清北教育高考数学二轮专题精练教师版3

这是一份清北教育高考数学二轮专题精练教师版3，共201页。试卷主要包含了线面垂直的性质等内容，欢迎下载使用。
7.1 空间几何中的平行（精练）（基础版）
题组一 三角形中位线

1．（·云南丽江）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点O，E为的中点，求证：平面

【答案】证明见解析
【解析】证明：∵四边形为正方形，∴O为的中点，∵E为的中点，∴，又∵平面平面，∴平面；
2（·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC

【答案】证明见解析；
【解析】如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则，又平面，平面，所以平面.

3．（·浙江·瑞安市第六中学高一阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，证明：平面

【答案】证明见解析
【解析】证明：设，连接，因为分别为中点，所以//，平面，平面，所以//平面．

4．（·河北唐山）如图，在直三棱柱中，为的中点，求证：平面

【答案】证明见解析
【解析】证明：连接，设，连接，在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点，又因为为的中点，则，因为平面，平面，因此，平面.

5．（·吉林·长春市实验中学）已知直三棱柱中，D为AB中点，求证：平面


【答案】证明见解析；
【解析】在直三棱柱中，连，连，如图，则O为中点，而D为AB中点，则有，又平面，平面，所以平面.


题组二 构造平行四边形

1．（·黑龙江·哈师大附中高一期末）四棱锥底面为直角梯形，，，为的中点，求证：平面

【答案】证明见解析；
【解析】取的中点，连接，如图所示，
为的中点，为的中点，，且，又底面为直角梯形，,，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.

2．（·辽宁朝阳）如图，在直三棱柱中，分别是，的中点，求证：平面

【答案】证明见解析
【解析】证明：在直三棱柱中，分别是的中点，
取的中点，连接，
所以.
因为，所以，
所以四边形 是平行四边形，所以 .
因为平面 平面，
所以平面.


3．（·吉林·长春市第五中学）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，为侧棱的中点，求证：平面

【答案】证明见解析
【解析】取的中点，连接，，在中，，在梯形中，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，而平面，平面，∴平面；

4．（·辽宁抚顺·高一期末）在正方体中，分别是和的中点.求证：

(1)平面.
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点，又因为为中点，所以.因为平面平面，所以平面，
（2） 连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点.又因为为中点，所以.因为平面平面所以平面.由（1）知平面，又，平面，所以平面平面.

5．（·辽宁抚顺·高一期末）直四棱柱，底面是平行四边分别是棱的中点，求证：平面

【答案】见解析
【解析】证明：取的中点，连结，在中，分别为的中点，所以且，底面是平行四边形，是棱的中点，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以平面平面，所以平面

6．（·湖南衡阳）如图，四棱柱的底面ABCD为正方形，O为BD的中点，，求证：平面∥平面

【答案】证明见解析
【解析】证明：因为四棱柱的底面ABCD为正方形，
所以∥，，∥，，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以∥．
又平面，平面，
所以∥平面，
同理∥平面．
又，
所以平面∥平面．

7．（·福建·厦门市湖滨中学）如图，在正方体中，为的中点，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】
（1）证明：连接交于点，则为的中点，因为为的中点，则，平面，平面，因此，平面.
（2）证明：因为且，为的中点，为的中点，所以，，，所以，四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，所以，平面，因为，因此，平面平面.





题组三 等比例

1．（·江西南昌）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，过M作于H，求证：

(1)平面平面BCE；
(2)平面BCE.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）在正方形ABCD中，，，则，又平面，平面，因此平面，由，得，而，，则有，即，于是得，又平面，平面，则平面，因，平面，所以平面平面.
（2）由（1）知：平面平面，而平面，所以平面.
2．（·安徽安庆市）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点M在棱上，若直线平面，求的值

【答案】（1）1∶2；
【解析】连接与交于点N，连接，
，，，，
又平面，平面，且平面平面
．

3．（·全国高三）如图，三棱柱在圆柱中，等腰直角三角形，分别为上、下底面的内接三角形，点，分别在棱和上，，，平面，求的值

【答案】
【解析】过点作交于点，连接，
，，与确定一个平面．
平面，平面平面，，
四边形为平行四边形，．
又，，，．
4．（·福建省）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，是棱的中点，，在线段上，且，证明：平面

【答案】证明见解析
【解析】连接交于点，连接，
因为四边形为菱形，则且，
为的中点，则且，故，
所以，，，
平面，平面，因此，平面；
5（·安徽）如图，多面体中，底面为等腰梯形，，，，，且，求证：平面

【答案】证明见解析
【解析】中，，.
设，连结，

，，.
，又，所以四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面.
6．（福建）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，.，证明:平面

【答案】证明见解析
【解析】证明：四边形是梯形且，
又,
又,是等腰直角三角形．
，,
如图，连接交于点连接.

,
在中，由余弦定理得
解得故
又点在棱上，且在中，
又平面平面故平面;
题组四 线面平行的性质

1．（·北京市第十三中学）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求证：.
【答案】证明见解析
【解析】(1)证明：因为四边形为平行四边形，则，
平面，平面，因此，平面.
(2)证明：连接交于点，连接，
因为四边形为平行四边形，，则为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面.       

(3)证明：平面，平面，平面平面，
.
2．（·山东·济南市章丘区第四中学）如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．
(1)证明：平面PBE；
(2)证明：；

【答案】证明见解析
【解析】取PB中点，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点所以，，因为四边形ABCD为长方形，所以，且，所以，，所以四边形DEGF为平行四边形，所以因为平面PBE，平面PBE，平面PBE
（2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面所以

3．（云南）如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF

(1)证明:AF//平面BDG
(2)证明:AB//EF
【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.
【解析】(1)连接AC交BD于O,连接OG.

因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分.
又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以.
因为面,面,所以AF//平面BDG.
(2)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB//CD.
因为面,面,所以AB//平面.
因为面,面面=EF.
所以AB//EF.
4．（·北京海淀·高三期末）如图，已知长方体中，为的中点，平面交棱于点F，求证：

【答案】证明见解析；
【解析】由长方体的性质知：面面，又面，
∴面，又面面，且面，∴.
5．（·全国·高三专题练习（理））如图，在长方体中，点是的中点，在上，若过的平面交于，交于，求证：平面

【答案】证明见解析
【解析】证明：因为平面，平面，
平面，，
又平面，平面，平面；
6．（·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，是的中点．设平面与平面的交线为l，求证：平面

【答案】证明见解析
【解析】证明：在正方体中，平面平面，
又因为平面平面＝l，平面平面，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
7．（·全国·高三专题练习）如图，平面，平面，，求证：

【答案】证明见解析
【解析】由题意，平面，平面，∴平面，
又平面，，∴平面平面，
而平面平面，平面平面，∴.
8．（·全国·高三专题练习）在三棱柱中，

（1）若分别是的中点，求证：平面平面.
（2）若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）1.
【解析】（1）∵分别是的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面，
又∵，平面，
∴平面平面；
（2）连接交于O，连接，

由平面平面，且平面平面，
平面平面，
∴，
则，
又由题设，∴，即.
题组五 面面平行的性质

1．（·四川成都）如图，四边形ABCD为长方形，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．
(1)证明：平面PBE；
(2)证明：．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；
【解析】(1)取PB中点，连接FG，EG，
因为点E、F分别为AD、PC的中点，
所以，，
因为四边形ABCD为长方形，所以，且，
所以，，所以四边形DEGF为平行四边形，
所以因为平面PBE，平面PBE，平面PBE；
(2) 由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面，所以.

2．（·山东淄博·高一期末）如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，证明：直线平面

【答案】证明见解析
【解析】证明：取的中点，连接、、，
在正方体中，且，
、分别为、的中点，则且，
故四边形为平行四边形，则且，
又因为且，则且，
故四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面，
因为且，故四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，则，
平面，平面，平面，
，、平面，所以，平面平面，
平面，平面.
3．（·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，M，N，P，D分别为CC1，BC，AB，的中点，求证：PN∥面ACC1A1

【答案】证明见解析
【解析】∵P，D分别为，的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，
∵D，N分别为，BC的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，又，
∴平面平面，
又∵平面PDN，
∴平面．
4．（·河南驻马店）如图所示，在直角梯形BCEF中，，A，D分别是BF，CE上的点，且，，将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE，AC，证明：面BEF

【答案】证明见解析
【解析】方法一：取ED中点H，连接HA，HC，HF，如下图：

由题意可知,即四边形AFEH为平行四边形，
可得，面EFB, 面EFB，可得面EFB，
四边形AFHD为平行四边形，则，，
可得四边形BCHF为平行四边形，则，面EFB, 面EFB，
可得面EFB，，面AHC, 面AHC,
根据面面平行的判定定理可得面面AHC，面AHC,
从而可得面EFB．
方法二：在面AFED内，延长EF，DA交于G点，连接BG，如下图：

则面EFB．由条件，则．
从而可得，四边形AGBC为平行四边形．
可得，又面EFB，面EFB，
根据线面平行的判定定理可得面EFB．
5．（·湖南）如图，在长方体中，，分别是线段，的中点.证明：平面

【答案】证明见解析
【解析】设为的中点，连接，，
则，，
又平面，平面，平面，
所以平面，平面，

又平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面；
6．（·重庆八中高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与相交于点O，F点是的中点，E点在线段上，且．求证：直线∥平面

【答案】证明见解析；
【解析】取的中点，连接CG、GF、EO．

∵，
则，
∵点是的中点，故，且平面，
故平面．
又，故是的中点，是的中点，
则，且平面，
故平面，且，
故平面平面．
又平面，故平面．


题组六 线面垂直的性质

1．（·河南南阳）如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，为的中点．求证：平面

【答案】证明见解析
【解析】证明：取的中点，连接、，
因为、都垂直于平面，则且，
因为、分别为、的中点，则且，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面.

2．（·广东揭阳）圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，.证明：面

【答案】见解析
【解析】证明：连接，，，可得平面，
∵平面，∴，
∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴且，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面；

3．（·山西临汾）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将分别沿折起，使，得到如图（2）所示的几何体．求证：

【答案】证明见解析；
【解析】图（1）中，，则，而，即，
在中，，有，
同理可得，则，
图（2）中，，则，而，平面，则有平面，
在中，，则，又，，平面，因此平面，
所以.
4．（·河南·三模）多面体ABCDE中，与均为边长为2的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点.求证：平面ECD

【答案】证明见解析
【解析】证明：因为为等腰三角形，F为BC的中点，所以AF⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，平面平面，平面ABC.
所以AF⊥平面BCD，取CD的中点G，连接EG，因为是等边三角形，所以EG⊥CD，因为平面CDE⊥平面BCD，交线为CD，且EG平面CDE，所以EG⊥平面BCD，所以，
又平面ECD，平面ECD，所以平面ECD.

5．（·全国·高三专题练习）如图，在多面体中四边形是正方形，平面，平面，.证明：平面平面.

【答案】证明见解析
【解析】证明：∵平面，平面，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵四边形是正方形，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵平面，平面，且，
∴平面平面.
6．（·全国·高三专题练习）如图所示的多面体中，四边形为矩形，，平面，求证：平面.

【答案】证明见解析
【解析】因，则，，而，平面ABCD，于是得平面ABCD，
因平面ABCD，则有，而平面BCF，平面BCF，从而得平面BCF，
在矩形ABCD中，则，平面BCF，平面BCF，于是得平面BCF，
而，平面ADE，因此，平面平面BCF，平面ADE，
所以平面BCF.
7．（·全国·课时练习）如图，是正三角形，和都垂直于平面，且，，是的中点，求证：平面．

【答案】证明见解析
【解析】证明：取的中点，连接，，可得，．因为平面，平面，所以．
又因为．所以，．所以四边形是平行四边形，所以．
又因为平面，平面，所以平面．


7.2 空间几何中的垂直（精练）（基础版）
题组一 线线垂直

1．（·云南师大附中高三阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．证明：

【答案】证明见解析；
【解析】连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，所以在上，，
又点在平面的射影为点，即平面，平面，所以，
又，所以平面，又平面，所以.

2．（·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝，证明：


【答案】证明见解析
【解析】证明：取的中点，连，，
∵为等边三角形，且是边的中点，
∴，
∵平面底面，且它们的交线为，
∴平面，则，
∵，且
∴平面，
∴；
3．（·全国·高三专题练习）在四棱锥中，底面．证明：

【答案】证明见解析；
【解析】证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以；

4．（·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，， 是的中点，点在棱上．

(1)求四棱锥的全面积；
(2)求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，
∴BC⊥BP，∴,
同理可得,
∴
.
(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．
∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．
5．（·全国·高三专题练习）如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC．


(1)若D是BC的中点，求证：；
(2)过侧面的对角线的平面交侧棱于M，若，求证：截面侧面．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】(1)证明：∵，D是BC中点，∴，
∵底面侧面，交线为BC，
∴侧面，
又∵侧面，
∴；
(2)证明：取中点E，连接DE，ME，
在中，D，E分别是BC，的中点，∴且
又且，∴且，
∵，
∴且，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴，
由（1）知面，∴侧面，
又∵面，
∴面侧面．

6．（·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知四棱锥中，平面平面，底面为矩形，点E在AD上，且，，为的中点，，．

(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：如图所示，连接，因为平面平面，且，为AB的中点，所以，所以平面，因为平面，所以，因为四边形为矩形，，所以，，且，所以，所以，又因为且平面，所以平面，因为平面，所以.
（2）解：设，点到平面的距离为，由（1）知平面，所以，所以 ，因为，即，所以，解得，即点到平面的距离为.
7．（·河南安阳）如图，在三棱锥中，底面ABC是直角三角形，，，D为AB的中点．


(1)证明：；
(2)若，，求点A到平面PDC的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：取中点，连接，，
因为底面是直角三角形，，所以，
因为D为AB的中点，所以，所以，
又，所以，
因为，平面，，所以平面，
因为平面，所以.


(2)连接，，
由（1），因为，，，所以，
因为，所以，
又，所以，即，
因为，，，平面，
所以平面，
所以，
因为是的中点，所以，
因为直角三角形，所以，
因为平面，平面，所以，
又，所以，
所以在等腰中，边上的高为，
所以，
设点A到平面PDC的距离为，因为，
所以，则，
所以点A到平面PDC的距离为.

8．（·四川成都）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，在底面内的射影分别为，．

(1)求证：；
(2)求到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为在底面内的射影为，所以面面，
又因为，面面，面
所以面，
又因面因此，
同理，
又,面,面
所以面，
又面,所以，
连接，易得，，又，
故，
又,面,面
因此面，
又面
即；
(2)
在中.
在中.
把到平面的距离看作三棱锥的高h，
由等体积法得，，
故，即，
故到平面的距离为．
题组二 线面垂直

1．（·广东珠海）如图，在三棱柱中，，点是的中点.

(1)求证：平面；
(2)若侧面为菱形，求证：平面.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面.
（2） 由，而，面，所以面，又面，则，由侧面为菱形，故，又，面，故平面.

2．（·山东省莱西市第一中学）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)证明：（1）取的中点，连接，，
∵是的中点，∴，，
∵和都垂直于平面，∴，
∵，∴，，
∴四边形为平行四边形，从而，
∵平面，平面，∴平面．

(2)证明∵垂直于平面，平面，∴，
∵，∴，
∵，平面，∴平面，
由（1）可知：，∴平面．
3．（·山东菏泽）如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，且，，.

(1)若F为PA的中点，求证平面PCD
(2)求证平面PCD.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)取PD中点E，连接EF、EC，如图所示

因为E、F分别为PD、PA中点，
所以，且，
又因为，且，
所以且，
所以四边形EFBC为平行四边形，
所以，
因为平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD
(2)因为，F为PA中点，
所以，则，
因为，平面PCD，
所以平面PCD.
4．（·北京平谷）如图，在三棱锥中，底面，，分别为，的中点.设平面与平面交于直线

(1)求证：平面；
(2)求证：∥.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】(1)因为 平面， 平面， 所以 .   
因为 ，， 所以 平面.
(2)在中，因为 ，分别为，的中点，所以 .   
因为 平面，平面，所以 平面.     
因为平面与平面交于直线，所以∥.
5．（·北京通州）如图，在三棱维中，，平面平面.

(1)求证：；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)在三棱维中，因，，平面，
于是得平面，而平面，
所以.
(2)在平面内过点A作于，如图，

因平面平面，平面平面，则有平面，而平面，
于是得，由（1）知，，平面，
所以平面.
6．（·广西钦州）如图，在三棱锥V—ABC中，M，N分别为的棱VA，VB的中点，，，△ABC和△ACV都是等腰直角三角形，平面VAC⊥平面ABC．

(1)求证：AB//平面CMN；
(2)求证：AB⊥平面VBC．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】(1)证明：因为M，N分别为的棱VA，VB的中点，
所以，
又平面CMN，平面CMN，
所以AB//平面CMN；
(2)证明：因为，，△ABC和△ACV都是等腰直角三角形，
所以，
因为平面VAC⊥平面ABC，平面VAC平面ABC，平面VAC，
所以平面，
又平面，所以，
因为，
所以平面.
7．（·广东江门）如图，四棱锥的底面是矩形，E为侧棱的中点，侧面是正三角形，且侧面底面．

(1)求证：平面；
(2)当为何值时，使得？
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又侧面是正三角形，E为侧棱的中点，
所以，
因为，，，
所以平面；
(2)设的中点为，连接，
则，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
所以是在平面上的射影，
要使得，只需要，
在矩形中，设，
由，可知，
又，
所以，
所以，
所以，即，
所以，
所以，
所以当为何值时，使得

8．（·湖北·鄂州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，.证明：

(1)平面PDC；
(2)PB⊥平面DEF.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)取PC的中点M，连接DM，MF.

∵M，F分别是PC，PB的中点，
∴，.
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，
∴，，
∴，，
∴四边形DEFM为平行四边形.
∴，
∵平面PDC，平面PDC.
∴平面PDC.
(2)
∵ 四边形ABCD为正方形，∴.
又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，
∴ AD⊥平面PAB.
∵平面PAB，∴.
连接AF，∵，F为PB中点，∴.
又，AD，平面DEF，
∴ PB⊥平面DEF.
9．（·河南·新蔡县第一高级中学）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.

(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在点P，使得平面？说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，P为的中点，理由见解析.
【解析】(1)由题知，平面平面，且交线为，
因为平面，所以平面，
又平面，故，
因为M为半圆弧上异于C，D的点，且为直径，所以，
又，且、平面，所以平面；
(2)当P为的中点时，平面，证明如下：
连接和交于O，因为为矩形，所以O为中点，
连接，因为P为中点，所，
又平面，平面，所以平面.

10．（·北京丰台）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．


(1)求证：直线平面ADF；
(2)求证：直线平面ADF；
(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【解析】(1)证明：在直角梯形中，，，将直角梯形绕边旋转至，
所以，
又，平面，
所以平面；
(2)证明：依题意可得且，
所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面；
(3)证明：因为平面平面，，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
过点作，交于点，

若选①，，，所以，
所以，此时，
所以


如图过点作交的延长线于点，
因为平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面，显然平面与平面不垂直；
若选②：，则，所以，，
所以，即，
又，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
若选③：，又，，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
题组三 面面垂直

1．（·四川省内江市第六中学）如图，底面是边长为2的菱形，平面，，与平面所成的角为.

(1)求证：平面平面；
(2)求几何体的体积
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：因为是边长为2的菱形，，所以和都是边长为2的正三角形，因为平面，所以、，又因为与平面所成的角为，所以，所以，取中点，连接、，又因为，，所以四边形为矩形，于是平面，，，又因为，取中点，连接、，因为，所以，因为，所以，所以为平面与平面构成二面角的平面角，又因为，，，所以，所以，所以平面平面．
（3） 解：因为平面平面所以平面平面设的中点，连接，有因为平面平面所以面，即是四棱锥B-CDEF的高易求     所以

2．（·湖北武汉·高三开学考试）在直三棱柱中，已知侧面为正方形，，D，E，F分别为AC，BC，的中点，，证明：平面⊥平面；

【答案】证明见解析
【解析】由题设条件可知，∵ 四边形为正方形∴∵ E，F分别为BC，的中点∴ ∴又∵ ∴∴，又∵且∴平面，又BF平面，∴平面⊥平面.
3（·全国·高三专题练习（文））如图，四面体中，，E为AC的中点．


(1)证明：平面平面ACD；
(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明详见解析(2)
【解析】(1)由于，是的中点，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
(2)依题意，，三角形是等边三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以当最短时，三角形的面积最小值.
过作，垂足为，
在中，，解得，
所以，
所以.
过作，垂足为，则，所以平面，且，
所以,
所以.

4．（·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，．

(1)证明：平面平面．
(2)设P是棱上一点，且，求三棱锥体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）连接.三棱柱中，，．则，则，则，∴，又∵，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面．

（2）取AB的中点D，连接CD，∵ ，∴ ，又由（1）知平面平面，平面平面则平面，且．则三棱锥的体积为，则三棱柱的体积为6，∵，∴在四边形中，，又∵四棱锥的体积为，∴三棱锥的体积为．
5．（·福建龙岩）如图，平行四边形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点，为线段的中点，，，.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】(1)连接交于，连接，易得为中点，又为线段的中点，则，
又平面，平面，则平面；
(2)由余弦定理得：，即，则，则，
平行四边形为矩形，则，又平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，则，又是半圆弧上的点，则，又，平面，则平面，又平面，则平面平面.



6．（·辽宁）如图，在直四棱柱中，四边形为菱形，且为棱上的一个动点.已知.

(1)当点为的中点时，证明：平面；
(2)若平面平面，求的长.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)连接，交于点，连接，

在菱形中，为的中点，又点为的中点，
所以，因为平面平面，
所以平面；
(2)连接,在直三棱柱中，平面，又平面，
所以，
由勾股定理可知，，
在菱形中，为中点，且，所以，
且，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
由于共面， 则 ,而，
故,故 ,
所以，
因为，所以.
7.3 空间几何体积及表面积（精练）（基础版）
题组一 柱锥台的表面积

1．（·青海）以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周 ，所得圆柱的侧面积为（       ）
A． B． C．32 D．16
【答案】A
【解析】以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径，高，故其侧面积．故选：A
2．（·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（       ）．
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
如图，由题意知为等腰直角三角形，则，底面圆周长为，
故圆锥的侧面积为.故选：D.
3．（·河北衡水·二模）已知某圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知母线长为，且上底面圆周为，下底面圆周为，易知展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3，则大圆半径为6，
所以面积.故选：C.
4．（·全国·高三专题练习）已知长方体的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段的长为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意知：，，故，则，所以.
故选：A.
5．（·全国·高三专题练习（理））已知圆锥的顶点为点，高是底面半径的倍，点，是底面圆周上的两点，当是等边三角形时面积为，则圆锥的侧面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设圆锥的高为h，母线为l，底面半径为r，
则由题意得h=r， ，
所以，
又，则，
所以圆锥的侧面积为，故选；D
6．（·全国·高三专题练习（理））《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意设圆锥的底面圆的半径为，因为为等腰直角三角形，则高为，母线长为，因为圆锥的体积为，所以，解得，所以该圆锥的侧面积为．
故选：C

题组二 柱锥台的体积

1．（·全国·高三专题练习）如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为，
则其面积为，得，
所以扇环的两个圆弧长分别为和，
设圆台的上底半径，下底半径分别为，圆台的高为，
则
所以，，又圆台的母线长
所以圆台的高为，
所以圆台的体积为．
故选：D.
2．（·山东·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，则它的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设该直角圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，
因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以，.
因为直角圆锥的侧面积为，所以，解得，
所以该直角圆锥的体积为.故选：B.
3．（·全国·高三专题练习）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为轴截面的顶角为，所以底角，
在中，依题意，
该圆形攒尖的底面圆半径，高，
则()，
所以该屋顶的体积约为.
故选：B.

4．（·湖北武汉·高三开学考试）年7月，台风“暹芭”登陆我国.某兴趣小组为了解台风“暹芭”对本市降雨量的影响，在下雨时，用一个圆台形的容器接雨水.已知该容器上底直径为56cm，下底直径为24cm，容器深18cm，若容器中积水深9cm，则平地降雨量是（       ）（注：平地降雨量等于容器中积水体积除以容器的上底面积）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【解析】根据题意可得，容器下底面面积为，上底面面积为,
因为容器中积水高度为容器高度的，则积水上底面恰为容器的中截面，
所以积水上底直径为cm，积水上底面面积为，
所以积水体积为，
则平地降雨量是cm.故选：B.
题组三 球的体积与表面积

1．（·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设球半径为，圆锥的底面半径为，若一个直角圆锥的侧面积为，
设母线为，则，
所以直角圆锥的侧面积为：，
可得：，，圆锥的高，
由，解得：，
所以球的体积等于，
故选：B

2．（·全国·高三专题练习）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，为球的直径，，则这个三棱锥的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图所示，由条件为直角三角形，则斜边的中点为的外接圆的圆心，
连接得平面，，
，，
平面，
三棱锥的体积为．
故选：C．

3．（·全国·高三专题练习）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（       ）


A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设储物盒所在球的半径为，如图，

小球最大半径满足，所以，
正方体的最大棱长满足，解得：，
∴，故选：D.
题组四 空间几何截面

1．（·全国·高三专题练习）若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（       ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】如图所示，设圆锥的高为h，底面半径为r，则侧面积为，轴截面为等腰三角形PAB，面积为，其侧面积为其轴截面面积的4倍，所以，解得：

故选：B
2（·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知圆锥的底面直径为，过一母线的截面是面积的等边三角形，则该圆锥的体积为________．
【答案】
【解析】由题意知：圆锥的底面半径；
设圆锥的母线长为，则，解得：，
圆锥的高，圆锥的体积.
故答案为：.


3．（·全国·高三专题练习）若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（       ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】如图所示，设圆锥的高为h，底面半径为r，则侧面积为，轴截面为等腰三角形PAB，面积为，其侧面积为其轴截面面积的4倍，所以，解得：

故选：B
4．（·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长为5，侧面积为，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为__________
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为r，则，
，
圆锥的高，
设轴截面中两母线夹角为，则，
，
所以当两母线夹角为时，过此圆锥顶点的截面面积最大，
最大面积为.
故答案为：
5．（·全国·高三阶段练习（文））古人为避雷和便于雨水下泄，常将屋顶设计成圆锥形状，多见于我国东南沿海地带，经测算某圆锥屋顶的轴截面为一个斜边长约为20米的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积约为______ 平方米.
【答案】
【解析】依题意，圆锥的底面半径为10米，母线长为米，
于是其侧面积为（平方米）.
故答案为：

7.4 几何法求空间角（精练）（基础版）
题组一 线线角

1．（·全国·模拟预测）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（       ）

A．30° B．90° C．45° D．60°
【答案】C
【解析】如图，在正方体中，连接交于，连接，因为，分别为，的中点，所以，所以异面直线与所成角即与所成角，易知．
故选C．

2．（·全国·高三专题练习）在长方体中，点E为的中点，，且，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
连接，由可得或其补角即为异面直线AE与BC所成角，又面，面，则，
则，同理可得，，则，，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.故选：C.
3．（·全国·高三专题练习（文））如图，在四面体ABCD中，平面BCD，，P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在四面体ABCD中，平面，平面，则，而，
即，又，平面，则有平面，而平面，
于是得，因P为AC的中点，即，而，平面，
则平面，又平面，从而得，
所以直线BP与AD所成的角为.故选：D
4．（·河南省）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】把三棱柱补成如图所示长方体，连接，CD，则，
所以即为异面直线与所成角（或补角）．
由题意可得，
，，
所以．
故选：B．

5．（·青海西宁·二模（理））如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，异面直线与所成的角为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】把展开图还原成正方体如图所示，
由于且相等，故异面直线与所成的角就是和所成的角，
故 (或其补角)为所求，
再由是等边三角形，可得.
故选：C.


题组二 线面角

1．（·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，M是的中点，连接，，．


(1)求证：；
(2)若，求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)连接，．
因为，M是的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，所以平面，
而平面，所以，
在矩形中，M是的中点，，，所以，
所以，而，，平面，所以平面，
而平面，所以．
(2)由（1）知，平面，所以，
在直角中，，所以，
因为，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，
而平面平面，平面平面，又，
所以平面，从而平面平面，且平面平面，
过B点作直线于H，则平面，
所以直线与平面所成的角即为，
在个，，，所以，，
因此直线与平面所成角的余弦值为．

2．（·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））如图，菱形ABCD中，把△BDC沿BD折起，使得点C至P处.


(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；
(2)若与平面ABD所成角的余弦值为，，求三棱锥P—ABD的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)1
【解析】(1)如图所示，取AC与BD的交点为O，连接PO，
∵四边形ABCD为菱形，现把△BDC沿BD折起，使得点C至P处，
，∴，
∵AC平面PAC，PO平面PAC，,
∴BD⊥平面PAC，又BD平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．
(2)作于H点，
∵，∴△PAC为直角三角形，
因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面，
所以PH⊥平面ABCD，所以，
∵PA与平面ABD所成角的余弦值为，即，
∴△PAC为等腰直角三角形，∴H与O重合，
∵，菱形ABCD中，
∴，
.

3．（·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期末）四棱锥，底面ABCD是平行四边形，，且平面SCD平面ABCD，点E在棱SC上，直线平面BDE.

(1)求证：E为棱SC的中点；
(2)设二面角的大小为，且.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）连AC交BD于F，连EF．∵ABCD是平行四边形，∴∵直线平面BDE，面PAC，面面，∴，由是中点，∴E为棱SC的中点；
（2）取DC中点O，OC中点G，连SO，OF，GE，BG
∵侧面SCD满足，不妨设∴，∵平面平面ABCD，平面平面∴平面ABCD，又平面ABCD，故，∵∴∵ ∴       ，∴，又，平面，∴平面∴是二面角的平面角∴，又，∴∴∴∴∴∴，∵∴，∴平面ABCD∴为直线EB与平面ABCD所成的角，即直线EB与平面ABCD所成的角的正切值为
4．（·浙江·诸暨市教育研究中心）如图，在三棱锥中，三角形是边长为2的正三角形，，为中点．


(1)求证：；
(2)若二面角等于，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：取中点，连接，因为正三角形，为中点，所以，因为分别为中点，所以，因为，所以，因为，所以平面，因为平面，所以．
（2）因为，，所以为二面角的平面角，，过作的垂线交于，连接，因为平面，平面，所以，又，，所以平面，所以为直线与平面所成角，因为三角形是边长为2的正三角形，，所以，所以.
5．（·河北保定）如图，已知正方体.

(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）连接.在正方体中，平面，所以，在正方形中，，因为，所以平面，因为平面，所以，同理可证得，因为，所以平面；
（2）过点E作于点F，连接，在正方体中，因为平面平面，平面平面，所以平面，又因为平面平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体的棱长为4，则，因为，所以，则，在中，，由余弦定理得，即，在中，，故直线与平面所成角的正切值为.
6．（·浙江）如图，在三棱锥A­BCD中，且AD⊥DC，AC⊥CB，面ABD⊥面BCD，AD＝CD＝BC，E为AC的中点，H为BD的中点.


(1)求证：AD⊥BC；
(2)在直线CH上确定一点F，使得AF∥面BDE，求AF与面BCD所成角的度数.
【答案】(1)证明见解析(2)45°
【解析】（1）证明:，为中点，所以，又面面，且面面，所以面，则，又,,,所以面，所以.
（2）
在CH延长线上取点F，使FH＝HC，且为中点，则四边形BCDF为平行四边形，又EH∥AF，EH⊂面BDE，AF⊄面BDE，∴AF∥面BDE，又AD⊥面BCD，∴∠AFD即为AF与面BCD所成的角，又DF＝BC＝AD，∴∠AFD＝45°，即AF与面BCD所成的角为45°
7．（·浙江）如图在四棱锥中，底面是边长的正方形，侧面底面，且，设，分别为，的中点.

(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）连接，因为四边形为正方形，且为的中点，所以为的中点，又因为为的中点，则，平面，平面，平面.
（2）因为四边形为正方形，则，因为平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，又，所以，即.又，平面，所以平面，所以即为与平面所成的角，设，则，，在中，所以，因为，所以，即与平面所成的角为.
8．（·浙江·诸暨市教育研究中心）如图，三棱柱的底面为菱形，，为的中点，且.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：以、、为基底，得，,，所以；同理可证，和是平面内两相交直线，所以平面.
（2）由已知四面体是正四面体，如图，是的中心，是的中点，，是正四面体的高，从而与底面上的直线垂直，是与平面所成的角，则，所以，．
题组三 二面角

1．（·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求：二面角C­-PB­-A的正切值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为平面，平面，所以，
因为AB是圆的直径，C是圆上的点，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面PAC⊥平面PBC.
(2)过作，垂足为，过作，垂足为，连，如图：

因为平面，平面，所以，
因为，所以平面，所以，
因为，，所以平面，所以，
所以是二面角C­-PB­-A的平面角，
因为，，，所以，所以，，，
因为，，所以，所以，
在直角三角形中，，
在直角三角形中,.
所以二面角C­-PB­-A的正切值为.
2（·北京·景山学校模拟预测）如图，正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点，平面平面，M是AB的中点．

(1)证明：平面BEF；
(2)若，求平面BEF与平面ABC夹角的大小．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：在等边中，为的中点，所以，
在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，所以平面，
过在平面内作，垂足为，
平面平面，平面平面，平面，，
平面，平面，平面．
(2)解：由题设平面，平面平面，
，
四边形是平行四边形，又且，
所以，
延长，，相交于点，连接，则、分别为、的中点，
则平面与平面所成的角就是二面角，
可知，，所以平面，
是二面角的平面角，
又，，
所以，即平面与平面所成的角为；


3．（·河北邯郸）已知四棱锥的底面为矩形，，，平面，是的中点.

(1)证明：平面；
(2)若与平面所成的角为45°，求二面角的正切值.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】（1）由条件可知，，满足，所以，又因为平面，平面，所以，且，所以平面；
（2）因为是与平面所成的角，所以，，因为，，，所以平面，取的中点，，垂足为点，连结，因为，所以平面，所以，，所以平面，所以，即是二面角的平面角，,，，所以，所以二面角的正切值为.

4．（·湖南）如图，在三棱锥中，

(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：取中点，连接，，.，又，故平面，又平面，.
（2） ，又又，故又平面取的中点，连接，由，得因是在平面内的射影是二面角的平面角，在中，.，故即二面角的正弦值为
.       
5．（·湖南） 在直三棱柱中，，分别是，的中点．

(1)求证：平面；
(2)若，，．求二面角的正切值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）取中点并连接，是的中点 ，是的中点 ，，，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，平面．

（2）连接 ，，，是的中点， ，同理可得，，因为二面角的平面角为，又 平面，平面， ，直三棱柱 平面，又平面，，又，平面 平面 ，易得，在中可得，所以二面角的正切值为
6．（·黑龙江·哈九中高一期末）如图（1），平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，将△ABC沿BC边折起如图（2），使______，点M，N分别为AC，AD中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．
①；②AC为四面体ABDC外接球的直径；③平面ABC⊥平面BCD．


(1)判断直线MN与平面ABD是否垂直，并说明理由；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)垂直，理由见解析；(2).
【解析】（1）若选①：，在中，，，，，可得，所以，又由，且,平面，所以平面，又因为平面，所以，又由，且,平面，所以平面，又因为，分别为，中点，可得，所以平面．若选②：为四面体外接球的直径，则，可得，又由，且,平面，所以平面，因为，分别为，中点，可得，所以平面．若选③：平面平面，平面平面，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，又由，且,平面，所以平面，因为，分别为，中点，可得，所以平面．
（2）若选①：∵MN⊥平面ABD，AN，平面ABD，∴MN⊥AN，MN⊥BN，且，，∴∠ANB为二面角的平面角，∵AB⊥BD，N为BD中点，，∴，∴，∴；若选②：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴，又∵∠ADC＝90°，CD＝1，∴，在中，BC＝2，CD＝1，∴，又∵AB＝2，∴，即AB⊥BD，∵MN⊥平面ABD，AN，平面ABD，∴MN⊥AN，MN⊥BN，且，，∴∠ANB为二面角的平面角，∵AB⊥BD，N为BD中点，，∴，∴，∴；若选③：平面ABC⊥平面BCD，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴，∵CD⊥平面ABD，平面ABD，∴CD⊥AD，又∵∠ADC＝90°，CD＝1，∴，∵MN⊥平面ABD，AN，平面ABD，∴MN⊥AN，MN⊥BN，且，，∴∠ANB为二面角的平面角，∵AB⊥BD，N为BD中点，，∴，∴，.
7．（·内蒙古）如图1，是等边三角形，是直角三角形，BD⊥BC，，将沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2.

(1)证明：BC⊥平面ABD；
(2)求平面ABC与平面BCD所成的二面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：由已知，折叠后的几何体是三棱锥，取的中点，连接，因为是等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面BCD＝BD，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，所以平面；
（2）解：由（1）知平面.因为平面，所以，又，所以平面与平面所成的角为，因为是等边三角形，所以，所以平面与平面所成角的正切值.
7.5 空间向量求空间角（精练）（基础版）
题组一 线线角

1．（·辽宁丹东·模拟预测）在三棱锥中，平面ABC，，是正三角形，M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，以AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，设
则

，则直线MN，PB所成角的余弦值为
故选：D．

2．（·贵州毕节·三模（理））在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点P是底面ABCD内一动点，且，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，连接交于点，连接，
因为四棱锥为正四棱锥，可得底面，
由底面边长为，可得，所以，
在直角中，，可得，
又由，在直角中，可得，
即点在以为圆心，以为半径的圆上，
所以当圆与的交点时，此时两点间距离最小，最小值为，
以分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
则，可得，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
故选：A.

3．（·青海·模拟预测（理））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．

【答案】
【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，，
所以可得，
所以，
所以，
所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.
故答案为：.

4．（·全国·高三专题练习）如图所示，是棱长为的正方体，、分别是下底面的棱、的中点，是上底面的棱上的一点，，过、、的平面交上底面于，在上，则异面直线与所成角的余弦值为___________．

【答案】
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，，
设点，，，
因为，所以，，即点，
，，
所以，.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
题组二 线面角

1．（·上海市七宝中学高三阶段练习）如图所示，在长方体中，，，是棱上的点，且．

(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由，．
(2)以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，则，
，．   
设平面的一个法向量为，则
，，
即，
令，则
设直线与平面所成角的为，则
，
所以设直线与平面所成角的正弦值为

2．（·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，底面，的中点为，四面体的体积为，四边形的面积为.

(1)求到平面的距离；
(2)设与交于点O，是以为直角的等腰直角三角形且.求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：因为为的中点，，所以，
设到平面的距离为h，则到平面的距离为，
因为，
即，
即，得，即到平面的距离.
(2)因为是以为直角的等腰直角三角形，由（1）知，所以，
如图，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

则点，，，，.
则，，.
设平面的法向量为，
则由解得.
令，则，于是平面的一个法向量为.
所以直线与平面所成角的正弦值为
.
故直线与平面所成角的正弦值为.
3．（·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝．


(1)证明：；
(2)点在棱上，且＝，求直线与平面的夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：取的中点，连，，
∵为等边三角形，且是边的中点，
∴，
∵平面底面，且它们的交线为，
∴平面，则，
∵，且
∴平面，
∴；
(2)由（1）知，面，
，
故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，


易求
各点坐标如下，


则
设平面的一个法向量为
则

令，得平面的一个法向量为

4．（·全国·高三专题练习（理））如图，四面体中，，E为的中点．

(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)与平面所成的角的正弦值为
【解析】(1)因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
(2)连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以,
在中，，所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.

5．（·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，E分别是，AB的中点，且.
(1)证明：；
(2)求与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）法一：（1），D为BC中点， 在直三棱柱中,平面ABC，又AD平面ABC，.又，平面，平面,又平面，.法二:如图建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=2a，则，，，，，，，，
（2）法一：由（1）得，平面，设AB=a，由得,.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则，，，，，，设为平面的一个法向量，即令， 设与平面所成角为，则法二：，D为BC中点，在直三棱柱中，平面ABC，又AD平面ABC，又，平面，平面,设AB=a，由得，.则，，，，，，，设为平面的一个法向量，，即令，，设与平面所成角为，则.

题组三 二面角

1．（·广东惠州·高三阶段练习）如图，在五面体中，为边长为2的等边三角形，平面，，.

(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)取的中点为，的中点为，连接，，，
因为平面，平面，故，
而为等边三角形，，所以，
又M、N分别为BE、AB所在棱的中点，所以，
又，，所以，，故四边形为平行四边形，
所以，
则，，
又，平面，所以平面，
而平面，故平面平面.
(2)
由（1）可知，为直线与平面所成角，
设，则，，
则，解得
法一：向量法（通性通法）如图建立空间直角坐标系，
则、、
∴、
设平面的法向量，则，
令，解得，，则
∵平面，∴是平面的一个法向量
∴
所以平面与平面所成的锐二面角余弦值为.

法二：几何法：延长ED交AC的延长线于S，连接BS，则平面平面
由（1）易知，，则，所以平面，
又平面，所以，，
故为平面与平面所成的锐二面角，

又，则，故
所以平面与平面所成的锐二面角余弦值为.
2．（·全国·高三专题练习（理））如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，平面平面.

(1)证明：.
(2)若四棱锥的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】(1)因为在中，，故，所以，解得，故，故.又平面平面且交于，故平面，又平面，故
(2)由（1）结合锥体的体积公式可得，故，解得.又 故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.

则，，，故，，设平面的一个法向量为，则，即，令有，故，又平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则
3．（·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.

(1)证明：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为；
①求三棱锥P-ACE的体积；
②求二面角P-AC-E的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【解析】（1）证明：∵平面，平面，∴.∵，有，且ABCD是直角梯形，∴，即，∴.∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴平面平面
（2）①由（1）易知平面，∴即为直线与平面所成角.∴，∴，则∴.②取的中点G，连接，以点C为坐标原点，分别以、、为x轴､y轴､z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，设为平面的法向量，则，，得，取，，得设平面的法向量，则，，取，，，得.∴.所求二面角为锐角，二面角的余弦值为.
4．（·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在等边中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足，记.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．

(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；
(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B­MD­E的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值大小．
【答案】(1)
(2)不改变，
【解析】(1)取的中点为，连接，，

因为，，所以NP∥BC，
又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四点共面，
又EN∥平面BMD，EN⊂平面NEDP，
平面NEDP∩平面MBD＝DP，
所以EN∥PD，即NEDP为平行四边形，
所以NP＝DE，则DE＝BC，即λ＝.
(2)
取的中点，连接MO，则MO⊥DE，因为平面MDE⊥平面DECB，
平面MDE∩平面DECB＝DE，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，
如图建立空间直角坐标系，

不妨设，则，，，
所以，，
设平面的法向量为，则
，即，
令，即.
又平面的法向量，
所以，
即随着值的变化，二面角的大小不变．
且.
所以二面角的正弦值为.
5．（·山西大同·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，是底角.

(1)求证：平面平面.
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】(1)证明：因为平面平面，
平面平面，平面
∴平面
又平面，所以
又，且
∴平面
又平面，所以平面平面
(2)
取的中点O，连接
如图：以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系
则点
，，，

设平面的法向量
则有取,
设平面的法向量
即，取，可得
即平面的一个法向量
设二面角大小为，由图知为锐角

6．（·广东惠州·高三阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥CD，BC=BP，CD=2AB=4，△ADP是等边三角形，E为DP的中点.

(1)证明：AE⊥平面PCD；
(2)若，求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)取的中点，连接，，


因为是等边的中线，所以
因为是棱的中点，为的中点，
所以，且
因为，，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以.
因为，为的中点，所以，从而.
又，且平面，平面，
所以平面.
(2)
由（1）知，又，，且､平面，
所以面，从而平面.
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.


则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
由得
令，则，，所以.
又平面的一个法向量为，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
7.6 空间向量求空间距离（精练）（基础版）
题组一 点线距

1．（·湖南益阳）在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（       ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，得，，，
，，
所以在上的投影为，
所以点到直线的距离为故选：B

2．（·山东）点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______．
【答案】
【解析】由题意，点和，可得，且，
所以点到直线的距离是.
故答案为：.
3．（云南）如图，已知三棱柱的棱长均为2，，．

(1)证明：平面平面ABC；
(2)设M为侧棱上的点，若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求点M到直线距离．
【答案】(1)见解析(2)
【解析】(1)取AC的中点O，连接，，，所以由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以，
由，，所以所以平面ABC；
平面,所以平面平面ABC；

(2)以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
所以

设可得，
设平面的法向量为则
即取
所以因为为平面ABC的一个法向量，
设平面与平面ABC夹角为，

解得，所以

所以点M到直线距离

题组二 点面距

1．（·新疆）如图所示，在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，点在上，，与平面成的角．

(1)求证：平面；
(2)点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】（1）以点为空间直角坐标系的坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建如图所示的空间直角坐标系，证明：∵平面，∴为与平面成的角，∴．∵，∴，，∴，，，，．∴，，．设平面的法向量为，由，即，可得，，∴．又，∴，又不在平面内，∴平面．


（2）取的中点，如图所示，则，，，∴．又，∴，即，又，平面，平面，∴平面，∴ 是平面的法向量，平面的单位法向量为，又，∴点到平面的距离为
2．（·重庆一中）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，平面ABCD，求证：

(1)平面SAC；
(2)若，求点C到平面SBD的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，，又四边形ABCD为正方形，，又，平面；
（2）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，所以两两垂直，所以以A为坐标原点，AB､AD､AS分别为x､y､z轴建立空间直角坐标系则，所以，，设平面BDS的法向量为，则，令，则所以点C到平面SBD的距离
3．（·上海）如图，是矩形，平面，，，、分别是、的中点，求点到平面的距离.

【答案】
【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则、 、、、，
、分别是、的中点，，

设为平面的一个法向量，，，
即且，
令，得，
在上的射影长，即点到平面的距离.

4．（·北京）已知，分别是正方形边，的中点，交于，垂直于所在平面．


(1)求证：平面．
(2)若，，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：如图所示，连接交于，因为是正方形边，的中点，，所以，又因为垂直于所在平面，平面，所以，因为且平面，所以平面．
（2） 解：建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，则，，，，可得，，设平面的法向量，则，令时，可得，所以又因为向量，则点到面的距离.

5．（·全国·高三专题练习）在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)求证见解析(2)(3)
【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为面是边长为2的正方形，，且，为的中点，所以，，，，，，，所以，因为平面的法向量可以为，所以，即，又平面，所以平面；
（2）解：因为，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，因为平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面，所以平面的法向量可以为，设二面角为，由图可知二面角为钝角，则，所以二面角的余弦值为；
（3）解：由（2）知平面的法向量为，又，设点到平面的距离为，则所以点到平面的距离；
6．（·湖南·周南中学）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．

(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；
(2)若二面角是直二面角，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：取线段中点，连接、，
由图1可知，四边形EBCF是矩形，且，
∴O是线段BF与CE的中点，且，
在图1中知且，且，
所以在图2中，且，且，
∴四边形是平行四边形，则，
由于平面，平面，∴平面.


(2)由图1，，折起后在图2中仍有，，
∴即为二面角的平面角，∴，
以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系，
则、、、、，
∴
设平面的一个法向量为
由，得，取，则
于是平面的一个法向量
点B到平面的距离为.
7．（·重庆长寿）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点．

(1)求直线DE和PF夹角的余弦值；
(2)求点E到平面PBF的距离．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)因PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，则PD、DA、DC三线两两互相垂直，
如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则，
则直线DE的方向向量，直线PF的方向向量，
，
所以直线DE和PF夹角的余弦值为.
(2)由（1）知，，，，
设平面PBF的法向量，则，令，得，
所以点E到平面PBF的距离为.
8．（·河北唐山）如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为的中点．

(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦；
(2)求点A到平面BDF的距离．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)在长方体中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．
由已知AB＝＝1，
可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．
又AD⊥平面从而BD与平面所成的角即为∠DBA＝30°，
又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝
从而易得
∵＝＝（－1，0，1）．
设异面直线AE与BF所成的角为，
则．
即异面直线AE、BF所成的角的余弦为

(2)设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．
＝，＝（－1，0，1），＝（2，0，0）．
由 ∴ ，即取＝
所以点A到平面BDF的距离
题组三 线线距

1．（·全国·课时练习）如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是______．

【答案】
【解析】以为坐标原点，分别以，,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,,,,
∴,,
设是，的公垂线方向上的单位向量，
则，即①，
，即②，
易知③，
联立解得，，或，，；
不妨取，
又∵,
则异面直线与的距离，
故答案为：.

2．（·福建）如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为______.

【答案】
【解析】
以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，易知，
，设同时垂直于，由，令，得，
又，则异面直线，EN间的距离为.
故答案为：.
3．（·浙江）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．

【答案】
【解析】

建立如图所示的空间直角坐标系，则有：
，，，，，
可得：
设，且
则有：，
可得：
则有：
故

则当且仅当时，
故答案为：
4．（·湖北）如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC1=3CM，则直线BM与B1N之间的距离为____.

【答案】
【解析】正方体的棱长为1，如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，

则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，，，∴=(0，0，1)，，.
设直线BM与B1N的公垂线方向上的向量，由，，
得，令x=2，则z=6，y=-7，∴，
设直线BM与B1N之间的距离为d，则d===.
故答案为：.
题组四 线面距

1．（·重庆一中）如图，在正三棱柱中，已知，D为的中点，E在上．

(1)若，证明：DE⊥CE；
(2)若平面CDE，求直线和平面CDE的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：因为，，
由余弦定理，
所以，
又因为平面，平面，
所以，
由于，
故DE⊥平面，
而平面，
故DE⊥EC；
(2)以C为坐标原点，CA为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

此时，，，，，
设，
此时，，
设平面CDE的一个法向量为，
则，即
，
因为平面CDE，
所以，
故，
即，
解得，
故
由于平面CDE，直线和平面CDE的距离等于点和平面CDE的距离．
此时，，
取，
所以点和平面CDE的距离，
所以直线和平面CDE的距离为.
2．（·河南）如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求：

(1)顶点B到平面的距离；
(2)直线到平面的距离．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)以点D为原点，分别以、与为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．则，，，，，，，.

设平面的法向量为，所以，．因为，，由，得，不妨取，则.
而向量，
所以B到平面的距离；
(2)直线到平面的距离等于到平面的距离．
因为，
所以到平面的距离．
3．（·北京市）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，在棱上取点，使得平面.

(1)求证：为中点；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求直线到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【解析】(1)连接，交于点，则平面平面，
又因为平面，平面，则，
由于底面为正方形，所以点为的中点，
因此可得为中点.
(2)由（1）知是的中点.
由于平面，所以，
故两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
，
设平面的法向量为，
所以，故可设，
平面的法向量为，
平面与平面夹角为，
则.
(3)
由于平面，则到平面的距离，即到平面的距离.
,
到平面的距离为.
即直线到平面的距离为.

题组五 面面距
1．（·河北）正方体的棱长为，则平面与平面的距离为_______.

【答案】
【解析】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
因为，
所以，且，
所以平面平面，
所以平面与平面的距离等于点到平面的距离，
又因为，所以.
故答案为：.

2．（·全国·高二专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)法一:证明：连接分别为的中点，
分别是的中点，
，平面，平面，
平面，平行且等于，
是平行四边形，，
平面，平面，平面，
，平面平面；
法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，

则，
，
，
，，，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
又，平面平面，
(2)
法一:平面与平面的距离到平面的距离．
中，，，，
由等体积可得，．
法二:
设平面的一个法向量为，
则，则可取，
，
平面与平面的距离为
3．（·湖南）在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求平面与平面之间的距离．
【答案】
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，
，，则，
因为、不在同一条直线上，则，
平面，平面，则平面，
同理可证平面，，故平面平面，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
又因为，因此，平面与平面之间的距离为.
4．（·湖南）在正方体中，M，N，E，F分别为，，，的中点，棱长为4，求平面MNA与平面EFBD之间的距离．
【答案】．
【解析】以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
，
设平面的一个法向量是，
则，取得，
又，
，
所以平面MNA与平面EFBD之间的距离．

5．（·湖南）如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点．

(1)求证：平面平面EFG；
(2)求平面与平面EFG间的距离．
【答案】(1)证明见详解；(2)﹒
【解析】(1)∵E是AB中点，F是BC中点，
∴连接AC得，EF∥AC，
∵是平行四边形，
∴，
又平面平面，
∥平面，
同理，连接可得，可得EG∥平面，
与平面EFG，
∴平面∥平面EFG﹒
(2)如图：

以D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz﹒
则
∴，
设平面的法向量为，
则，取，
则平面与平面EFG间的距离为
7.7 空间几何的外接球（精练）（基础版）
题组一 汉堡模型

1．（·全国·高三专题练习）一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（       ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】设球的半径为，则 ，解得
设四棱柱的高为 ，则 ，解得 故选：C
2．（·全国·高三专题练习）圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为，则球的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，
所以，解得：，则球的体积为故选：A
3．（·全国·模拟预测）已知在三棱锥中，平面SBC，，，，则该三棱锥外接球体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，将三棱锥补成以AC为侧棱的直棱柱，设△BCS外接圆圆心为，半径为r，设△ADE外接圆圆心为，连接，，，取的中点O，则点O为三棱锥外接球球心，连接CO，设该三棱锥外接球半径为R，在△BCS中，，所以.在中，，所以该三棱锥外接球体积为，

故选：B.


4．（·全国·高三专题练习）在三棱锥中，已知平面，，且，，，则该三棱锥外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由平面，，知三棱锥可补形为以，为长宽高的长方体，三棱锥的外接球即长方体的外接球，设外接球的半径为，则，所以．
故选：A
5．（·全国·高三专题练习（文））我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球的球面上，且该“鳖臑”的高为，底面是腰长为的等腰直角三角形．则球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：

在三棱锥中，平面，且，，
因为平面，、、平面，则，，，
，，平面，平面，，
所以，三棱锥的四个面都是直角三角形，且，
，
设线段的中点为，则，
所以，点为三棱锥的外接球球心，
设球的半径为，则，因此，球的表面积为.
故选：A.
题组二 墙角模型

1．（·沈阳市）（多选）一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】设长方体未知的两棱长分别为，则，，
设外接球半径为，则，
球体积为，，当且仅当时等号成立，
所以．故选：BCD．
2．（·黑龙江）长方体的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为______.
【答案】
【解析】因为长方体的外接球的直径为长方体的体对角线，长方体的长、宽、高分别为2，2，1，
所以长方体的外接球的直径，
故长方体的外接球的半径为，
所以球的表面积为.故答案为：
3．（·贵溪市）棱长为的正四面体的外接球体积为___________.
【答案】
【解析】如图，棱长为的正四面体可以嵌入到棱长为的立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的立方体的外接球相同.
设立方体的外接球半径为，则，
所以立方体外接球的体积.
故正四面体的外接球体积为.
故答案为：

4．（·云南）在三棱锥中，已知，，两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为
【答案】
【解析】以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体被平面ABC所截的三棱锥符合要求，如图：

长方体与三棱锥有相同外接球，其外接球直径为长方体体对角线长，
设外接球的半径为，则，
则所求表面积.
5．（·吉林长春市）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为
【答案】
【解析】正四棱柱即长方体，其体对角线长为，
因此其外接球的半径为，则其表面积为，故选:B.
6．（·河南）在四面体中，平面，三内角，，成等差数列，，，则该四面体的外接球的表面积为
【答案】
【解析】由题意，内角成等差数列，可得,
因为，可得，即，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
所以，所以，
所以该四面体的外接球与该长方体的外接球是相同的，
根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得，解得，
所以该四面体的外接球的表面积为.

题组三 斗笠模型

1．（·黑龙江）某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为，则展开后扇形的弧长为，
再设圆锥的底面圆半径为，可得，即，
圆锥的高为，
设圆锥外接球的半径为，则，解得．

圆锥的体积为，
圆锥外接球的体积，
∴该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为．故选：C．
2．（广西）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为，则球O的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设底面半径为，圆锥母线为，所以，所以，
如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，是圆锥底面的圆心，
设球半径为，则，，所以，
如图1，，即，
解得，不符合题意，
当为如图2时，即，
解得，所以球表面积为．
故选：A．


3．（·宁夏银川市）已知一个圆锥的底面圆面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为，圆锥的外接球半径为，
则，可得，
由于圆锥的侧面展开图是半圆，则，可得，，
由圆锥的几何特征可知，圆锥的外接球心在圆锥的轴上，
所以，，解得,
因此，该圆锥的外接球的表面积为.
故选：B.
4．（·河南）一圆台的两底面半径分别为，高为，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设该圆台的外接球的球心为，半径为，
则或，解得，
所以该圆台的外接球的表面积为.
故选：C.
5．（·浙江）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥母线为，底面半径为，
则，解得，
如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，设球半径为，
，，
，，
所以球表面积为．
故选：A．

题组四 L模型

1．（·安徽·巢湖市第一中学）已知三棱锥中，平面平面，且，，若，则三棱锥外接球的表面积为（       ）
A．64π B．128π C．40π D．80π
【答案】D
【解析】由题意得，平面，将三棱锥补成三棱柱，如图，

则三棱柱的外接球即为所求.
设外接球的球心为，则的外心为，则，
又，则外接球的半径，
表面积，故选：D
2．（·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习（理））已知三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】取的中点，连接，，如图所示：

因为，所以为的外接圆圆心，
又因为，为的中点，所以.
因为平面平面，所以平面，
所以三棱锥的外接球球心在直线上.
在上取一点，使得，即为三棱锥的外接球球心，
设，，所以，
.
在中，，
所以，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：
3．（·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是___________.
【答案】
【解析】
如图所示：设点D为AB的中点，O为外接圆的圆心，∵，∴O在CD上，且，
，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面PAB，
又AB，平面PAB，∴，，在中，，D为AB的中点，∴，
∴，∴O即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径，
∴该三棱锥外接球的表面积.
故答案为：.
4．（·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，
则外接圆圆心在DE上，且，
解得，设三棱锥外接球球心为O，
连接，，过作，垂足为，
由平面平面，得，故四边形为矩形，

因为，
所以，
且，
所以，设三棱锥外接球半径为R，
有，
又，
所以，解得，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故选：D.
5．（·重庆八中高三阶段练习）在三棱锥中、平面平面，，且，则三棱维的外接球表面积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，为直角三角形，故在三棱维的外接球的一个切面圆上，为该圆直径；
又平面平面，故外接球的球心在所在的平面内，又，故为等腰三角形，球心O在BD边中线所在直线上 ，点到线段的距离为，设外接球的半径为，则，
解得，则外接球的表面积为.
故选：C.

6．（·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知四棱锥中，平面平面ABCD，其中为正方形，是边长为2的等边三角形，则四棱锥外接球的表面积为（       ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】连接交于，球心在底面的射影必为点，取的中点，在截面中，连接，如图，

在等边中，的中点为，
所以，又平面平面，是交线，
所以平面，且，
设，外接球半径为，
则在正方形中，，，
在中，，
而在截面中，，
由可得：
解得，
所以，
所以．
8.1 定义域（精练）（基础版）
题组一 具体函数求定义域

1．（·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，故选：C
2．（·湖南·长郡中学）函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，解得，所以函数的定义域为.故选：B．
3．（·北京石景山·一模）函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】由，可得，所以函数的定义域是，故答案为：.
4．（·上海闵行）函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】依题意，，即，解得，
所以所求定义域为.故答案为：
5．（·上海市奉贤中学高三阶段练习）函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】由，得，所以，所以函数的定义域为，故答案为：
6．（·湖南·课时练习）求下列函数的定义域：
(1)；(2)；(3)；
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)要使函数有意义，需满足，解得故函数定义域为
(2)要使函数有意义，需满足，即，解得
故函数定义域为
(3)要使函数有意义，需满足，即 故函数定义域为
题组二 复合函数求定义域

1．（·辽宁）已知函数的定义域为，则的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意函数的定义域为，，所以，
解得或，所以的定义域为.故选：B
2．（·全国·高三）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得：，解得，由解得，故函数的定义域是 .
故选：D
3．（·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（       ）
A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．
【答案】C
【解析】由题设，若，则，∴对于有，故其定义域为.故选：C
4．（·安徽阜阳）已知，则的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知：且所以函数定义域为且
令且，所以且所以，所以的定义域为
故选：C
5．（·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，所以，所以．故选：B．
6．（·全国·高三专题练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域是，所以. 故选：D.
7．（·河南南阳）若函数的定义域为，则函数的定义域为______．
【答案】
【解析】 的定义域为 即 的定义域为
故答案为：
8．（·甘肃省会宁县第一中学）已知函数f(x)的定义域是[-1，1]，则函数f(log2x)的定义域为____．
【答案】
【解析】因函数f(x)的定义域是[-1，1]，则在f(log2x)中，必有，解不等式可得：，即，所以函数f(log2x)的定义域为.故答案为：
9．（·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】因为，所以，所以的定义域为，
要使有意义，需满足，解得.故答案为：
10．（·甘肃张掖市）已知函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】
【解析】由函数的定义域是，得到，故即
解得：；所以原函数的定义域是：
题组三 已知定义域求参数

1．（·福建·厦门一中）函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为函数的定义域是.所以不等式恒成立．
所以，当时，不等式等价于，显然恒成立；
当时，则有，即，解得.
综上，实数a的取值范围为.故答案为:
2．（·上海市控江中学）函数定义域为R，则实数k的取值范围为______.
【答案】
【解析】因为函数定义域为R，所以在R上恒成立，
所以，解得.故答案为：.
3.（年广东肇庆）已知的定义域为R，求实数的取值范围 .．
【答案】或．
【解析】由题设得：在时恒成立，
当时：
当时，恒成立；当时，不恒成立∴；
若，则或
综上所述：实数的取值范围是实数或．
4（年广东韶光）.函数.若的定义域为，求实数的取值范围 .
【答案】.
【解析】（1）当时，，的定义域为，符合题意；
（2）当时，，的定义域不为，所以；
（3）当时，的定义域为知抛物线全部在轴上方（或在上方相切），此时应有，解得；
综合（1），（2），（3）有的取值范围是.
5．（·全国·高三专题练习）函数的定义域是，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题意可得在上恒成立．
①当时，则恒成立，符合题意；
②当时，则，解得．综上可得，
∴实数的取值范围为．故答案为：.
6．（·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．
【答案】
【解析】当时，，即定义域为R；
当，要使的定义域为R，则在上恒成立，
∴，解得，综上，有，故答案为：
7．（·全国·高三专题练习）函数的定义域，则实数的值为________
【答案】3
【解析】由题意，函数有意义，满足，即，
又由函数的定义域为，，解得．故答案为：3.
8．（·全国·高三专题练习）若集合，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】题目所给集合研究对象为函数的定义域，依题意可知恒成立，故，即.
故答案为：.
9.（年广东肇庆）已知的定义域为R，求实数的取值范围 .．
【答案】或．
【解析】由题设得：在时恒成立，
当时：
当时，恒成立；当时，不恒成立∴；
若，则或
综上所述：实数的取值范围是实数或．
10．（·全国专题练习）若集合，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】题目所给集合研究对象为函数的定义域，依题意可知恒成立，故，即.
故答案为：.
8.2 解析式（精练）（基础版）
题组一 待定系数法求解析式

1．（·全国·高三专题练习）若是上单调递减的一次函数，若，则__．
【答案】
【解析】因为是上单调递减的一次函数，所以设，且，
，又因为，
所以，解得，所以故答案为：．
2．（·全国·高一课时练习）已知是一次函数，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【【解析】依题意，设，则有，解得，
所以.故选：D
3.．（·江苏·）（1）已知是一次函数，且，求；
（2）已知是二次函数，且满足，求.
【答案】（1）或 ；（2）.
【解析】（1）设，
则
因为，所以
所以解得或
所以或
（2）设
由，得
由
得
整理，得
所以 所以
所以
4．（·云南）（1）已知f（x）是一次函数，且满足f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋3，求f（x）的解析式．
（2）若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，求g（x）的解析式．
【答案】（1）f（x）＝－2x－9；（2）g（x）＝3x2－2x.
【解析】（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0），
则f（x＋1）－2f（x－1）＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b，
即－kx＋3k－b＝2x＋3不论x为何值都成立，
∴解得∴f（x）＝－2x－9.
（2） 设g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），∵g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，
∴解得
∴g（x）＝3x2－2x.

题组二 换元法求解析式

1．（·全国·高三专题练习）已知，且，则的值为_________．
【答案】3
【解析】令，则，所以，．故答案为：3．
2．（·全国·高一专题练习）已知，则有（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，，则，，，
所以函数的解析式为，．故选：B.
3．（·全国·课时练习）已知，则（       ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，；所以.故选：D.
4．（·全国·高三专题练习）已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，令，则，
所以，因此，.故选：B.
5．（·河南·临颍县第一高级中学高二阶段练习（文））已知，则（       ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以．故选：A
6．（·山西运城·高二阶段练习）已知函数满足，则（       ）
A．1 B．9 C． D．
【答案】D
【解析】令，则，所以，
所以函数的解析式为.所以故选：D.
7．（·全国·高三专题练习）设，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以
又因为，所以，
令，则，
，
所以.
故选：B.
8．（·江苏）设函数，则的表达式为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则且，所以，，因此，.
故选：B.
9．（·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学）已知f（ x-1）=2x-5，且f（a）=6，则a等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，可得，即，由题知，解得.
故选：B
10．（·陕西·略阳县天津高级中学二模（理））若，则等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
令，则，
所以，对于，即.
故选：A
11（·全国·高三专题练习）已知函数，求的解析式．
【答案】
【解析】由题意知，即或，
令，则．①   则（），
代入函数式得，由，得或．②
由①②知，，所以．
12．（·全国·课时练习）（多选）若函数，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】令，则，所以，则，故C错误；
，故A正确；，故B错误；
（且），故D正确．
故选：AD．
13（·黑龙江 ）若函数，则__________.
【答案】
【解析】令，则，，函数的解析式为.
故答案为：.
题组三 解方程组求解析式

1（·广东）已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（       ）
A．f(x)＝x2－12x＋18
B．f(x)＝－4x＋6
C．f(x)＝6x＋9
D．f(x)＝2x＋3
【答案】B
【解析】用代替原方程中的得：
f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9，
∴
消去得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，
.
故选：B
2．（·陕西安康）已知函数满足，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得，解得，其中，因此，.
故选：C.
3．（·广西）若函数满足，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数满足 ---①
所以 ---②
联立①②，得，解得，
∴
故选：A
4．（·全国·课时练习）已知，求的解析式 .
【答案】，.
【解析】利用方程组法求解即可：
因为，
所以，
消去解得，
故答案为：，.
5（广西）若对任意实数，均有，求=
【答案】.
【解析】利用方程组法求解即可；
∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
故答案为： .
6．（·全国·高三专题练习）已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为___________.
【答案】f(x)=2x
【解析】根据题意3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，
用x+2代替x可得3f(x+1)+2f(﹣1﹣x)=2x+4，…①
用﹣x代替x可得3f(﹣x﹣1)+2f(1+x)=﹣2x…②
①②消去f(﹣1﹣x)可得：5f(1+x)=10x+12，
∴f(x+1)=2x2(x+1)，
f(x)=2x，
故答案为：f(x)=2x.
7．（·湖北 ）已知函数满足，则___________.
【答案】
【解析】因为①，
所以②，
②①得，．
故答案为：．
8．（·全国·高三专题练习）若，则______．
【答案】
【解析】由①，
将用代替得②，
由①②得.
故答案为：.
9．（·江苏·南京市金陵中学河西分校高一期中）已知f(x)＋2f(－x)＝2x＋3，则f(x)＝______．
【答案】-2x+1
【解析】由f(x)＋2f(－x)＝2x＋3，得f(-x)＋2f(x)＝-2x＋3，两式联立解得f(x)＝-2x+1，故答案为：-2x+1
题组四 配凑法求解析式

1．（·广西北海 ）若函数，且，则实数的值为（       ）
A． B．或 C． D．3
【答案】B
【解析】令（或），，，，.故选；B
2．（·云南）已知，求的解析式 .
【答案】
【解析】，因为 所以，故答案为： .
3．（·全国·高三专题练习）已知，则__________.
【答案】，
【解析】
又当且仅当，即时等号成立.
设，则，所以
所以
故答案为：，
8.3 值域（精练）（基础版）
题组一 直接型

1．（·全国·高三专题练习）函数的值域为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，则且
又因为，所以，所以，
即函数的值域为，故选：B.
2．（·全国·高三专题练习）函数，的值域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，故作出其函数图象如下所示：

由图，结合二次函数的性质，可知：，，故其值域为.故选：B.
3．（·全国·高三专题练习）下列函数中，值域为(0，＋∞)的是（       ）
A．y＝3 B．y＝31－x
C．y＝ D．y＝
【答案】B
【解析】因为的值域为且；
的值域为；
y＝的值域为[0，＋∞)；
y＝的值域为[0，1)．
故选：B
4．（·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）函数的值域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，
因为函数在上单调递减，
所以当时函数的值域为，
则函数值域为，
故选：B.
5．（·上海虹口·二模）函数的值域为_________.
【答案】
【解析】因为，所以，当且仅当时取等号．
故答案为：．
6．（·全国·高三专题练习（理））函数的值域为______．
【答案】
【解析】当时，
当时，
综上可得，的值域为故答案为：
题组二 换元型

1．（·全国·高三专题练习）函数的值域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，得，
设，则，
所以，即函数的值域是.故选：C
2．（·全国·高三专题练习）函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，则，则函数等价为，
对称轴为，则当时，函数取得最大值，
即，即函数的值域为，，故选：．
3．（·全国·高三专题练习）函数的值域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设（），则，
所以，
因为，且，所以当时，取最大值为，即，
所以函数的值域为，故选：C
4（广东）.函数在，上的值域为 。
【答案】
【解析】，
令，因为，，所以，，
原函数的值域等价于函数的

题组三 分离常数型

1．（·全国·高三专题练习）函数y的值域是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
【答案】D
【解析】，∴y，
∴该函数的值域为．故选：D．
2. （广东）函数的值域是 。
【答案】，
【解析】，
，，则，
．即函数的值域是，．
3（福建）.函数的值域为 。
【答案】
【解析】，，，，，，即，即函数的值域为，
4（上海）．已知函数，则它的值域为 。
【答案】
【解析】，
，，，，，的值域为．
5（山东）已知函数，则该函数在，上的值域是 。
【答案】，
【解析】，在上单调递减，在，上单调递增，
（2）是在，上的最小值，且（1），（3），
在，上的值域为，．
题组四 已知值域求参数

1．（·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，又函数的值域为R，
则，解得．故选：C．
2．（·全国·高三专题练习）已知二次函数的值域为，则的最小值为（       ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【解析】由题意知，，，，
∴，当且仅当，即，时取等号.故选 ：D.
3．（·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
当时，；当或时，.
因此当时，函数在区间上的最小值为，
最大值为，所以，实数的取值范围是.
故选：C.
4．（·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】为开口方向向上，对称轴为的二次函数

令，解得：，       
即实数的取值范围为
故选：
5．（·全国·高三专题练习）若函数f（x），的值域是[﹣1，1]，则实数a的取值范围是（       ）
A．（﹣∞，] B．（﹣∞，﹣1]
C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
【答案】B
【解析】当x≥a，y＝sinx的值域为[﹣1，1]，而y＝f（x）的值域也恰好是[﹣1，1]，这说明：函数的值域是[﹣1，1]的一个子集．
则有，a≤﹣1．
故选：B．

6．（·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，所以；
当时，为递增函数，所以，
因为的值域为，所以，故，故选B.
7．（·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，求a的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，的值域为，符合题意；
当时，要使的值域为，则使 .
综上，.
故答案选A
8．（·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，
又对称轴为
，       
当时，       
值域为且时，
当时，，
令，解得
在上单调递增，在上单调递减
又       
当时，       

本题正确选项：.
8.4 单调性（精练）（基础版）
题组一 性质法

1．（·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，可得，解得或，
所以函数的定义域为，
二次函数的对称轴为，且在上的单调递增区间为，
根据复合函数的单调性，可知函数的单调递增区间是.故选：B.
2．（·全国·高三专题练习）函数单调递减区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，．由，得．
因为函数是关于的递减函数，且时，为增函数，所以为减函数，所以函数的单调减区间是．故选：C.
3．（·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中在区间上单调递减的函数有（       ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】A选项:根据幂函数中时在上单调递增，故此选项不符合题意；
B选项:将 图像向左平移一个单位，所以在上单调递减，所以符合题意；
C选项:保留图像在轴上方的部分，轴下方图像翻折到轴的上方，根据图像可知在上单调递减， 上单调递增，符合题意；
D选项：的图像由指数函数 图像向左平移一个单位得到，且底数大于1，所以在R上单调递增，所以不符合题意。故选：BC
4．（·浙江·高三专题练习）函数的单调增区间为___________.
【答案】
【解析】由得，函数的定义域是 R，
设，则在上是减函数，在 上是增函数，
∵在定义域上减函数，∴函数的单调增区间是
故答案为：
5．（·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是_____．
【答案】
【解析】，解得，
令，
对称轴为，所以函数在为单调递增；在上单调递减.
所以函数的单调递增区间是.
故答案为：
6．（·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为__________.
【答案】或
【解析】由题意得，解得，
，（），
令（），则，
因为在上递增，在上递减，
因为在上递减，
所以在上递减，在上递增，
故答案为：或
7．（·全国·高三专题练习）函数f(x)=lg(-)的单调增区间____________.
【答案】
【解析】令t=-＞0，求得0＜x＜2，故函数的定义域为{x|0＜x＜2}，
根据y=g（t）=lgt，本题即求函数t在定义域内的增区间，
再利用二次函数的性质求得函数t在定义域内的增区间为，
故答案为：．
8．（·江苏省阜宁中学高三阶段练习）函数的单调递增区间是_________，值域是______．
【答案】         
【解析】令，则由，可得．
又因为为减函数，而函数在区间上单调递增，在上单调递减．故在区间上单调递减，在上单调递增．
易知在区间上的值域为，
故的值域为．
故答案为：；
题组二 图像法

1．（·江苏南通·高三期末）（多选）下列函数在区间上单调递增的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A：为开口向上的抛物线，对称轴为，所以在区间上单调递减，故选项A不正确；
对于B：的定义域为，将的图象向右平移一个单位可得，因为在上单调递增，向右平移一个单位可得在上单调递增，所以在区间上单调递增，故选项B正确；
对于C：，所以在区间上单调递增，故选项C正确；
对于D：是由和复合而成，因为单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，故选项D不正确；
故选：BC.
2．（·全国·高三专题练习）已知函数，则的递减区间是____.
【答案】
【解析】由题意，
当时，函数单调递减；
当时，函数，在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数单调递增；
综上所述，函数的单调递减区间为，
故答案为：.
3．（·全国·高三专题练习（文））函数的单调减区间是_______．
【答案】
【解析】令，则
∵，∴在上单调递减
作出的图象

由图象可以在上单调递减，在上单调递增
∴在上单调递增，在上单调递减
故答案为：.
4．（·全国·高三专题练习）函数y=|-x2+2x+1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．
【答案】     ，     ，
【解析】作出函数y=|-x2+2x+1|的图像，如图所示，

观察图像得，函数y=|-x2+2x+1|在和上单调递增，在和上单调递减，
所以原函数的单调增区间是，，单调递减区间是，.
故答案为：，；，

题组三 导数法

1．（福建）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C．和 D．
【答案】D
【解析】因为，则，由可得，解得.
因此，函数的单调递增区间是.故选：D.
2．（北京）（多选）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】易知A，B，D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；
对于A，，所以在上单调递增；
对于B，（不恒为零） ，所以在上单调递增；
对于D，，所以在上单调递减．
故选：AB．
3．（河北）函数f(x)＝ln x－x的单调增区间是________.
【答案】(0，1)
【解析】f′(x)＝－1，令f′(x)>0，又x>0，∴0