出是解题的关键．
（1）设，则，据此可得答案；
（2）设，由得到，解方程求出，则．
【小问1详解】
解：∵，
∴可设
∴；
【小问2详解】
∵，
∴可设，
∵
∴．
∴，
∴．
19. 已知：如图，在菱形中，E，F分别是和上的点，且．
求证：（1）；
（2）．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“ ”即可证明 ;
（2）由（1）可知，所以 ,进而得到．
【详解】（1）证明四边形是菱形，
, , ,
,
,
在 和 中，
,
;
（2）,
,
．
【点睛】本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质．
20. 某校九年级班为准备学校元旦演讲比赛，通过班级预赛共评选出两位男生和三位女生共名推荐人选．
（1）若该班随机选一名同学参加比赛，求选中男生的概率；
（2）若该班随机选出两名同学组成一组选手参加比赛，求恰好选中一男一女的概率（用列表或树状图的方法求解）．
【答案】20.
21.
【解析】
【分析】本题考查了概率公式、画树状图(或列表法)求概率，通过画树状图确定等可能事件的总数以及满足条件的等可能事件数是解题的关键．
（1）根据题意以及概率公式直接求解即可；
（2）画树状图确定等可能事件的总数以及满足条件的等可能事件数，进一步求解即可．
【小问1详解】
解：随机选一名同学参加比赛有种等可能结果数，而选中男生的结果有种，
∴选中男生的概率为：．
【小问2详解】
解：名推荐人选中，两位男生分别记为，，三位女生分别记为，，列表为：
共有种等可能的结果数，其中恰好选中一男一女的结果数为种，
所以恰好选中一男一女的概率为：．
21. 已知关于的一元二次方程有实数解．
（1）求实数的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根与系数关系，
（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可；
（2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值．
【小问1详解】
解：∵关于的方程有实数根，
∴
∴；
【小问2详解】
解：∵方程的两个实数根分别为，
∴，，
由，
∴，
∴，即，
∴，（舍去），
∴．
22. 某商品专卖店，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于35元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若该商品降价5元，那么平均每天销售数量是多少件？
（2）若专卖店每天销售该商品盈利2400元，那么每件商品应降价多少元？
【答案】（1）50件 （2）每件应降价10元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，
（1）根据题意列式求解即可；
（2）设每件商品应降价元，则每件盈利为：元，日销售量为：件，根据题意列出一元二次方程求解即可．
解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【小问1详解】
若该商品降价5元，平均每天销售数量是（件）．
【小问2详解】
设每件商品应降价元，则每件盈利为：元，日销售量为：件，
根据题意得：，
解这个方程得：，．
由于每件盈利不少于35元，那么每件应降价10元．
23. 如图，在四边形中，，，的平分线交于点，是的中点，连接、，且．求证：
（1）四边形是菱形；
（2）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，则，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，然后由，证明四边形是菱形．
（2）由平行的性质可得，证明，则，整理可证结论．
【小问1详解】
证明：∵，是的中点．
∴，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，平行线的判定与性质，角平分线，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定．相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24. 如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒．
（1）当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？
（2）当为何值时，的面积为？
（3）当为何值时，与相似？
【答案】（1）
（2）
（3）或时，与相似
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定；
（1）勾股定理求得，由题意，，，，根据是以为顶角的等腰三角形，则，列出方程，解方程，即可求解；
（2）过点作于点，证明得出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解；
（3）分类讨论，当时，，当时，，分别列出比例式，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴．
由题意，，，
∵是以为顶角的等腰三角形，
∴，
∴，
解得．
【小问2详解】
过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【小问3详解】
当时，，
∴，
解得：．
当时，，
∴，
解得：．
综上所述或时，与相似．