清北教育高考数学二轮专题精练教师版2

这是一份清北教育高考数学二轮专题精练教师版2，共10页。试卷主要包含了共线定理，平面向量与其他知识的综合运用等内容，欢迎下载使用。
5.1 平面向量的线性运算及基本定理（精练）（基础版）
题组一 概念辨析

1．（·全国·高三专题练习）（多选）下面的命题正确的有（       ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
【答案】AD
【解析】对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，
可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.故选：AD.
2．（·全国·高三专题练习）（多选）下列说法正确的是（       ）
A．对于任意两个向量，若，且同向，则
B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为
C．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件
D．若，则与的夹角是钝角
【答案】BC
【解析】选项A：向量是既有大小又有方向的量，但不能比较大小，故选项A错误；
选项B：在单位向量上的投影向量为，故选项B正确；
选项C：若存在负数，使得，则；
若，则向量与的夹角为钝角或，故选项C正确；
选项D：若，则与的夹角是钝角或角，故选项D错误；故选：BC.
3．（·江苏）（多选）设是已知的平面向量，向量，，在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（       ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量，和正实数，，使，则．
【答案】ABD
【解析】对于选项A，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故A正确；
对于选项B，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；
对于选项C，取，无论取何值，向量都平行于x轴，而向量的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故C错误；
对于选项D，，又，不共线，
，即，即，
（当且仅当时等号成立），
，得，故D正确
故选：ABD．
4．（·全国·高三专题练习）（多选）设是已知的平面向量且，向量，和在同一平面内且两两不共线，关于向量的分解，下列说法正确的是（       ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使．
【答案】AB
【解析】对于A，给定向量，总存在向量，使，故A正确；
对于B，因为向量在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：
总存在实数和，使，故B正确；
对于C，设，给定，则不存在单位向量和实数，使，故C错误；
对于D， 设，给定，则不存在单位向量和单位向量，使，故D错误．
故选：AB．
5．（·东莞高级中学）（多选）关于平面向量，下列说法中错误的是（ ）
A．若且，则 B．
C．若，且，则 D．
【答案】ACD
【解析】A.若向量，则不一定平行，故错误；
B.根据向量的运算律可知，B正确；
C. ，且，所以或，故错误；
D.表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，与不一定相等，故错误.
故选：ACD
6．（·全国高三专题练习）（多选）已知是三个平面向量，则下列叙述错误的是（ ）
A．若，则
B．若，且，则
C．若∥，∥，则∥
D．若，则
【答案】ABC
【解析】对A，不一定共线，故A错误；
对B，平面向量的数量积没有消去律，故B错误；
对C，若，则的方向是任意的，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：ABC.
7．（·全国·高三专题练习）给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，，则；④的充要条件是且；⑤若，，则．其中正确命题的序号是________ ．
【答案】②③
【解析】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；
对于③，若,，则，显然正确，故③正确；
对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确，
对于⑤，当时，，，但推不出，故⑤不正确.故答案为：②③
题组二 共线定理

1．（·广东）已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【解析】因为､､三点共线，
所以存在实数λ，使得，
，
所以，
∴，解得.
故选：A.
2．（·河南省杞县）已知向量，不共线，，，若，则______．
【答案】6
【解析】因为，且，
所以存在，使得，即，
因为，不共线，所以解得，．故答案为：6.
3．（·全国）设两个非零向量与不共线，
（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使和共线．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：，，，


，共线，
又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
（2）和共线，
∴存在实数λ，使，
即，.
，是两个不共线的非零向量，

，.
题组三 平面向量的基本定理

1．（·黑龙江·哈尔滨三中）中，是边上靠近的三等分点，则向量（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为点是边上靠近的三等分点，所以，
所以；故选：C.
2．（·全国·模拟预测）在平行四边形中，设，，为的中点，与交于，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示，连接与交于，则为的中点，因为为的中点，
所以为三角形的重心，所以.故选：B.

3（·全国·高三专题练习）如图平面四边形ABCD中，，则可表示为（       ）


A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∵，
又，
∴，即.故选：D.
4．（·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，设，且，
则，
又因为，所以，解得，所以.故选：B.

5．（·全国·高三专题练习）在中，点D在边AB上，．记，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．故选：B．
6．（·全国·高三专题练习）在等边中，O为重心，D是的中点，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】O为的重心，延长AO交BC于E，如图，

E为BC中点，则有，而D是的中点，
所以.故选：D
7．（·河南）在△ABC中，，M为AD的中点，，则=（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取为基底.

利用向量的线性运算可得：
，
所以，所以=.故选：A
8．（·全国·高三专题练习）已知点是所在平面内一点，且，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，,，而 ，
所以，又，即，
所以.故选：D.
9．（·云南·一模（理））在中，是直线上的点.若，记的面积为，的面积为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
依题意作上图，
设 ，
由条件 ，
∴ ， ，，
∴点D在AB的延长线上，并且 ，
∴   ，
故选：D. .
10．（·辽宁沈阳·二模）（多选）如图，在方格中，向量，，的始点和终点均为小正方形的顶点，则（       ）

A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】如图所示，向量与向量方向不同，所以，故A不正确，
作向量与向量，可得，且，故B与C正确，
连接BD，则AC与BD互相垂直，所以向量与向量在向量上的射影的数量是相同的，
所以，故D不正确．
故选：BC.
   
11．（·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）（多选）在中，为中点，且，则（       ）
A． B．
C．∥ D．
【答案】BC
【解析】因为，则三点共线，且，
又因为为中线，所以点为的重心，
连接并延长交于，则为的中点，
所以，所以∥故选：BC．

12．（·全国·模拟预测）（多选）如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是BE的中点，直线AG分别与BD， BC交于点F，H设，，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】以A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
设，，则，，，，，．
又F为的重心，则，直线AG的方程为，直线BC的方程为，
联立解得，则，，，

因为，，
所以，，，．
故选：ACD．

13．（·全国·高三专题练习）在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______．
【答案】
【解析】由已知，得，
所以，
因为，所以，，所以．故答案为：
14．（·全国·高三专题练习）在边长为的等边中，已知，点在线段上，且，则________.
【答案】
【解析】因为，所以，又，
即，因为点在线段上，
所以，，三点共线，由平面向量三点共线定理得，，即，
所以，又是边长为的等边三角形，
所以
，故.
故答案为：.
15．（·浙江·模拟预测）在平行四边形中，，E、F是边，上的点，，，若，则平行四边形的面积为_________．
【答案】
【解析】如图，

，，
所以，
即，解得或（舍去），
所以平行四边形的面积为.
故答案为：．
16．（·全国·高三专题练习）等腰直角ABC中，点P是斜边BC边上一点，若=+，则ABC的面积为______
【答案】
【解析】
如图，由于=+，所以，
则，所以在等腰直角中，， ，所以，
即腰长为5，故的面积.
故答案为：.
17．（·全国·高三专题练习）已知，则与的面积之比为_______
【答案】
【解析】，
点在的边上：

有，．
故答案为：．
题组四 数量积

1．（·上海市嘉定区第二中学模拟预测）在中，，．若，则（       ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得,
即,
即，即，
解得，故选：B
2．（·全国·高三专题练习）已知△ABC中，，AB=4，AC=6，且，，则（       ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解析】，
且
所以：．故选：B.
3．（·全国·高三专题练习）已知菱形的边长为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
则.故选：A.

4．（·全国·高三专题练习）如图，中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
三点共线， ，又

故选：C
5．（·陕西·交大附中）已知在平行四边形中，，则值为__________．
【答案】
【解析】由题设可得如下图：，而，

所以，
又，
所以，则，
故，可得，即.
故答案为：
6．（·湖南·湘潭一中高三阶段练习）已知等边的边长为6，平面内一点P满足，则____________．
【答案】
【解析】因，则，
等边的边长为6，则，
所以.故答案为：
7．（·天津·模拟预测）已知菱形的边长为，是的中点，则______．
【答案】
【解析】依题意，，因为菱形的边长为4．所以．

故答案为：
8．（·全国·高三专题练习）如图，，则_________

【答案】
【解析】因为，所以，
即，所以，故答案为：
题组五 取值范围

1．（·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（       ）


A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】
作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设，则，
∵BC//EF，∴设，则
∴，
∴
∴
故选：A.
2．（·全国·高三专题练习）边长为2的正三角形内一点（包括边界）满足：，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点M在内部（包括边界），所以，
由
.
故选：B.
3．（·全国·高三专题练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】在△ABC中，M为边BC上任意一点，则，
于是得，而，且与不共线，
则，即有，因此，，
当且仅当时取“=”，此时M为BC中点，
所以的最小值为.
故选：C
4．（·全国·高三专题练习）已知圆的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆上任意两点，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图，连接，，
设为和的夹角.
则


且，

由，当时，有最小值；
当时，有最大值为10.
故选：C.
5．（·全国·高三专题练习）已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取中点为，连接，，
因为是圆的一条动弦，且，
所以，
又，，即
因此，取最小值，即是取最小值，所以只需取最小，
又点为直线上的任意一点，
所以点到直线的距离，即是，
即，
因此，
即.
故选：C.

6（·全国·高三专题练习）在中，，，.D是BC边上的动点，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，所以
又，可知
所以
化简可得
又，，所以
则即，
又在递增所以
故故选：A
7．（·天津·高三专题练习）如图，在菱形中，，，分别为上的点，，若线段上存在一点，使得，则_______，若点为线段上一个动点，则的取值范围为_______.

【答案】         
【解析】由题意，设，根据向量的线性运算，
可得
，
则，解得，所以，
若点为线段上一个动点，如图，

设，，，
，
，


，
因为，所以．故答案为： ；.
8．（·广东·金山中学高三阶段练习）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则___________，的最小值为___________.

【答案】     2    
【解析】因为在中，，所以,
即.因为点在线段上移动（不含端点），所以设.
所以，对比可得.代入，得；
代入可得，根据二次函数性质知当时，.故答案为：
题组六 平面向量与其他知识的综合运用

1．（·全国·高三专题练习）若是的各边中线交点，，，分别是角，，的对边，若，则角（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】是的各边中线交点，是的重心，，
，则有，
设，则，，则有，则，故选：.
2．（·全国·高三专题练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为（       ）

A．2 B．
C． D．
【答案】A
【解析】为的重心，
又在线段上，
故选：．
3．（·江苏省木渎高级中学模拟预测）如图所示，的面积为，其中，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，所以，
因为AD为BC边上的高，所以，
因为M为AD的中点，所以，
又因为，所以，所以.故选：C.
4．（·江苏·南京师大附中模拟预测）在边长为2的等边中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为（       ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】

如图，作交于点，则为等边三角形，又，则，又，
则四边形为平行四边形，则，则.
故选：C.
5（·全国·高三专题练习）在△中，点D满足=，直线与交于点，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设,
则,
，且，共线，则，
所以
所以，解得，此时，所以，故.故选：C

6．（·全国·高三专题练习）（多选）已知是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是（       ）
A．若角，则
B．若，则
C．若，则，的夹角为
D．若，则为圆O的一条直径
【答案】BC
【解析】对于A，作OD垂直于AB.垂足为D，则 ,
由正弦定理得 ，

故,故A错误；
对于B,由得，，
即,则点O为BC的中点，即BC为圆的直径，故，B正确；
对于C，设，的夹角为 ，
由得，，即 ，
解得 或，
由于，故，故，
则，的夹角为，C正确；
对于D,由 得，
即，则为圆O的一条直径，D错误，
故选:BC
7．（·江苏·高三专题练习）（多选）若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且(λ，μ∈R)，则下列说法正确的有（       ）
A．若λ+μ=1且λ>0，则点P在线段BC的延长线上
B．若λ+μ=1且λ1，则点P在△OBC外
D．若λ+μ0，则，
故，即，又λ>0，则点P在线段BC或其反向延长线上，A错误；
若λ+μ=1且λ1时，λ+μ﹣1>0，根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P在△OBC外，C正确；
若λ+μ－，由与同向得＝2．所以的取值范围为∪(2，＋∞)．
11．（·全国·高三专题练习）已知△ABC的面积为S满足，且·＝3，与的夹角为θ.求与夹角的取值范围 ．
【答案】.
【解析】，的夹角为锐角，设的夹角为，则：，
，
又；，，，，
，与夹角的取值范围为．
题组三 线段长度

1．（·全国·高三专题练习）在平行四边形中，点，满足，，且，设，则（       ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由得是的中点，
又由得，所以.
故选：B.

2．（·湖南）（多选）已知分别是三棱锥的棱，的中点，．若异面直线与所成角的大小为60°，则线段的长为（       ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】AD
【解析】如图，取的中点，连接，，．


设与的交角为．因为异面直线与所成的角为60°，所以或，
所以


将，，分别代入上式，得或．
故选：AD．
3．（·全国·信阳高中）已知四边形是矩形，，，，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法一 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，，，.

∴，，，.
∴，.
∴，.
∵，
∴，即.
又，
所以，.
∴.
∴.
∵，∴.
故选：C.
解法二：∵，
，
∴.
∵，∴，得.∴，

.
∴.
故选：C.
4．（·山东济宁）已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是___________
【答案】
【解析】作，交于点，则，
，则；

，，
又，，，
，
，故答案为：.
5（·全国·高三专题练习）如图，，分别是四边形的边，的中点，，，，，则线段的长是___________.

【答案】
【解析】依题意，，，因，分别是四边形的边，的中点，
则，
如图，过点A作AG//CD交BC于点G，则，而，则有，

于是得，则
.所以的长为.故答案为：.
6．（·上海市市西中学）空间四边形中，分别是边的中点，且，则____________.
【答案】
【解析】点，，，分别为四边形的边，，，的中点，
、、、分别为、、、的中位线．
；
，
下面证明：平行四边形对角线的平方和等于四个边的平方和.

所以故答案为：20

7．（·上海理工大学附属中学）如图，定圆的半径为3，A，B为圆上的两点，且的最小值为2，则______．

【答案】
【解析】当t＝0时，不满足题意；
当t＞0时，设t＝，延长EA到F，使AF＝AE，
则t＝，

则，
取AB中点为D，则CD⊥AB，则在Rt△CDF中，，此时无最小值不满足题意；
当t＜0时，设t＝，

则，
取AB中点为D，则CD⊥AB，
由图可知，，
∵的最小值为2，
∴＝2，∴．
故答案为：．
题组四 几何中的最值

1．（·河南南阳·高一期末）已知是的边上一点，且，，，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，则为锐角，
由，可得，
因为，则，则，
所以，

，
则，可得.
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
故选：A.
2．（·湖南张家界）如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，以点为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

，，，，
，，，
，
设，则，其中，
，，
，
时，取得最小值．
故选：C.
3．（·湖南）线段是圆的一条直径，直线上有一动点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为圆心到直线的距离，故故选：C
4．（·广东广州·）平面四边形中，，则最小值（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，则，
又，所以点P在以BC为直径的圆的劣弧AC上，
分别以AB、AC为x，y轴正方向建系，取BC中点E，如图所示

所以，则圆E的方程为，
设点，其中，则，
所以，即最小值为-2，
故选：A
5．（·浙江·镇海中学）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设与夹角为，与所成夹角为，
，
所以，，①

，②
又，③
②与③联立可得，④
①④联立可得，
当且仅当时，取等号，，，则，
故与所成夹角的最大值是，
6．（·湖南·周南中学）已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足，，则的最小值为（       ）
A．0 B． C． D．2
【答案】C
【解析】由题意知：，设，
∴
，∴，
以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
，，，设，且
则，，
当时，
故选：C.

7．（·浙江丽水）已知平面向量，若，，，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，而，
∴，又，即，
又，，
∴，
若，则，
∴在以为圆心，1为半径的圆上，若，则，
∴问题转化为求在圆上的哪一点时，使最小，又，
∴当且仅当三点共线且时，最小为.

故选：B.
8．（·河南）已知点是圆：上的动点，点是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最大值为（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】由，得，即，为外接圆的直径，如图所示；
设坐标原点为，则，
是圆上的动点，，，
当与共线时，取得最大值7；
故选：C．

题组五 三角的四心

1．（·湖北武汉）在三棱锥中.作平面，垂足为.
①若三条侧棱与底面所成的角相等，则是的（       ）心；
②若三个侧面与底面所成的二面角相等，则是的（       ）心：
③若三组对棱与与与中有两组互相垂直，则是的（       ）心
以上三个空依次填（       ）
A．外，垂，内 B．内，外，垂 C．垂，内，外 D．外，内，垂
【答案】D
【解析】对于①，连接、、，如下图所示：

由平面，可得为与平面所成角，
为与平面所成角，为与平面所成角，
且，
因为，，，
所以，即为的外心；
对于②，过点在平面内作，垂足为，连接，
过点在平面内作，垂足为，连接，
过点在平面内作，垂足为，连接，如下图所示.

平面，平面，，
，，平面，平面，故，
可得为侧面与底面所成角的平面角，
同理可知，为侧面与底面所成角的平面角，
为侧面与底面所成角的平面角，且，
因为，，，所以，，
即为的内心；
对于③，连接、、，如①中的图，
若，，因为平面，平面，，
因为，所以，平面，平面，，
同理可得，
即为，，即有，，
所以，即有，
则，即为的垂心.
故选：D
2．（·全国·专题练习）若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件，则O是△ABC的（     ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【答案】C
【解析】且，，
化简得，设，又与分别为和方向上的单位向量，平分，又共线，故平分，同理可得平分，平分，故O是△ABC的内心.故选：C.
3．（·重庆市长寿中学校）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(       )

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵是的垂心，延长交与点，

∴
，
同理可得，∴：，
又，
∴，
又，
∴，
不妨设，其中，
∵，
∴，解得或，
当时，此时，则都是钝角，则，矛盾.
故，则，∴是锐角，，
于是，解得.
故选：A.
4．（·重庆市实验中学）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（       ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.
故选：B
5．（·浙江省杭州第二中学）在中，，为的重心，若，则外接圆的半径为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，可得，则有
又在中，，为的重心，则为等边三角形.
则
解之得，则外接圆的半径为故选：C
6（·四川达州）在中，为重心，，，则___________.
【答案】
【解析】设中点为，

为的重心且，，
，
，
，
.
故答案为：.
题组六 三角形的面积

1．（·河南·新密市第一高级中学）若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为（　　）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5
【答案】B
【解析】如图，D为BC边的中点，

则
因为－－＝
所以，
所以
所以.
故选：B
2．（·江西宜春）已知，点M是△ABC内一点且，则△MBC的面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
取的中点，因为，所以，故，所以，因为，因此,
故选：C.
3（·广东·东莞市东华高级中学）已知是内部（不含边界）一点，若，，则（       ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】如图，连接AD并延长交BC与点M,

设点B到直线AD的距离为,点C到直线AD的距离为,
因为，
所以设，
因为AM与向量AD共线，
设,,



所以，
即，


,
所以
故选：A
4．（·安徽·合肥一中）点P是菱形内部一点，若，则的面积与的面积的比值是（       ）
A．6 B．8 C．12 D．15
【答案】A
【解析】如图，设中点为，中点为，
因为，即，则，
即，
则，
所以的面积与的面积的比值是6.
故选：A.

5．（·河北）设点O在的内部，且，则的面积与的面积之比是___________
【答案】5
【解析】由变形可得：，整理可得：，
根据奔驰定理可得：，则.故答案为：5.
6．（·福建）点M在△ABC内部，满足，则____________．
【答案】
【解析】如图，分别延长至至至，使，，连接.

由，得，
∴点是的重心，
延长EM交DF于G，则MG＝EG，
过M作MH⊥DF于H，过E作EI⊥DF与I，则MH＝EI，
故，同理可证，
∴，
设，
设，
则
，
同理，
∴：.
故答案为：3:4.
7．（·全国·专题练习）设、为 内的两点，且满足， ，则 __．
【答案】
【解析】由题意作下图：

取的中点，连接，则
； ，
故且 ,
延长AP与BC交于F点，则 ，∴ ，
，∴F点是EC的中点，
，
故答案为：．
8．（·全国·高三专题练习）已知四边形的面积为，E为边上一点，，，的重心分别为，，，那么的面积为___________．
【答案】
【解析】以点A为原点，射线AD为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，

设，因，，的重心分别为，，，
则，，，，
面积


，同理可得四边形的面积：
，
于是得，
所以的面积为.
故答案为：
9．（·福建厦门）点为内一点，，则的面积之比是_____.
【答案】
【解析】解：因为，所以，
设为中点，为中点，为三角形的中位线，则，
因为，
可得，所以三点共线，且，
则，，
分别设，
由图可知，，，
则，所以，而，所以，
所以，，
所以，
即的面积之比等于.
故答案为：.

10．（·江苏）设为内一点，且满足关系式，则__．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，分别取的中点为，
∴，
∴；
；
.
∴
故答案为：．

6.1 抽样方法及特征数（精练）（基础版）
题组一 抽样方法

1（·江西·二模（理））某工厂利用随机数表对生产的300个零件进行抽样测试，先将300个零件进行编号001，002，…，299，300．从中抽取30个样本，根据提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是(       )
84 42 12   53 31 34   57 86 07   36 25 30   07 32 86   23 45 78   89 07 23   68 96 08 04
32 56 78   08 43 67   89 53 55   77 34 89   94 83 75   22 53 55   78 32 45   77 89 23 45
A．072 B．134 C．007 D．253
【答案】A
【解析】从表中第5行第6列开始向右读取数据，依次为：253(第1个)，313(大于300，不取)，457(大于300，不取)，860(大于300，不取)，736(大于300，不取)，253(与253重复，不取)，007(第2个)，328(大于300，不取)，623(大于300，不取)，457(大于300，不取)，889(大于300，不取)，072(第3个)．
故得到的第3个样本编号是072．故选：A．
2．（·江西省丰城中学模拟预测（理））某学校教务部门为了解高三理科学生数学的学习情况，利用随机数表对理科的800名学生进行抽样测试，先将800个学生进行编号001，002，…，799，800．从中抽取80个样本，根据提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（       ）
33 21 18 34 29   78 64 56 07 32   52 42 06 44 38   12 23 43 56 77   35 78 90 56 42
84 42 12 53 31   34 57 86 07 36   25 30 07 32 86   23 45 78 89 07   23 68 96 08 04
32 56 78 08 43   67 89 53 55 77   34 89 94 83 75   22 53 55 78 32   45 77 89 23 45
A．007 B．328 C．253 D．623
【答案】B
【解析】根据题意，从开始，3位3位的数，分别是：253，313，457，860，736，253，007，328，
其中不在编号内，舍去，第二个重复，舍去，得到的前6个样本编号是：253，313，457， 736， 007，328，所以得到的第6个样本编号是.故选：B
3．（·云南·昆明一中高三阶段练习（文））在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲､乙进入了决赛.比赛规则是三局两胜制.根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6.利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：423，231，344，114，534，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由计算机产生的组数据中，甲获得冠军的数据有，，，，，共组，
据此估计甲获得冠军的概率为，故选：C.
4．（·全国·高三专题练习）某社区卫生室为了了解该社区居民的身体健康状况，对该社区1100名男性居民和900名女性居民按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为100的样本，则应从男性居民中抽取的人数为（       ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【答案】C
【解析】应从男性居民中抽取的人数为；故选：C.
5．（·上海黄浦·二模）某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机抽取了名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了名，从高二年级的学生中抽取了名，若高三年级共有学生名，则该高中共有学生____________名．
【答案】
【解析】依题意可得样本中高三年级抽取了名学生，
所以该高中共有学生名学生；故答案为：
题组二 特征数

1．（·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续天每天新增加疑似病例不超过人”.根据过去天甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（       ）
A．甲地总体均值为，中位数为
B．乙地总体平均数为，总体方差大于；
C．丙地总体均值为，总体方差为
D．丁地中位数为，众数为
【答案】C
【解析】0,0,0,0,4,4,4,4,4,10,满足甲地条件,所以不符合标志
0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,满足乙地条件,所以不符合标志
丙地,若存在某一天新增加疑似病例超过7,则方差为
,与总体方差为3矛盾,故假设不成立,所以C符合标志
3,3,3,3,3,3,3,3,3,10,满足丁地条件,所以不符合标志
故选：C
2．（·全国·高三专题练习）“学习强国”APP是以深入学习、宣传习近平新时代中国特色社会主义思想，立足全体党员，面向全社会的优质学习平台．为了解甲、乙两人的平台学习情况，统计了他们最近7天的学习积分，制成如图所示的茎叶图，若中间一列的数字表示积分的十位数，两边的数字表示积分的个位数，则在这7天中，下列结论正确的为（       ）


A．甲、乙两人积分的极差相等
B．甲、乙两人积分的平均数不相等
C．甲、乙两人积分的中位数相等
D．甲积分的方差大于乙积分的方差
【答案】B
【解析】甲的极差为，乙的极差为，极差不相等，A错误；
甲的平均数为，乙的平均数为，平均数不相等，B正确；
甲的中位数为44，乙的中位数为43，中位数不相等，C错误；
由茎叶图知，甲数据较乙数据更集中，故甲的方差小于乙，D错误.
故选：B.
3．（·湖北·荆州中学模拟预测）酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区（甲、乙、丙、丁）的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”，根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是（       ）
A．甲地：均值为7，方差为2 B．乙地：众数为3，中位数为2
C．丙地，均值为4，中位数为5 D．丁地：极差为，中位数为8
【答案】A
【解析】不妨设8天中，每天查获的酒驾人数从小到大为
且其中
选项A，若不达标，则，由均值为7可知，则其余七个数中至少有一个数不等于7，由方差定义可知，，这与方差为2矛盾，从而甲地一定达标，故A正确
选项B：由众数和中位数的定义可知，当，，，时，乙地不达标，故B错误
选项C：若不达标，则，由均值为7可知，因为中位数是5，所以
又因为均值为4，故，从而，
且，则，，，满足题意，从而丙地有可能不达标，故C错误
选项D：由极差和中位数的定义可知，当，
时，丁地不达标，故D错误
故选：A
4．（·四川成都·高三阶段练习（文））若数据9，，6，5的平均数为7，则数据17，，11，9的平均数和方差分别为（       ）
A．13，5 B．14，5 C．13，10 D．14，10
【答案】C
【解析】依题意得，解得，于是，故的平均数是，方差为：.故选：C.
5．（·河南·郑州四中高三阶段练习（文））运动员甲10次射击成绩（单位：环）如下：7，8，9，7，4，8，9，9，7，2，则下列关于这组数据说法不正确的是（       ）.
A．众数为7和9 B．平均数为7
C．中位数为7 D．方差为
【答案】C
【解析】由题意，这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次，
故众数为7和9，A正确；
计算平均数为 ，故B正确；
将10次射击成绩从小到大排列为：2，4，7， 7， 7，8，8，9，9，9，
则中位数为 ，故C错误；方差为，
故D正确，故选：C
6．（·全国·高三专题练习）甲乙两工厂生产某种产品，抽取连续5个月的产品生产产量（单位：件）情况如下：甲：80、70、100、50、90；乙：60、70、80、55、95，则下列说法中正确的是（       ）
A．甲平均产量高，甲产量稳定 B．甲平均产量高，乙产量稳定
C．乙平均产量高，甲产量稳定 D．乙平均产量高，乙产量稳定
【答案】B
【解析】对于甲：可得平均数
方差
同理对于乙：可得平均数，方差
∵
∴甲平均产量高，乙产量稳定
故选：B．
7．（·全国·高三专题练习）在北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分．则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（       ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D
【解析】去掉最大值与最小值这组数的平均值大小不确定，中位数不变，众数大小不确定，
根据方差的定义，去掉最高分，最低分后，剩余四个数据的波动性小于原来六个数据的波动性，故方差一定会变小.故选：D
8．（·全国·高三专题练习）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段事件内没有发生大规模群体感染的标志是“连续日，每天新增疑似病例不超过人”．过去日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：总体平均数为，中位数为；       
乙地：总体平均数为，总体方差大于；
丙地：中位数为，众数为；                 
丁地：总体平均数为，总体方差为．
则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（       ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
【答案】D
【解析】对于甲地，若连续日的数据为，则满足平均数为，中位数为，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，A错误；
对于乙地，若连续日的数据为，则满足平均数为，方差大于，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，B错误；
对于丙地，若连续日的数据为，则满足中位数为，众数为，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，C错误；
对于丁地，若总体平均数为，假设有一天数据为人，则方差，不可能总体方差为，则不可能有一天数据超过人，符合没有发生大规模群体感染的标志，D正确.
故选：D.
9．（·全国·高三专题练习）有一组样本数据，．若样本的平均数，则（       ）
A．样本的众数为2 B．样本的极差为2
C．样本的中位数为2 D．样本的方差大于1
【答案】C
【解析】对A，若该组样本数据为满足平均数，但众数为1，3，故A错误；
对BD，若该组样本数据为满足平均数，但极差为0，方差为0，故BD错误；
对C，满足题意的所有情况可能有①②③，中位数均为2，故C正确；
故选：C
10．（·全国·高三专题练习）研究与试验发展（research and development，R&D）指为增加知识存量（也包括有关人类、文化和社会的知识）以及设计已有知识的新应用而进行的创造性、系统性工作．国际上通常采用研究与试验发展（R&D）活动的规模和强度指标反映一国的科技实力和核心竞争力．据国家统计局公告，下图是2016-年全国R&D经费总量（指报告期为实施研究与试验发展（R&D）活动而实际发生的全部经费支出）及投入强度（R&D经费投入与国内生产总值（GDP）之比）情况统计图表，则下列四个说法，所有正确说法的序号是（       ）

①2016-年全国R&D经费支出数据中，中位数大于20000；
②2016-年全国R&D经费投入强度的平均值未达到2．30；
③2016-年全国R&D经费支出数据中，极差为0.34；
④2016-年全国R&D经费支出及投入强度均与年份成正相关．
A．①③ B．②④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】由图可知，2016-年全国R&D经费支出的中位数为，①正确；
，②正确；③0.34为全国R&D经费投入强度的极差，故③不正确；④正确．故选：C
11．（·全国·高三专题练习）（多选）某市商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为，二居室住户占．如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（       ）

A．样本容量为90 B．样本中三居室住户共抽取了35户
C．据样本可估计对四居室满意的住户有110户 D．样本中对二居室满意的有3户
【答案】BC
【解析】如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为，二居室住户占，
，二居室有户，三居室有450户，由图1和图2得：
在A中，样本容量为：，故A正确；
在B中，样本中三居室住户共抽取了户，故B错误；
在C中，根据样本可估计对四居室满意的住户有户，故C错误；
在D中，样本中对二居室满意的有户，故D正确．
故选：BC．
12．（·全国·高三专题练习）（多选）甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制如图所示）．下面说法正确的是（       ）

A．甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； B．甲同学的平均分比乙同学高；
C．甲同学成绩的极差是18； D．甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．
【答案】CD
【解析】对于A，甲成绩的中位数是81，乙成绩的中位数是87.5，A不正确；
对于B，甲成绩的平均分为，
乙成绩的平均分为，B不正确；
对于C，甲成绩的极差是18，C正确；
对于D，甲成绩的方差为，
乙成绩的方差为，D正确.
故选：CD
题组三 抽样方法与特征数综合

1．（·全国·高三专题练习）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，某市教育部门开展了“停课不停学”活动，为学生提供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高二年级的学生若干进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：小时），将样本数据分成，，，，五组（全部数据都在内），并整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)已知该校高二年级共有800名学生，根据统计数据，估计该校高二年级每天学习时间不低于5小时的学生人数；
(2)利用统计数据，估计该校高二年级学生每天平均学习时间；
(3)若样本容量为40，用分层抽样的方法从样本中学习时间在和的学生中抽取6人，再从6人中随机抽取2人调查其学习时间安排情况，求所抽取的2人来自同一组的概率．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）根据统计数据估计该校高二年级每天学习时间不低于5小时的学生人数为．所以估计该校高二年级每天学习不低于5小时的人数为640人．
（2）样本中学生每天学习时间的各组频率分别为0.05，0.15，0.50，0.25，0.05.样本中学生每天平均学习时间为（小时）．所以估计该校高二年级学生每天平均学习时间为5.6小时．
（3）由题意知样本中每天学习时间在的人数为，每天学习时间在的学生人数为，故用分层抽样的方法从两组抽取的人数分别为4人和2人，分别记作，，，和，，从中任取2人的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个；其中来自同一组的基本事件有：，，，，，，共7个，故所求概率．
2．（·全国·高三专题练习）为了备战下届奥运会，甲、乙两名运动员在相同条件下各射击次，得到如下数据：
甲射击次中靶环数分别为：、、、、、、、、、.
乙射击次中靶环数分别为：、、、、、、、、、.
射击队教练希望利用此次射击成绩为依据，挑选一名运动员参加奥运会，请你帮助教练分析两个运动员的成绩，并作出判断.
【答案】答案见解析
【解析】运动员甲的平均成绩为（环），
运动员乙的平均成绩为（环），
运动员甲成绩的方差为，
运动员乙成绩的方差为，
比较如下：

平均数
方差
命中环及环以上的次数
甲



乙




①因为两名运动员射击成绩的平均数相同，且，则甲的成绩比乙稳定；
②因为两名运动员射击成绩的平均数相同，命中环及环以上的次数甲比乙少，
所以，乙成绩比甲好些.
③甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，乙更有潜力.
3．（·河南·开封市东信学校模拟预测（文））灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播､自媒体､配音，还有电竞､电商这些新兴产业上.只要有网络､有电脑，随时随地都可以办公.这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景.甲､乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，其10种表现得分如下表：
甲
8
9
7
9
7
6
10
10
8
6
乙
10
9
8
6
8
7
9
7
8
a

(1)若甲和乙所得平均分相等，求a的值；
(2)在（1）的条件下，从10种表现得分中，任取一种，求甲的评分大于乙的评分的概率；
(3)在（1）的条件下，判断甲､乙两人哪个的表现更稳定.
【答案】(1)(2)(3)乙表现更稳定
【解析】(1)根据题中所给数据，甲的得分平均数为，
，解得；
(2)∵10种表现评分中，甲的得分高于乙的有3种，
∴“从10种表现得分中，任取一种，甲的评分大于乙的评分的概率为；
(3)，
，
由，得乙的表现更稳定.
4．（·黑龙江·哈九中三模（文））某经销商采购了一批水果，根据某些评价指标进行打分，现从中随机抽取20筐（每筐1kg），得分数据如下：17，23，29，31，34，40，46，50，51，51，58，62，62，68，71，78，79，80，85，95．根据以往的大数据认定：得分在区间，，，内的分别对应四级、三级、二级、一级．
(1)试求这20筐水果得分的平均数．
(2)用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售；
方案1：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级出售；
方案2：分等级出售．
不同等级水果的售价如下表所示：
等级
一级
二级
三级
四级
售价（万元/吨）
2
1.8
1.4
1.2
请从经销商的角度，根据售价分析采用哪种销售方案较好，并说明理由．
【答案】(1)(2)采用方案1较好；理由见解析
【解析】(1)这20筐水果得分的平均数为

(2)方案1：由于得分的平均数，
所以可以估计这批水果的销售单价为1.8万元/吨．
方案2：设这批水果售价的平均值为万元/吨，由已知数据得，
得分在内的有17，23，共2个，所以估计四级水果所占比例为，
得分在内的有29，31，34，40，46，50，共6个，所以估计三级水果所占比例为，
得分在内的有51，51，58，62，62，68，71，共7个，所以估计二级水果所占比例为，
得分在内的有78，79，80，85，95，共5个，所以估计一级水果所占比例为，
则（万元/吨）．
所以从经销商的角度考虑，采用方案1的售价较高，所以采用方案1较好．
5．（·四川省泸县第二中学）为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措．某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图．

(1)该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询．如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？
(2)为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如下．

（ⅰ）请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（ⅱ）若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至多有一天超过250元的概率．
【答案】(1)小吃类商贩家，果蔬类商贩家(2)（ⅰ）元（ⅱ）
【解析】(1)由题意知，小吃类所占比例为，
按照分层抽样的方式随机抽取，应抽取小吃类商贩（家），
果蔬类商贩（家）．
(2)（ⅰ）该果蔬经营点的日平均收入为
元．
（ⅱ）该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为：，天，其中超过250元的有2天，记日收入超过250元的2天为，，其余4天为，，，随机抽取两天的所有可能情况为：，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中至多有一天超过250元的对立事件为：共1种．
所以这两天的日收入至少有一天超过250元的概率为．
6．（·全国·高三专题练习）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)0.4(2)(3)丙
【解析】(1)由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4
(2)设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P




∴
(3)丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
6.2 古典概型及条件概率（精练）（基础版）
题组一 古典概型

1．（·山东滨州）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：

(1)求a；
(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；
(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率.











2．（·青海西宁）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：）的频率分布表.
分组
频数
频率

5


8





12


10




合计
50
1
(1)求该校学生总数及频率分布表中实数的值；
(2)已知日睡眠时间在区间的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.









3．（·河北张家口）英才中学为普及法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，并随机抽出100名学生进行法律常识考试，并将其成绩制成如图所示的频率分布直方图.

(1)估计这100人的平均成绩；
(2)若成绩在的学生中恰有两位是男生，现从成绩在的学生中抽取3人去校外参加社会法律知识竞赛，求其中恰有一位男生的概率.



















4．（·河南·商丘市）蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱，某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：
消费次数
第1次
第2次
第3次
第4次
≥5次
收费比例
1
0.95
0.90
0.85
0.80
该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：
消费次数
第1次
第2次
第3次
第4次
≥5次
频数
60
20
10
5
5
假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元，根据所给数据，解答下列问题：
(1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率；
(2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润；
(3)以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取3人进一步了解情况，求抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次的概率．














5．（·广西柳州）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图如图所示.

(1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）
(2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率.









题组二 条件概型

1．（·吉林）先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数．在第一次向上的点数为奇数的条件下，两次点数和不大于的概率为（       ）
A． B． C． D．

2（·江西·高三阶段练习（理））从1，2，…，6这六个数字中随机抽取2个不同的数字，记事件“恰好抽取的是2，4”，“恰好抽取的是4，5”，“抽取的数字里含有4”．则下列说法正确的是（       ）
A． B．
C． D．

3．（·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（       ）
A． B． C． D．

4．（·山东济宁）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（       ）
A． B． C． D．

5．（·黑龙江）已知，，则等于（       ）．
A． B． C． D．

6．（·湖南·长沙一中高三开学考试）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（       ）
A． B． C． D．

7．（·河北张家口·高二期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为，连续闯过前三关的概率为，且各关相互独立.事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第三关闯关成功，则（       ）
A． B． C． D．

8．（·山东济宁）（多选）设M、N是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．

9．（·福建福州）（多选）甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（       ）
A．事件与事件相互独立 B．
C． D．

题组三 古典与条件综合运用

1．（·河南）从标有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出两张卡片，则4号卡片“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（       ）
A．，， B．，， C．，， D．，，

2．（·全国·高三专题练习（理））一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828















3．（·全国·高三专题练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.

6.3 统计案例（精练）（基础版）
题组一 线性回归方程（小题）

1（云南）某工厂某产品产量(千件)与单位成本(元)满足回归直线方程,则以下说法中正确的是(　　)
A．产量每增加件,单位成本约下降元 B．产量每减少件,单位成本约下降元
C．当产量为千件时,单位成本为元 D．当产量为千件时,单位成本为元
【答案】A
【解析】令,因为,
所以产量每增加件,单位成本约下降元.
2．（安徽）“关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第年(年是第一年)与捐赠的现金(万元)的对应数据，由此表中的数据得到了关于的线性回归方程，则预测年捐赠的现金大约是










A．万元 B．万元 C．万元 D．万元
【答案】C
【解析】由已知得，，所以样本点的中心点的坐标为，代入，得，即，所以，取，得，
预测2019年捐赠的现金大约是万元.
3．（福建）为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：
天数（天）
3
4
5
6
繁殖个数（千个）
2.5
3

4.5
由最小二乘法得与的线性回归方程为，则当时，繁殖个数的预测值为
A．4.9 B．5.25
C．5.95 D．6.15
【答案】B
【解析】由题意，根据表格中的数据，可得，
即样本中心为，代入回归直线方程，即，
解得，即回归直线的方程为，
当时，，故选B．
4．（·云南师大附中高三阶段练习）（多选）在研究某品牌汽车的使用年限x（单位：年）与残值y（单位：万元）之间的关系时，根据调研数据得到如下的对应值表：
x
2
4
6
8
10
y
17
16
14
13
11
利用最小二乘法，得到回归直线方程为，下列说法正确的是（       ）
A． x与y的样本相关系数 B．回归直线必过点
C． D．预测该品牌汽车使用20年后，残值约为2万元
【答案】BC
【解析】随的增大呈递减的趋势，所以与为负相关关系，所以与的样本相关系数，回归直线方程为的，因为，，回归直线必过点，所以，得，当时，（万元），综上，正确答案为B，C.故选：BC.
5．（·广东·模拟预测）（多选）已知与线性相关，且求得回归方程为，变量，的部分取值如表所示，则（       ）










A．与负相关 B．
C．时，的预测值为 D．处的残差为
【答案】BC
【解析】由题意得，，
所以样本中心点的坐标为，代入线性回归方程得，解得，B正确；
由可知与正相关，A错误；
时，，C正确；
时，，残差为，D错误．故选：BC．
6．（·全国·高三专题练习）在2017年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
价格
9
9.5
10
10.5
11
销售量
11
10
8
6
5
由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：，则__________．
【答案】40
【解析】根据题意：，，，
7．（·江苏）已知，取值如表：












画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则__________．
【答案】
【解析】计算=×（0+1+3+5+6）=3，=×（1+m+3m+5.6+7.4）=，
∴这组数据的样本中心点是（3，），又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点，∴=1×3+1，
解得m=.故填.


题组二 线性回归方程（解答题）

1．（·全国·高三专题练习）网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，较年12月增长5968万，占网民整体的81.6%．某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与时间第年进行了统计得如下数据：

1
2
3
4
5

2.6
3.1
4.5
6.8
8.0

(1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当时的利润额．
附：，
，．
参考数据：，，，．
【答案】(1)，y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．
(2)，万元．
【解析】（1）由题表，，因为，，，所以．故y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．
（2），，所以．当时，．预测该专营店在时的利润为万元．
2．（·全国·高三专题练习）足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力．某手机（应用程序）公司为了了解居民使用这款使用者的人数及满意度，对一大型小区居民开展个月的调查活动，从使用这款的人数的满意度统计数据如下：
月份





不满意的人数







使用
不使用
女性


男性



（1）请利用所给数据求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区月份的对这款不满意人数：
（2）工作人员发现使用这款居民的年龄近似服从正态分布，求的值；
（3）工作人员从这个月内的调查表中随机抽查人，调查是否使用这款与性别的关系，得到上表：能否据此判断有的把握认为是否使用这款与性别有关？
参考公式：，．
【答案】（1），人；（2）0.9759；（3）有.
【解析】（1）由表中的数据可知：，，
，，
所求得回归直线方程为，
当时，，
该小区月份的对这款不满意人数预估为人；
（2）．
（3）提出假设：是否使用这款与性别无关，
由表中的数据可得，
根据临界值可得，有的把握认为是否使用这款与性别有关．
3．（·贵州贵阳·（理））据贵州省气候中心报，年6月上旬，我省降水量在15.2-170.3mm之间，毕节市局地、遵义市北部、铜仁市局地和黔东南州东南部不足50mm，其余均在50mmm以上，局地超过100mm.若我省某地区年端午节前后3天，每一天下雨的概率均为.通过模拟实验的方法来估计该地区这3天中恰好有2天下雨的概率，利用计算机或计算器可以产生0到9之间取整数值的随机数（，且）表示是否下雨：当时表示该地区下雨，当时，表示该地区不下雨.因为是3天，所以每三个随机数作为一组，从随机数表中随机取得20组数如下:
332 714 740 945 593 468 491 272 073 445
992 772 951 431 169 332 435 027 898 719
（1）求出k的值，使得该地区每一天下雨的概率均为；并根据上述20组随机数估计该地区这3天中恰好有2天下雨的概率；
（2）2016年到年该地区端午节当天降雨量（单位:mm）如表：
时间
2016年
2017年
2018年
2019年
年
年份
1
2
3
4
5
降雨量
28
27
25
23
22
经研究表明：从2016年到年，该地区端午节有降雨的年份的降雨量与年份具有线性相关关系，求回归直线方程.并预测该地区年端午节有降雨的话，降雨量约为多少？
参考公式：，.
【答案】（1）4， ；（2），．
【解析】（1）由题意可知，，解得，即表示下雨，表示不下雨．
所给的20组数据中，，，，，，，，共组表示天中恰好有天下雨，
故所求的概率为．
（2）由题中所给的数据可得，，
所以，，
所以回归方程为，当时，．
所以该地区年端午节有降雨的话，降雨量约为．

题组三 非线性回归方程

1．（·内蒙古·包钢一中一模（文））人类已进入大数据时代，目前，全球年数据产生量已经从级别跃升到，乃至级别（，，，）．由国际数据公司的研究结果得到2008年至年全球年数据产生量（单位：）的散点图．根据散点图，下面四个选项中最适宜刻画2008年至年全球年数据产生量和实际的函数模型是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由散点图知：全球年数据产生量随年份的增加而增加，且增加的速度越来越快，
因为的图象是一条直线，
的图象，随x增大，y增大，但图象越来越平缓，
的图象，随x增大，y增大，但图象越来越平缓，
的图象，随x增大，y增大，图象越来越陡峭，
所以D选项正确，A、B、C选项错误.
故选：D．
2．（·全国·高三专题练习）用模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值为__________.
【答案】
【解析】由题意知，，故，设，求得线性回归方程为，
两式相比较，，故答案为：
3．（·湖南师大附中三模）魔方，又叫鲁比克方块，通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为的正方体结构，由26个色块组成.魔方竞速是一项手部极限运动，常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.
(1)某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y（秒）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据：
x（天）
1
2
3
4
5
6
7
y（秒）
99
99
45
32
30
24
21
现用作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒（精确到1）？

参考数据：（其中）



184.5
0.37
0.55
参考公式：
对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
(2)现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，现规定只可以扭动最外层的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动，记顶面白色色块的个数为X，求X的分布列及数学期望E（X）.
【答案】(1)，13秒(2)分布列见解析，
【解析】(1)由题意，根据表格中的数据，
可得，
可得，
所以，
因此y关于x的回归方程为，当时，，
所以魔方爱好者经过长期训练后最终每天还原的平均速度y约为13秒.
(2)由题可得随机变量X的取值为3，，，9，

，
，
，
.
所以X的分布列为：
X
3
4
6
9
P




所以.
4．（·全国·高三专题练习）小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位：）和日均客流量y（单位：百人）的数据，并计算得，，，.
(1)求y关于x的回归直线方程；
(2)已知服装店每天的经济效益，该商场现有的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺?
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【答案】(1)(2)小李应该租的商铺
【解析】(1)由已知可得，，
，
，
所以回归直线方程为.
(2)
根据题意得，.
设，令，，
则，
当，即时，取最大值，
又因为k，，所以此时Z也取最大值，
因此，小李应该租的商铺.
5．（·全国·高三专题练习）某工厂生产一种产品测得数据如下：
尺寸
38
48
58
68
78
88
质量
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸的比
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290

(1)若按照检测标准，合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（c､d为大于0的常数），求y关于x的回归方程；
(2)已知产品的收益z（单位：千元）与产品尺寸和质量的关系为，根据（1）中回归方程分析，当产品的尺寸x约为何值时（结果用整数表示），收益z的预报值最大？
附：（1）参考数据：，，，.
（2）参考公式：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.
【答案】(1)
(2)当产品的尺寸约为72时，收益z的预报值最大
【解析】(1)对两边取自然对数得.
令，，则，其中.
根据所给统计量及最小二乘估计公式有：
，
，
又，所以，所以y关于x的回归方程为.
(2)
由（1）得，所以.
令，则当时，z取得最大值，
此时，
所以当产品的尺寸约为72mm时，收益z的预报值最大.
6．（·山东聊城·三模）为迎接年北京冬奥会，践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.

(1)为了解活动效果，该年级对开展活动以来近个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如上图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中的数据求出该年级体重超重人数与月份之间的经验回归方程（系数和的最终结果精确到），并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至人以下？
月份






体重超标人数














(2)在某次足球训练课上，球首先由队员控制，此后足球仅在、、三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如下表所示：
控球队员



接球队员






概率







若传球次，记队员控球次数为，求的分布列及均值.
附：经验回归方程：中，，；
参考数据：，，，.
【答案】(1)，第十个月
(2)分布列见解析，
【解析】(1)解：由得.
由题意得，，
所以，
.
所以，即关于的经验回归方程为.
令，所以，解得.
由于，所以，
所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至人以下.
(2)解：由题意得的可能取值为、、，
，，
，
所以的分布列为








所以，.
题组四 独立性检验

1．（·全国·高三专题练习）在一次数学考试中，将某班所有学生的成绩按照性别绘制成如下茎叶图，规定；分数不低于125分为优秀．


(1)求本次成绩的众数、中位数；
(2)从该班中任意抽取一位学生，求该学生成绩优秀的概率；
(3)完成下列列联表，并判断是否有90%的把握认为学生数学成绩是否优秀与性别有关？
数学成绩
男生
女生
总计
优秀



不优秀



总计




附：，其中．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

【答案】(1)众数为，中位数为
(2)
(3)答案见解析
【解析】(1)本次成绩的众数为，中位数为.
(2)图可知，该班有50名学生，成绩优秀的有28名，所以从该班中任意抽取一名学生，该学生成绩优秀的概率为.
(3)列联表如下，
数学成绩
男生
女生
总计
优秀
16
12
28
不优秀
9
13
22
总计
25
25
50

，因为，
所以没有90%的把握认为学生数学成绩是否优秀与性别有关.
2．（·青海西宁·二模（文））第24届冬季奥运会于年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为（），统计得到以下列联表，经过计算可得．

男生
女生
合计
了解



不了解



合计




(1)求的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；
(2)为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取2人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率．
附：独立性检验临界值表

（参考公式：，其中）
【答案】(1)，有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关
(2)
【解析】(1)解：列联表如下表所示：

男生
女生
合计
了解



不了解



合计




则

因为，可得，
而，且
因此，有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关．
(2)采用分层抽样的方法从抽取的不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，
这9人中男生的人数为4，设为，，，，女生的人数为5，设为1，2，3，4，5，
则从这9人中抽取2人的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共36种；
其中这2人中至少抽到一名女生的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共30种．
所以这9人中抽取2人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为．
3．（·吉林·洮南市第一中学模拟预测（文））某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如表：

喜欢统计课程
不喜欢统计课程
合计
男生
20
5
25
女生
10
20
30
合计
30
25
55
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k0）
0.010
0.005
k0
6.635
7.879

(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？
(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．
附：，，
【答案】(1)见解析(2)
【解析】(1)由公式可得，所以有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关．
(2)设所抽样本中有m个男生，则，得，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作，，，，，，
从中任选2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，
其中恰有1个男生和1个女生的事件有，，，，，，，，共8个，
所以恰有1个男生和1个女生的概率为．
4．（·河南开封·模拟预测（理））大豆是我国重要的农作物，种植历史悠久．某种子实验基地培育出某大豆新品种，为检验其最佳播种日期，在A，B两块试验田上进行实验（两地块的土质等情况一致）.6月25日在A试验田播种该品种大豆，7月10日在B试验田播种该品种大豆．收获大豆时，从中各随机抽取20份（每份1千粒），并测量出每份的质量（单位：克），按照，，进行分组，得到如下表格：




A试验田/份
3
6
11
B试验田/份
6
10
4

把千粒质量不低于200克的大豆视为籽粒饱满，否则视为籽粒不饱满．
(1)判断是否有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关？
(2)从A，B两块实验田中各抽取一份大豆，求抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率；
(3)用样本估计总体，从A试验田随机抽取100份（每份千粒）大豆，记籽粒饱满的份数为X，求X的数学期望和方差．
参考公式：，其中．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

【答案】(1)有
(2)
(3)，
【解析】(1)列联表为

6月25日播种
7月10日播种
合计
饱满
11
4
15
不饱满
9
16
25
合计
20
20
40

，
所以有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关．
(2)A，B两块实验田中各抽取一份大豆，
抽取的大豆中有一份籽粒饱满的概率分别为，，
两份大豆籽粒都不饱满的概率为
故抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率为
.
(3)从A试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满的概率为，
则，故，
.
5．（·全国·高三专题练习（文））年北京冬奥组委会发布的《北京年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（）》显示，北京冬奥会已签约200家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该200家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对200家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有100家，余下的企业中，每天销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：

销售额不少于30万元
销售额不足30万元
合计
线上销售时间不少于8小时
75

100
线上销售时间不足8小时



合计


200

(1)完成上面的列联表；
(2)根据列联表，判断能否有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.
附：

0.1
0.05
0.01
0.005

2.706
3.841
6.635
7.879

【答案】(1)答案见解析
(2)有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关
【解析】(1)
由题意分析可得：签约企业共200家，线上销售时间不少于8小时的企业有100家，那么线上销售时间不足8小时的企业有100家，每天的销售额不足30万元的企业占，共有家.
完成列联表如下：

销售额不少于30万元
销售额不足30万元
合计
线上销售时间不少于8小时
75
25
100
线上销售时间不足8小时
45
55
100
合计
120
80
200

(2)
由题意，得，
计算得，
由于，
故有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.
6.4 计数原理及排列组合（精练）（基础版）
题组一 排队问题

1．（·全国·高三专题练习）高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（       ）
A．72 B．144 C．48 D．36
【答案】A
【解析】先将选择性必修有一､二､三这三本书排成一排，有种方法，
再将必修一､必修二这两本书插入两个空隙中，有种方法，
所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是：.
故选：A.
2．（·四川成都·模拟预测（理））国庆放假期间，4号到7号安排甲乙丙三人值班，其中，乙和丙各值班1天，甲连续值班2天，则所有的安排方法共有________种.
【答案】6
【解析】甲的安排方法有3种，即4,5两天值班或5,6两天值班或6,7两天值班，再安排乙与丙两人有种安排方法，所以所有的安排方法共有6种.故答案为：6
3．（·浙江）一位老师随机分发六位同学的作业，恰好只有二位同学拿到自己的作业，则不同的分发数是_____.
【答案】135
【解析】从六位同学中选两位同学拿到自己的作业，有种，
剩下的四位同学都没拿到自己的作业，等同于四个不同的元素填四个不同的空，并且是全错位排列，有种，所以不同的分法数为种.故答案为：.
4．（·上海青浦·二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示）
【答案】
【解析】四个志愿者总的选择共种，
要满足三个核酸检测点都有志愿者到位，则必有2个人到同一核酸检测点，故从4人中选择2人出来，共有种，再将这2人看成整体1人和其他2人共3人，选择三个核酸检测点，共种，
所以，所以.故答案为：.
5．（·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）英文单词"sentence”由8个字母构成，将这8个字母组合排列，且两个n不相邻一共可以得到英文单词的个数为 （可以认为每个组合都是一个有意义的单词）
【答案】2520
【解析】英文单词“sentence”中字母e有3个，字母n有2个，字母s、t、c各有一个，优先考虑无限制的字母，注意重复字母需除去顺序，共有种，再插入个字母，共有种，所以一共有种，故选：A．
6．（·河南驻马店）3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．
(1)从中选出2名男生和2名女生排成一列；
(2)全体站成一排，男生不能站一起；
(3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾．
(4)全体站成一排，甲、乙必须站在一起，而丙、丁不能站在一起；
【答案】(1)种(2)种(3)种(4)种
【解析】(1)从3名男生中任选2名有种选法，从4名女生中任选2名有种选法，再将选取的4人排列有种排法，由乘法原理共有种排法．
(2)先将女生全排有种，再从5个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种，由乘法原理共有种排法．
(3)首尾位置可安排另6人中的两人，有种排法，其他人有种排法，乘法原理共有种排法．
(4)将甲乙捆在一起，与剩下的3人（除丙丁）全排，再将丙丁插空到5个空隙中的2个有种，再将甲乙交换位置有种，由乘法原理共有种．
7．（·河北·沧县中学）已知五名同学，按下列要求进行排列，求所有满足条件的排列方法数.
(1)把5名同学排成一排且相邻；
(2)把5名同学排成一排且互不相邻；
(3)把5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且不相邻.
【答案】(1)；(2)；(3).
【解析】(1)把A，B视为一个整体，不同排法有种，排A，B有种，
由分步乘法计数原理得：5名同学排成一排且相邻的排法种数是.
(2)先排D，E有种，再把插入3个空隙中有种，
由分步乘法计数原理得：5名同学排成一排且互不相邻的排法种数是.
(3)5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上的排法种数是，其中有一空位A，B相邻的排法种数是，所以所求不同排法种数是：.
8．（·全国·高三专题练习）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；
(4)全体站成一排，男生不能站在一起．
【答案】(1)2520(2)5040(3)288(4)1440
【解析】(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有＝2 520种排法．
(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有＝5 040种排法
(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝＝288(种)．
(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有种排法，故N＝＝1 440(种)．
9．（·广东·南海中学）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)选5名同学排成一排；
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全体站成一排，男生排在一起；
(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；
(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．
【答案】(1)2520(2)2400(3)3720(4)288(5)720(6)1440(7)144(8)960(9)5040(10)840
【解析】
【分析】
对于排列问题，按照先特殊后一般，分类分步进行即可.
（1）无条件的排列问题，排法有种；
（2）先安排甲乙在中间有 种，再安排余下的5人有 种，共有排法有种；
（3）排法有种，其中是甲在左端或乙在右端的排法，是甲在左端且乙在右端的排法；
（4）把男生看成一个整体共有 种，再把女生看成一个整体有 种，再把这两个整体全排列，共有种排法；
（5）即把所有男生视为一个整体，与4名女生组成五个元素全排列，共有种排法；
（6）即不相邻问题（插空法）：先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法；
（7）对比（6），让女生插空，共有种排法；
（8）（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有种排法；
（9）分步完成共有种排法；
（10）由于乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列，7人的全排列共有种，甲、乙、丙3人全排列有种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，所以共有种排法.
10（·天津市蓟州区第一中学）从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）
(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；
(3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；
(4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；
(5)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.
【答案】(1)60(2)480(3)180(4)180(5)210
【解析】(1)先安排甲、乙2人位置，再从出甲、乙之外的6人中选2人安排他们的位置，则方法数为
(2)先从甲、乙2人中选一人安排其位置，再从出甲、乙之外的6人中选3人安排他们的位置，则方法数为
(3)先把甲、乙2人看作一个元素，再从除甲、乙之外的6人中选2人和甲和乙这个整体来排序，则方法数为
(4)从除甲、乙之外的6人中选2人排序，再让甲和乙来插空，则方法数为
(5)第一步，从除甲、乙之外的6人中选2人
第二步，分甲跑第四棒和甲不跑第四棒
则方法数为
题组二 排数问题

1．（·陕西·长安一中）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）
【答案】504
【解析】当四个数字中没有奇数时，则这样的四位数有种，
当四个数字中有一个奇数时，则从5个奇数中选一个奇数，再从4个偶数中选3个数，然后对这4个数排列即可，所以有种，
所以由分类加法原理可得共有种，
故答案为：504
2．（·浙江省临安中学模拟预测）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可以表示为“”，26可以表示为“”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9个数字表示两位数的个数为_________.

【答案】16
【解析】根据题意，现有6根算筹可以表示的数字组合为15，19，24，28，64，68，33，37，77；数字组合15， 19，24，28，64，68，37中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；数字组合33，77，每组可以表示1个两位数，则共可以表示个两位数；
则总共可以表示个两位数.
故答案为：16.
3．（·山东泰安）盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6. 现从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位、十位与个位数字.
(1)一共能组成多少个不同的三位数？
(2)一共能组成多少个不同的大于500的三位数？
【答案】(1)120(2)40
【解析】(1)（1）因为抽取的三位数各不同，所以组成三位数的总数为.
(2)百位为或，则个位、十位是剩余5个数字中的两个，
则有个大于500的三位数.
3．（·浙江·罗浮中学）用0，1，2，3，4五个数字．
(1)可以排成多少个不重复的能被2整除的五位数？
(2)可以排成多少个四位数？
(3)可以排成多少个四位数字的电话号码？
【答案】(1)60个(2)500个(3)625个
【解析】(1)由题，能被2整除的数为偶数，则个位数字应在0，2，4中选择，
需用5个数字组成不重复的五位数，则万位不是0，
所以当个位是0时，共有个；
当个位不是0时，共有个，
所以不重复的且能被2整除的五位数有个.
(2)要组成一个四位数，则千位不为0，所以共有个.
(3)要组成一个四位数字的电话号码，则共有个.
4（·河北·藁城新冀明中学）现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．
（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？
（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
（4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？
【答案】（1）个；（2）个；（3）2296个；（4）个.
【解析】由题意，无重复的三位数共有个；
当百位为1时，共有个数；
当百位为2时，共有个数；
当百位为3时，共有个数，
所以315是第个数；
无重复的四位偶数，所以个位必须为0，2，4，6，8，千位上不能为0，
当个位上为0时，共有个数；
当个位上是2，4，6，8中的一个时，共有个数，
所以无重复的四位偶数共有个数；
当选出的偶数为0时，共有个数，
当选出的偶数不为0时，共有个数，
所以这样的四位数共有个数；
5．（·全国·高三专题练习）从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数.试问：
(1)能组成多少个不同的四位数？
(2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个？
(3)两个偶数不相邻的四位数有几个？（所有结果均用数值表示）
【答案】(1)216(2)108(3)108
【解析】(1)解：分三步完成：
第一步，取两个偶数，有种方法，
第二步，取两个奇数，有种方法，
第三步，将取出的四个数全排列，有种方法，
由分步计数原理得：共能组成个不同的四位数；
(2)解：分三步完成：
第一步，取两个偶数，有种方法，
第二步，取两个奇数，有种方法，
第三步，将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，有种方法，
由分步计数原理得：共能组成个不同的四位数；
(3)
解：分三步完成：
第一步，取两个偶数，有种方法，
第二步，取两个奇数，有种方法，
第三步，先将两个奇数排列，再从三个空中选两个空，将两个偶数排列上，有种方法，
由分步计数原理得：共能组成个不同的四位数；
6．（·全国·高三专题练习）已知从1，3，5，7，9任取两个数，从0，2，4，6，8中任取两个数，组成没有重复的数字的四位数．
（Ⅰ）可以组成多少个不含有数字0的四位数？
（Ⅱ）可以组成多少个四位偶数？
（Ⅲ）可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数？（所有结果均用数值表示）
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）从1，3，5，7，9任取两个数，从2，4，6，8中任取两个数，组成个没有重复的数字的四位数
（Ⅱ）当0在末位时，共有个四位偶数
当末位为（且不在首位），共有个四位偶数
则可以组成个四位偶数
（Ⅲ）当0在首位时，有种
则两个奇数数字相邻的四位数共有个
7．（·江苏·泰兴市第一高级中学高二阶段练习）从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，组成没有重复数字的七位数，试问：
（1）能组成多少个这样的七位数？
（2）3个偶数排在一起的七位数有多少个？
（3）任意2个偶数都不相邻的七位数有多少个？
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】解：（1）分步完成：第一步，从4个偶数中取3个，有种情况；
第二步，从5个奇数中取4个，有种情况；
第三步，将取出的3个偶数和4个奇数进行全排列，有种情况.
所以符合题意的七位数的个数为.
（2）由题意，3个偶数排在一起的七位数的个数为
（3）由题意，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空隙中，则符合题意的七位数的个数为.
题组三 分组分配

1．（·全国·高三专题练习）甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（       ）种.
A．24 B．96 C．174 D．175
【答案】D
【解析】若4人均去茶经楼，则有1种参观方式，
若有3人去茶经楼，则从4人中选择3人，另1人从另外3处景点选择一处，
有种参观方式；
若有2人去茶经楼，则从4人中选择2人，另外2人从另外3处景点任意选择一处，
有种参观方式；
若有1人去茶经楼，则从4人中选择1人，另外3人从另外的3处景点任意选择一处，
有种参观方式，
综上：共有种参观方式.
故选：D
2．（·河南·郑州四中）5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，则不同的安排方法共有（       ）
A．30种 B．90种 C．120种 D．150种
【答案】D
【解析】因为每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，
共有1，2，2和1，1，3两种情况．若是1，2，2，则共有（种）；
若是1，1，3，则共有（种），
所以共有（种）不同的方法.
故选：D．
3．（·湖南·长沙一中模拟预测）将3本不同的画册和2本相同的图册分给甲、乙、丙三人，要求每人至少1本画册或图册，则不同的分法共有（       ）
A．90种 B．93种
C．96种 D．99种
【答案】B
【解析】由题可知把5本书先分组后分配，可分为3，1，1或2，2，1两种情况，然后分配给甲、乙、丙三人，
分为3，1，1时，当两个1都是图册时，不同的分法共有种；当两个1都是画册时，不同的分法共有种；当两个1为一本图册一本画册时，不同的分法共有种；
分为2，2，1时，当两个2中有一个2为2本图册时，不同的分法共有种；当两个2中各有一本图册时，不同的分法共有种；当单独的1是一本图册时，不同的分法共有种.
所以，将3本不同的画册和2本相同的图册分给甲、乙、丙三人，要求每人至少1本画册或图册，不同的分法共有种.故选：B.
4（·山东·模拟预测）年北京冬奥会共计有7大项､15个分项以及109个小项目，其中北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有的雪上项目北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同的报名方案有（       ）
A．8 B．14 C．6 D．20
【答案】B
【解析】将4名同学分成两组，有种分法，将分好的两组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，所以共有种报名方案.
故选：B.
5．（·重庆八中模拟预测）开学伊始，甲､乙､丙､丁四名校长分别去南校门，北校门和东校门组织迎接新生工作，要求每个校门至少安排一名校长，且甲校长必须安排到南校门，则不同的安排方式有（       ）
A．6种 B．12种 C．15种 D．18种
【答案】B
【解析】由题，安排四名校长去三个校门，每个校门至少安排一名校长，且甲校长必须安排到南校门，则南校门的人数为1或2，
当南校门有1人时，即甲校长，剩余3人安排在另2个校门，则种安排方式；
当南校门有2人时，先在除甲校长外的3人中选出1人安排在南校门，再安排剩余2人去另2个校门，则种安排方式，
所以共有种；故选：B
6．（·河北·石家庄市第十五中学）近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派5名医务工作者参加登记､接种､留观3项工作，每人参加1项，接种工作至少需要2人参加，登记､留观至少1人参加，则不同的安排方式有（       ）
A．50 B．80 C．140 D．180
【答案】B
【解析】不同的安排方式有两类办法，
有3人参加接种工作的安排方式有种，
有2人参加接种工作的安排方式有种，
由分类加法计数原理得不同的安排方式有：种.
故选：B.
7．（·浙江）25某高中举办年“书香涵泳，润泽心灵”读书节活动，设有“优秀征文”､“好书推荐语展示”和“演讲”三个项目.某班级有7名同学报名参加，要求每人限报一项，每个项目至少2人参加，则报名的不同方案有（       ）
A．420种 B．630种 C．1260种 D．1890种
【答案】B
【解析】由题7名同学分成3个组，每组分别有2，2，3人，共有种分组方式.
再排列有种方案.故选：B.
8．（·福建·三明一中）（多选）某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则（       ）
A．甲乙都不选的方案共有432种
B．选甲不选乙的方案共有216种
C．甲乙都选的方案共有96种
D．这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种
【答案】ABC
【解析】男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则原题可理解为从5男4女共9名员工中，选出2男2女共4名员工，安排在周一到周四的4个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班
甲乙都不选的方案共有种，A正确
选甲不选乙的方案共有种，B正确
甲乙都选，则分两种情况：乙排星期一或乙不排星期一
乙排星期一的方案共有种
乙不排星期一的方案共有种
∴甲乙都选的方案共有96种，C正确
这个单位安排夜晚值班分为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选
选乙不选甲的方案共有种
∴这个单位安排夜晚值班的方案共有432+216+432+96=1176种，D错误
故选：ABC．
9．（·广西）（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
【答案】（1）2；（2）10；（3）65；（4）1560.
【解析】（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少放1个小球，每个箱子先放入1个小球，还剩下2个小球，
则余下2个小球放在1个箱子中，或分开放在2个箱子中，
所以共有2种放法；
（2）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，将6个相同的小球排成一列，在形成的中间5个空隙中插入3块隔板，
所以不同的放法种数为；
（3）6个不同的小球放入4个相同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，
每一种分法的4组小球分别放入4个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法，
所以不同的放法种数为；
（4）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，
每一种分法的4组小球全排列，得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子满足要求，
所以不同的放法种数为．
题组四 涂色

1．（·重庆九龙坡）随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选择，则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色供选择，
每个三角形均有种涂法，故基本事件总数，
有公共边的三角形为不同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，
其他的三个三角形在剩下的4中颜色中任意涂色均可有种涂法，这一共有种涂法，
所求概率为．故选：A．
2．（·福建三明）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（       ）

A．180 B．192 C．300 D．420
【答案】D
【解析】
如图，将五个区域表示为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，有种；对于区域④⑤，若①与⑤颜色相同，则④有3种情况，
若①与⑤颜色不同，则⑤有2种情况，④有2种情况，此时区域④⑤的情况有种情况；则一共有种情况
故选：D．
3．（·广西·钦州市大寺中学）如图所示是由一个圆､一个三角形和一个长方形构成的图形，现有红､蓝两种颜色随意为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则相邻两个图形颜色不相同的概率为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】用两种颜色为图形涂色基本事件有：（红，蓝，蓝），（红，蓝，红），（红，红，蓝），（红，红，红），（蓝，蓝，蓝），（蓝，蓝，红），（蓝，红，蓝），（蓝，红，红），共个基本事件.
相邻两个图形颜色不相同的情形为：（红，蓝，红），（蓝，红，蓝），共2个基本事件，
所以所求的概率为，
故选：C.
4．（·江西·景德镇一中）如图所示，积木拼盘由，，，，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（       ）

A．780 B．840 C．900 D．960
【答案】D
【解析】先涂，则有种涂法，再涂，因为与相邻，所以的颜色只要与不同即可，有种涂法，同理有种涂法，有种涂法，有种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为．
故选：D.
5．（·江西·横峰中学）如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（       ）

A．种 B．种
C．种 D．种\
【答案】C
【解析】第一步：涂三棱锥P-ABC的三个侧面，
因为要求相邻的面均不同色，
所以共有种不同的涂法，
第二步：涂三棱柱ABC-的三个侧面，
先涂侧面有种涂法，再涂和只有1种涂法，
所以涂三棱柱的三个侧面共有种涂法，
所以对几何体的表面不同的涂色方案共有种涂法，
故选：C
6．（·重庆市璧山中学校）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（　　）

A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】考虑、、三个区域用同一种颜色，共有方法数为种；
考虑、、三个区域用种颜色，共有方法数为种；
考虑、、三个区域用种颜色，共有方法数为种．
所以共有方法数为种．
故选：C．
7．（·广东·揭阳市榕城区仙桥中学）现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（       ）

A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种
【答案】D
【解析】根据题意分步完成任务：
第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；
第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；
第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；
第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；
第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；
第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；
所以不同的涂色方法：种.
故选：D.
8．（·全国·高三课时练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（       ）

A．120种 B．720种 C．840种 D．960种
【答案】D
【解析】法一：有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，
若同色，有4种颜色可选；
若同色，有4种颜色可选；
若与、都不同色，则有2种颜色可选，此时有4种颜色可选，故共有种．
法二：当使用5种颜色时，有种涂色方法；
当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是，，，，，共有种涂色方法；当使用3种颜色时，只能是同色且同色，同色且同色，同色，同色，共有种涂色方法，
∴共有种涂色方法.
故选：D.
9．（·黑龙江齐齐哈尔）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.

【答案】66
【解析】当选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有种选法，因此不同的涂色方法有种，
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有种方法选法，
因此不同的涂色方法有种，
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有种方法选法，
因此不同的涂色方法有种，
当选择四种颜色时，不同的涂色方法有种，
所以共有种不不同的涂色方法，
故答案为：66
10．（·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域，，，和，，，分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有_________种；区域，，，和，，，分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有_________种.

【答案】     24     216
【解析】，同色，所以先涂有：，再涂有种，所以共有：种.
先涂共有：种，设四种颜色为，假设涂的颜色分别为，则涂色情况如下：
，，，共9种，所以：种.
故答案为：24；216.
11（·浙江嘉兴）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有______种．

【答案】48
【解析】由题意，分2步进行，第一步，对于区域①②⑤两两相邻，有种涂色方法，
第二步，对于区域 ③④必须有1个区域选剩下的1种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则有2种涂色方法，
所以共有种涂色方法，
故答案为：48
12．（·江西·进贤县第一中学高二阶段练习（理））用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法____．

【答案】960
【解析】因为区域和各个区域都相邻，所以首先给区域染色有5种方法,区域、各有4种方法, 区域、一个4种,一个3种,根据分步乘法计数原理可知, 共有涂色方法.
故答案为：960．
6.5 二项式定理（精练）（基础版）
题组一 指定项系数
1．（·全国·高三专题练习）在的展开式中，含项的系数为（       ）
A．160 B．192 C．184 D．186
【答案】B
【解析】二项式的展开式的通项，
当时，，项的系数为192.故选：B.
2．（·全国·高三专题练习）若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，则.故选：A.
3．（·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））的常数项的二项式系数为（       ）
A．375 B．-375 C．15 D．-15
【答案】C
【解析】由二项式展开式的通项公式为：；
令可得，即展开式的中第5项是常数项.∴常数项的二项式系数为：；故选：C.
4．（·新疆·三模（理））若，则（       ）
A．270 B．135 C．135 D．270
【答案】B
【解析】，
以代替，得，
所以其通项公式为，令，所以，故选：B
5．（·江苏·扬州中学高三阶段练习）的展开式中有理项的个数为_____．
【答案】17
【解析】通项公式，有理项只需要保证为整数即可，又，故，共17个.故答案为：17.
6．（·上海金山·二模）的二项展开式中项的系数为__________.（结果用数字作答）
【答案】24
【解析】由题意可得的通项公式为： ，
故项的系数为，故答案为：24
7．（·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）的展开式中的常数项为__________.
【答案】
【解析】的展开式的通项为，令，则，
所以的展开式中的常数项为.故答案为：.
8．（·全国·高三专题练习）在的展开式中，常数项为__________.
【答案】-252
【解析】根据二项式定理，第r+1项为 ，由于是常数， ，r=5，
其常数项系数为=-252.，故答案为：-252.
9．（·四川·树德中学高三开学考试（理））若二项式的展开式中第项与第项的系数相同，则其常数项是___________.
【答案】
【解析】由已知条件可得，所以，，
二项式的展开式通项为，
令，解得：，
因此展开式中的常数项为，
故答案为：.
题组二 二项式因式相乘的系数

1．（·内蒙古呼伦贝尔·二模（理））的展开式中的系数为___________.（用数字作答）
【答案】-162
【解析】4属开式的通项公式为.当时，x4的展开式中的系数为；当时的展开式中的系数为，故—的展开式中的系数为-162.
故答案为：-162
2．（·江苏·南京市第一中学高三开学考试）的展开式中，的系数为___________.
【答案】
【解析】，
其中的展开式通项为，，故时，得含的项为；
的展开式通项为，，故时，得含的项为.
因此，式子的展开式中，含的项为，即系数为 .
故答案为：
3．（·四川内江·模拟预测（理））的展开式中的系数为______（用数字作答）.
【答案】9
【解析】由的展开式通项为，
当时，当时，
所以含的项为.
故的系数为9.故答案为：9
4．（·广西柳州·模拟预测（理））展开式中的系数为___（用数字作答）．
【答案】
【解析】因为的展开式通项为，
，
在中，，在中，令，可得，
所以，展开式中的系数为.
故答案为：.
5．（·四川省内江市第六中学模拟预测（理））的展开式中的常数项为___________.（用数字作答）
【答案】50
【解析】因为，考虑中的常数项与项.由通项公式，即，故当时，中的常数项为，当时，中的项系数为，故的展开式中的常数项为
故答案为：
6．（·全国·高三专题练习）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【解析】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
7．（·全国·高三专题练习）的展开式中的系数是12，则实数a的值为（       ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】利用二项式定理展开得
则的系数为.
故选：C.
8．（·全国·高三专题练习）已知的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（       ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【解析】令，则，所以．
在中，的展开式的通项，
所以的展开式中的常数项为．
故选：A
9．（·全国·高三专题练习）的展开式中项的系数为（       ）
A．96 B． C．120 D．
【答案】A
【解析】依题意的展开式的通项公式为，
当时，得；当时，得，
故可得展开式中含的项为，
即展开式中项的系数为96.
故选:A
10．（·天津·南开中学高三阶段练习）的展开式中的系数为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故它的展开式中含的系数为，
故选：C．
题组三 三项式系数

1．（·全国·高三专题练习（理））的展开式中，的系数是__________．
【答案】120
【解析】法一：在的展开式中能产生的项为，
所以在这几项的展开式中的系数和为．
法二：，
所以的展开式中的系数就是中的系数，而中的系数为，
展开式中的系数为120.
故答案为：120.
2．（·江苏淮安·模拟预测）的展开式的常数项是___________．
【答案】70
【解析】的通项公式为；
当时，中的常数项为；
当时，中的常数项为；
当时，；
所以的展开式的常数项为；
故答案为：70.
3．（·湖北·襄阳五中模拟预测）在的展开式中，项的系数为__．
【答案】66
【解析】在的表示12个因式的乘积，
故有2个因式取，其余的10个因式都取1，可得展开式中，含的项，
故含项的系数为，故答案为：66
4．（·全国·高三专题练习）的展开式中常数项为
【答案】
【解析】将原式看成6个相同的因子相乘，按x的选取个数分类，
得展开式中常数项为．
5．（·浙江·模拟预测）在的展开式中含和含的项的系数之和为
【答案】
【解析】，则的系数为1，
的系数为，
所以在的展开式中含和含的项的系数之和为．
6．（·全国·高三专题练习）的展开式中的常数项为
【答案】
【解析】，
所以展开式中的常数项为
7．（·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））在的二项展开式中含项的系数为
【答案】21
【解析】的展开式的通项为．
的展开式的通项为．
由，得，
，，或，
在的展开式中，
含项的系数为．
题组四 系数和

1．（·北京工业大学附属中学三模）若，则________．
【答案】
【解析】在中，令可得：.
再令可得：，故.故答案为：.
2．（·辽宁沈阳·三模）若，则_______．
【答案】243
【解析】的展开式得通项为，
则，
令，则，
即.
故答案为：243.
3．（·湖北·荆州中学模拟预测）设．若，则实数________．
【答案】
【解析】令，则
解得：.故答案为：.
4．（·陕西·宝鸡中学模拟预测）设，则__________.
【答案】
【解析】因为，
令得，
令得，
所以；
故答案为：
5．（·天津河西·二模）若，则______．
【答案】
【解析】解：因为，
所以，令得，
令得，
另一方面，，即，
所以.
故答案为：
6．（·全国·高三专题练习）(1)设.
①求；
②求；
③求；
(2)求除以9的余数．
【答案】（1）①16，②136，③15；（2）7
【解析】(1)①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16.       
②令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，
而a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝136.             
③令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15.
（2）解　S＝C＋C＋…＋C＝227－1
＝89－1＝(9－1)9－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1
＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2
＝9(C×98－C×97＋…＋C－1)＋7，
显然上式括号内的数是正整数．
故S被9除的余数为7.

6.6 分布列基础（精练）（基础版）
题组一 超几何分布

1．（·云南·昆明市第一中学西山学校）国家“双减”政策落实之后，某市教育部门为了配合“双减”工作，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解本市课后延时服务情况，现从中抽取100份问卷，统计了其中学生一周课后延时服务总时间(单位：分钟)，并将数据分成以下五组：，得到如图所示的频率分布直方图.


(1)根据如图估计该市小学生一周课后延时服务时间的众数、平均数、中位数(保留小数点后一位)；
(2)通过调查分析发现，若服务总时间超过160分钟，则学生有不满情绪，现利用分层随机抽样的方法从样本问卷中随机抽取8份，再从抽取的8份问卷中抽取3份，记其中有不满情绪的问卷份数为，求的分布列及均值.
【答案】(1)150，151，150.9；(2)分布列见解析，.
【解析】(1)众数：150；
第1到5组频率分别为：0.05，0.15，0.55，0.2，0.05，
平均数：，
设中位数为，则中位数在第3组，则，；
(2)用分层随机抽样抽取8份问卷，其中学生有不满情绪的有8×(0.2＋0.05)＝2份，
∴的可能取值为0，1，2，
∴，，，
∴的分布列为：

0
1
2




∴.
2．（·北京·高三专题练习）为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.

(1)从参加培训的学生中随机选取人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；
(2)从图中考核成绩满足的学生中任取人，设表示这人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；
(3)根据以往培训数据，规定当时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)有效，理由见解析
【解析】
(1)解：设该名学生的考核成绩优秀为事件，
由茎叶图中的数据可知，名同学中，有名同学的考核成绩为优秀，故.
(2)解：由可得，
所以，考核成绩满足的学生中满足的人数为，
故随机变量的可能取值有、、、，
，，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：











因此，.
(3)解：由可得，由茎叶图可知，满足的成绩有个，
所以，因此，可认为此次冰雪培训活动有效.
3．（·宁夏中卫·三模（理））共享电动车（sharedev）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为，若从这些共享电动车中任意抽取3辆.
(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；
(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，数学期望为.
【解析】(1)因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆.记A为“从中任取3辆共享单车中恰好有一辆是橙色”，则.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以，，
，.
所以分布列为

0
1
2
3





数学期望.
4．（·广东·华南师大附中三模）“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示：
周末体育锻炼时间






频率
0.1
0.2
0.3
0.15
0.15
0.1
(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在内的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在内的人数为X，求X的分布列以及数学期望.
【答案】(1)；(2)分布列答案见解析，数学期望：.
【解析】(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数
.
(2)依题意，周末体育锻炼时间在内的学生抽6人，在内的学生抽9人，
则，，，，
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




则.

5．（·云南保山·模拟预测（理））某高中学校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全校学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼不达标

(1)根据频率分布直方图估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的众数、中位数；
(2)为了了解学生课外体育锻炼时间不达标的原因，从上述锻炼不达标的学生中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这三人中每天课外体育锻炼时间在的人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)中位数为，众数等于25(2)分布列见解析，0.9
【解析】(1)众数就是直方图中最高矩形底边中点的横坐标，则样本众数等于25．
由频率分布直方图可得，在上的频率为0.08，在上的频率为0.16，在上的频率为0.32，，则中位数在区间上．
设中位数为，则，，即样本中位数为．
(2)根据题意，在，，，上抽取的人数分别为1，2，4，3，其中在上抽取的人数为3，则，1，2，3．，
．
从而得到随机变量的分布列如下表：

0
1
2
3
P




随机变量的期望
6．（·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）自“新型冠状肺炎”疫情爆发以来，科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”.在科研人员不懈努力下，我国公民率先在年年末开始使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权.研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验：
(1)实验一：选取只健康白兔，编号至号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现：除号､号､号和号四只白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染.现从这只白兔中随机抽取只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作，求的分布列和数学期望.
(2)实验二：疫苗可以再次注射第二针､加强针，但两次疫苗注射时间间隔需大于三个月.科研人员对白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响.试问：若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗后的有效率能否保证达到？如若可以，请说明理由；若不可以，请你参考上述实验给出注射疫苗后有效率在以上的建议.
【答案】(1)分布列见解析；数学期望；
(2)无法保证；建议：需要将注射一次疫苗的有效率提高到以上.
【解析】(1)由题意得：所有可能的取值为，，，，
；；
；；
的分布列为：










数学期望；
(2)由已知数据知：实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为，则注射一次疫苗的有效率为，
一只白兔注射两次疫苗的有效率为：，
无法保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到；
设每支疫苗有效率至少达到才能满足要求，
，解得：，
需要将注射一次疫苗的有效率提高到以上才能保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到.
7．（·全国·高三专题练习（理））高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.
(1)求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；
(2)设为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)(2)分布列见解析，期望为
【解析】(1)解：设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件,
由于事 件、相互独立，且，
所以选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率为.
(2)解：由题意，随机变量可能的取值为0，1，2，3，
可得，，
，，
所以随机变量的分布列为：

0
1
2
3
P




所以随机变量的数学期望 .


题组二 二项分布

1．（·北京·人大附中三模）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1

6
2

8
3

17
4

22
5

25
6

12
7

6
8

2
9

2
合计
100


每周课外阅读时间小于小时的学生我们称之为“阅读小白”，大于等于小时且小于小时的学生称之为“阅读新手”，阅读时间大于等于小时的学生称之为“阅读达人”.
(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的阅读时间大于等于小时，问这名学生是“阅读达人”概率；
(2)从该校学生中选取人，用样本的频率估计概率，记这人中“阅读新手和阅读小白”的人数和为，求的分布列和数学期望；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.（只需写出结论）
【答案】(1)(2)分布列答案见解析，(3)第组
【解析】(1)解：从样本中随机选取一名学生，其中阅读时间大于等于小时的学生人数为，
“阅读达人”的学生人数为，故所求概率为.
(2)解：从该校学生中任选一人，该学生是“阅读小白”或“阅读新人”的概率为，
所以，，则，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：










.
(3)解：样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数为

.因此，样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数在第组.
2．（·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想．为响应国家号召，某市年植树节期间种植了一批树苗，年市园林部门从这批树苗中随机抽取100棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：

(1)求树高在225-235cm之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值；
(2)若将树高以等级呈现，规定：树高在185-205cm为合格，在205-235为良好，在235-265cm为优秀．视该样本的频率分布为总体的频率分布，若从这批树苗中机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数的分布列和数学期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析；期望为
【解析】(1)树高在225-235cm之间的棵数为：．
树高的平均值为：
(2)由（1）可知，树高为优秀的概率为：，
由题意可知，则的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
故的分布列为：

0
1
2
3
P
0.512
0.384
0.096
0.008
因为，所以
3．（·新疆克拉玛依·三模（理））第届北京冬季奥林匹克运动会于年月日至月日在北京和张家口联合举办.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.某市举办了中学生滑雪比赛，从中抽取40名学生的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如下，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图.
       
(1)求频率分布直方图中的值，并根据直方图估计该市全体中学生的测试分数的中位数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保留一位小数）；
(2)将频率作为概率，若从该市全体中学生中抽取4人，记这4人中测试分数不低于90分的人数为X，求X的分布列及数学期望.
【答案】(1)，中位数为，平均数为74.5；(2)分布列见解析，.
【解析】(1)由频率分布直方图和茎叶图知，测试分数在的频率依次为：，
因此，测试分数位于的频率为，则，
显然测试分数的中位数t在区间内，则有：，解得：，
测试分数的平均数为：.
(2)测试分数不低于90分的频率为，的所有可能值是：0，1，2，3，4，
显然，，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P





数学期望.
4．（·全国·模拟预测）为了中国经济的持续发展制定了从年2025年发展纲要，简称“十四五”规划，为了普及“十四五”的知识，某党政机关举行“十四五”的知识问答考试，从参加考试的机关人员中，随机抽取100名人员的考试成绩的部分频率分布直方图，其中考试成绩在上的人数没有统计出来．

(1)估算这次考试成绩的平均分数；
(2)把上述的频率看作概率，把考试成绩的分数在的学员选为“十四五”优秀宣传员，若从党政机关所有工作人员中，任选3名工作人员，其中可以作为优秀宣传员的人数为，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为
【解析】(1)设分数在内的频率为x，根据频率分布直方图得，
，解得，
可知分数在内的频率为0.25，则考试成绩的平均分数为
．
(2)根据频率分布直方图可知考试成绩在的频率为，则．
，
，，
故随机变量的分布列为

0
1
2
3
P




因为该分布为二项分布，所以该随机变量的数学期望为．
5．（·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，质点到达位置的数字记为．

(1)若该质点共移动2次，位于原点的概率；
(2)若该质点共移动6次，求该质点到达数字的分布列和数学期望．
【答案】(1);(2)分布列见解析，.
【解析】(1)质点移动2次，可能结果共有种，
若质点位于原点，则质点需要向左、右各移动一次，共有种，故质点位于原点的概率.
(2)质点每次移动向左或向右，设事件A为“向右”，则为“向左”，故,
设Y表示6次移动中向左移动的次数，则，质点到达的数字,
所以,
，，
，，
，，
所以的分布列为：





2
4
6








.
6．（·北京通州·模拟预测）第届冬季奥林匹克运动会，于年月在北京市和张家口市联合举行．某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训．训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为、、、、五个等级，分别对应的分数为、、、、．甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示．

(1)根据上图判断，甲、乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明）
(2)求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；
(3)若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为分并且乙的成绩为分或分的次数为，求的分布列（频率当作概率使用）．
【答案】(1)乙比甲的单板滑雪成绩更稳定
(2)众数为分，平均数为分
(3)分布列答案见解析
【解析】(1)解：由图可知，乙比甲的单板滑雪成绩更稳定.
(2)解：因为甲单板滑雪项目测试中分和分成绩的频率之和为，
分成绩的频率为，所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的众数为分，
测试成绩分的频率为，
所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的平均数为.
(3)解：由题意可知，在每次测试中，甲的成绩为分，并且乙的成绩为分或分的概率为，
依题意，，所以，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：









题组三 独立重复实验

1．（·全国·高三专题练习（理））冰壶是年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆中，得3分，冰壶的重心落在圆环中，得2分，冰壶的重心落在圆环中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．

(1)求甲所得分数大于乙所得分数的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之差的绝对值为，求的分布列和期望．
【答案】(1)(2)分布列见解析，期望为：
【解析】(1)由题意知甲得0分的概率为，乙得0分的概率为，
甲所得分数大于乙所得分数分为：甲得3分乙得2或1或0分，甲得2分乙得1或0分，甲得1分乙得0分所以所求概率为．
(2)可能取值为0，1，2，3，




所以，随机变量的分布列为：
X
0
1
2
3
P




所以
2．（·全国·高三专题练习（理））为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲､乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下：①抛一次质地均匀的硬币，若正面向上，则由甲回答一个问题，若反面向上，则由乙回答一个问题.②回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分.③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，且两人每道题目是否回答正确相互独立.
(1)求乙同学最终得10分的概率；
(2)记X为甲同学的最终得分，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，X的数学期望为
【解析】(1)记“乙同学最终得10分”为事件A，
则可能情况为甲回答两题且错两题；甲､乙各答一题且各对一题；乙回答两题且对一题错一题，
则，所以乙同学得10分的概率是.
(2)甲同学的最终得分X的所有可能取值是0，5，10，15，20.
，
，
，
，
.
X的分布列为
X
0
5
10
15
20
P





，所以X的数学期望为.
3．（·青海·海东市第一中学模拟预测（理））“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响.
(1)求选手甲被淘汰的概率；
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)(2)分布列见解析，
【解析】(1)设“选手甲被淘汰”为事件A，
因为甲答对每个题的概率均为，所以甲答错每个题的概率均为.
则甲答了3题都错，被淘汰的概率为；
甲答了4个题，前3个1对2错，被淘汰的概率为；
甲答了5个题，前4个2对2错，被淘汰的概率为.
所以选手甲被海的概率.
(2)易知X的可能取值为3，4，5，对应甲被淘汰或进入复赛的答题个数，
则，
，
.
X的分布列为
X
3
4
5
P(X)



则.
4．（·湖南·长沙一中模拟预测）某靶场有，两种型号的步枪可供选用，其中甲使用两种型号的步枪的命中率分别为,；，
(1)若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得一份精美礼品，若甲使用型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得精美礼品的概率；
(2)现在两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记为射击的次数，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)(2)分布列见解析；的数学期望为.
【解析】(1)甲击中5次的概率为，甲击中4次的概率为，
甲击中3次的概率为，
所以甲获得精美礼品的概率为.
(2)的所有可能取值为2,3,4,5,
，
，
，
，
所以的分布列为：

2
3
4
5





所以.
5．（·全国·二模（理））“百年征程波澜壮阔，百年初心历久弥坚”．为庆祝中国建党一百周年，哈市某高中举办了“学党史、知党情、跟党走”的党史知识竞赛．比赛分为初赛和决赛两个环节，通过初赛选出两名同学进行最终决赛．若该高中A，B两名学生通过激烈的竞争，取得了初赛的前两名，现进行决赛．规则如下：设置5轮抢答，每轮抢到答题权并答对则该学生得1分，答错则对方得1分．当分差达到2分或答满5轮时，比赛结束，得分高者获胜．已知A，B每轮均抢答且抢到答题权的概率分别为，，A，B每一轮答对的概率都为，且两人每轮是否回答正确均相互独立．
(1)求经过2轮抢答A赢得比赛的概率；：
(2)设经过抢答了X轮后决赛结束，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为
【解析】(1)记事件C为“经过2轮抢答A赢得比赛”
A学生每轮得一分的概率，
B学生每轮得一分的概率，
，所以经过2轮抢答A赢得比赛的概率为．
(2)X的可能取值为2，4，5．
2轮比赛甲赢或乙赢的概率为，
4轮比赛甲赢或乙赢的概率为，
5轮比赛甲赢或乙赢的概率为．
X的分布列为：
X
2
4
5
P



，数学期望为．
6．（·湖南·长沙市明德中学二模）沙滩排球是一项每队由两人组成的两队在由球网分开的沙地上进行比赛的运动．它有多种不同的比赛形式以适应不同人、不同环境下的比赛需求．国家沙滩排球队为备战每年一次的世界沙滩排球巡回赛，在文昌高隆沙湾国家沙滩排球训练基地进行封闭式训练．在某次训练中，甲、乙两队进行对抗赛，每局依次轮流发球（每队不能连续发球），连续赢得个球的队获胜并结束该局比赛，并且每局不得超过个球．通过对甲、乙两队过去对抗赛记录的数据分析，甲队发球甲队赢的概率为，乙队发球甲队赢的概率为，每一个球的输赢结果互不影响，已知某局甲先发球．
(1)求该局第二个球结束比赛的概率；
(2)若每赢个球记分，每输一个球记分，记该局甲队累计得分为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)(2)分布列见解析，
【解析】(1)记：“甲队发球甲队赢”为事件，“乙队发球甲队赢”为事件，“第二个球结束比赛”为事件，则，，，，
因为事件与互斥，所以
，
所以该局第二个球结束比赛的概率为.
(2)依题意知随机变量的所有可能取值为
；

；


；

.
所以的分布列为

0
2
4
6





故数学期望.
题组四 正态分布

1．（·江苏省木渎高级中学模拟预测）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因，且，则有，即，
不等式为：，则，，
所以，，A，B，D均不正确，C正确.故选：C
2．（·江苏·高三专题练习）随机变量，已知其概率分布密度函数在处取得最大值为，则（       ）
附：．
A．0.6827 B．0.84135 C．0.97725 D．0.9545
【答案】B
【解析】由题意，，，所以，
，所以，
．故选：B．
3．（·河南安阳·模拟预测（理））某房产销售公司有800名销售人员，为了了解销售人员上一个季度的房屋销量，公司随机选取了部分销售人员对其房屋销量进行了统计，得到上一季度销售人员的房屋销量，则全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有（       ）
附：若随机变量X服从正态分布，则，，．
A．254人 B．127人 C．18人 D．36人
【答案】B
【解析】因为，所以，，所以所以全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有（人）；故选：B
4．（·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）（多选）已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分服从正态分布N，，，，则（       ）
A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D．
【答案】BC
【解析】依题意得，，，因为，
所以这次考试标准分超过180分的约有人，故A不正确；
，
所以这次考试标准分在内的人数约为人，故B正确；
依题意可知，每个人的标准分超过180分的概率为，
所以甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为，故C正确；

，故D不正确.故选：BC
5．（·江苏无锡·模拟预测）（多选）老杨每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有两条线路可以选择．乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟．下列说法从统计角度认为合理的是（       ）
已知时，有，，．
A．若乘坐线路，18：00前一定能到家
B．乘坐线路和乘坐线路在17：58前到家的可能性一样
C．乘坐线路比乘坐线路在17：54前到家的可能性更大
D．若乘坐线路，则在17：48前到家的可能性超过1%
【答案】BC
【解析】若乘坐线路，18：02前能到家的可能性为
∴乘坐线路，18：00前不可能一定能到家，A错误；
乘坐线路在17：58前到家的可能性
乘坐线路在17：58前到家的可能性
∴乘坐线路和乘坐线路在17：58前到家的可能性一样，B正确；
乘坐线路在17：54前到家的概率
乘坐线路在17：54前到家的可能性
∴乘坐线路比乘坐线路在17：54前到家的可能性更大，C正确；
乘坐线路，则在17：48前到家的可能性，D错误；故选：BC．
6．（·全国·高三专题练习）已知随机变量，，，______.
【答案】
【解析】已知随机变量，知，
因为,所以.故答案为：.
7．（·山东·德州市教育科学研究院三模）已知某种袋装食品每袋质量，则随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间的约___________袋（质量单位：）.（附：，则，，）.
【答案】8186
【解析】由题意得：，
，
则，
故，
则袋装质量在区间的约有袋.
故答案为：8186
8．（·四川省泸县第二中学模拟预测（理））某市高一招生，对初中毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．该市年初中毕业升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳等三项测试，三项考试总分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．该市一初中学校为了在初三上学期开始时掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到每段人数的频率分布直方图（如图），且规定计分规则如表：

每分钟跳绳个数




得分
17
18
19
20
若该初中学校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该初中学校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：
(1)预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）
(2)若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望．附：若随机变量X服从正态分布，则，，．
【答案】(1)1683(2)分布列见解析，1.5
【解析】(1)
又所以正式测试时，．
（人）
(2)由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，
即，
的分布列为．

0
1
2
3

0.125
0.375
0.375
0.125
所以，
9．（·海南海口·二模）为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，某校组织学生加强100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名男生作为样本，统计他们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）．

(1)若规定男生短跑成绩小于13.5秒为优秀，求样本中男生短跑成绩优秀的概率．
(2)估计样本中男生短跑成绩的平均数．（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
(3)根据统计分析，该校男生的短跑成绩X服从正态分布，以（2）中所求的样本平均数作为的估计值．若从该校男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在以外的人数为Y，求．
附：若，则．．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)由频率分布直方图可得，解得，
所以样本中男生短跑成绩优秀的概率为．
(2)估计样本中男生短跑成绩的平均数为
．
(3)由（2）知，所以，
所以该校男生短跑成绩在以外的概率为

根据题意，
所以．
10．（·海南·模拟预测）每年4月15口为全民国家安全教育日，某地教育部门组织大学生“国家安全”知识竞赛．已知当地只有甲、乙两所大学，且两校学生人数相等，甲大学学生的竞赛成绩服从正态分布，乙大学学生的竞赛成绩服从正态分布．
(1)从甲大学中随机抽取5名学生，每名学生的竞赛成绩相互独立，设其中竞赛成绩在内的学生人数为，求的数学期望；
(2)从两所大学所有学生中随机抽取1人，求该学生竞赛成绩在内的概率；
(3)记这次竞赛所有大学生的成绩为随机变量，并用正态分布来近似描述的分布，根据（2）中的结果，求参数和的值．（的值精确到0.1）
附：若随机变量，则，．
【答案】(1)(2)(3)，．
【解析】(1)，根据题意，
故．
(2)因为两所大学的学生人数相等，所以随机抽取1名学生，该学生来自两所大学的概率均为．设该学生竞赛成绩为．则．
(3)由于两所大学的学生人数相等，、的方差也相等．根据正态曲线的对称性，可知．
由（2）可知．又根据参考数据，
所以，得．
11．（·辽宁·鞍山一中模拟预测）教育部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）．“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表．
消费金额（千元）






人数
30
50
60
20
30
10

以频率估计概率，假设该大型校外培训机构年所有学员的消费金额可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）．
(1)求和的值；
(2)试估计该机构学员年消费金额为的概率（保留一位小数）；
(3)若从该机构年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的期望和方差．
参考数据：；若随机变量，则，，．
【答案】(1)8；8(2)0.8(3)
【解析】(1)由题意得，
；
(2)由（1）得，所以．
(3)由题意及（2）得，，，所以，
．
6.7 均值与方差在生活中的运用（精练）（基础版）
题组一 均值与方差的性质

1．（·浙江·磐安县第二中学）已知随机变量的分布列如下表所示：

0
1
2




若，则（       ）
A．>，> B．
C．>，< D．