清北教育高考数学二轮专题精练教师版1

这是一份清北教育高考数学二轮专题精练教师版1，共10页。试卷主要包含了点集的基本运算，元素的互异性，子集的个数，韦恩图的运用，集合中的参数问题等内容，欢迎下载使用。
1.1 集合（精练）（基础版）
题组一 数集的基本运算

1.（·湖南益阳·高三阶段练习）已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意集合，，所以.故选：B.
2．（·湖南师大附中高三阶段练习）设全集，集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设，，则，故选：D.
3．（·全国·高考真题（文））已知全集，集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，则.故选：A.
4．（·浙江·高考真题）设集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由交集的定义结合题意可得：.故选：D.
5．（·北京·高考真题）已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：.故选：B.
6．（·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知集合，B={-2，-1，0，1}，则A∩B=（       ）
A．{-2，-1，0，1} B．{-1，0，1} C．{-1，0} D．{-2，-1，0}
【答案】B
【解析】因为等价于等价于，所以，又，
所以.故选：B
7．（·福建·模拟预测）若集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知，，所以．故选：C．
8．（·辽宁·一模）已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取，易知，所以，故排除ABD.故选：C
9．（·内蒙古包头·一模（理））已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为和的最小公倍数为，故.故选：A.
10．（·全国·模拟预测）已知全集，集合，集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得：；又，解得:或，所以，所以，故选：题组二 点集的基本运算

1．（·四川凉山彝族自治州·高三三模（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，所以．故选：B．
2.（·全国高三其他模拟（理））已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得或或或．故中含有个元素．
3．（·辽宁锦州·高一期末）已知集合，．从集合A中任取一个元素m，则的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合A中的元素有共7个元素，
其中属于集合的有共3个元素，
故从集合A中任取一个元素m，则的概率为.故选：B
4．（·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）已知集合，则（       ）
A． B． C．S D．T
【答案】D
【解析】依题意，，而，所以.故选：D.
题组三 元素的互异性
1．（·新疆）若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（       ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【解析】由题可知，集合中的元素是的三边长，则，所以一定不是等腰三角形．故选：D．
2．（·福建省龙岩）已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，故，，即.故选：B.
3．（·新疆·新源县）设，，，若，则（   ）
A． B． C．2 D．0
【答案】D
【解析】由知：，即，得，∴.故选：D.
4．（·江西）集合，若，则（       ）
A． B．3或 C．3 D．3或或5
【答案】A
【解析】因为，所以，
当时，，此时，，，不合题意，
当时，或，
当时，，，符合题意，
当时，不满足元素的互异性.
综上所述：.故选：A.
5（·全国·高三专题练习）已知，若，则实数构成的集合的元素个数是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①，∴，，则，不可以，
②，∴，，则，可以，
或，∴，，则，不可以，
③，，，则，不可以，
或，∴，，则，不可以，∴，故选：B．
6．（·全国·高三专题练习）已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，则的值为_________．
【答案】1
【解析】当a＋2＝1时，a＝－1，此时有(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1，不满足集合中元素的互异性；
当(a＋1)2＝1时，a＝0或a＝－2，当a＝－2，则a2＋3a＋3＝1，舍去，经验证a＝0时满足；
当a2＋3a＋3＝1时，a＝－1或a＝－2，由上知均不满足，故a＝0，则＝1．故答案为：1
题组四 （真）子集的个数

1．（·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模）设集合，则集合A的子集个数为（       ）
A．16 B．32 C．15 D．31
【答案】B
【解析】因为集合，所以集合A的子集个数为，故选：B
2.（·广东广州·一模）已知集合，，则的子集个数为（  ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由题可知，所有，所有其子集分别是，所有共有4个子集
故选：C
3．（·全国·模拟预测）已知，则的子集的个数为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得：，∴，∴其子集个数为个.
故选：D.
4．（·陕西陕西·一模（文））已知集合，，则集合的真子集的个数是（       ）
A．7 B．31 C．16 D．15
【答案】D
【解析】，，的真子集的个数为个.故选：D
5．（·河北·高三阶段练习）已知集合，，则的真子集个数为（       ）
A．32 B．31 C．16 D．15
【答案】D
【解析】由不等式，即，解得，所以集合，
又由，所以，可得集合的真子集个数为.故选：D.
6．（·安徽黄山·一模）已知集合，，则的真子集的个数是（  ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】∵,,∴,∴的真子集个数为，
故选：.
题组五 韦恩图的运用

1．（·全国·模拟预测）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（     ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】全集,
又因为，所以,而所以阴影部分表示的集合是即为，故选：B.
2．（·河北·模拟预测）已知集合，，图中阴影部分为集合M，则M中的元素个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】如图所示，
，，解得且，
又，，，
，所以M中元素的个数为3故选：C
3（·全国·高三专题练习）已知全集，集合，它们的关系如图（图）所示，则阴影部分表示的集合为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得：
故选：C
4．（·全国·高三专题练习）已知集合，且 、都是全集 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
,故选C．
5．（·全国·高三开学考试）如图所示，阴影部分表示的集合是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图可知阴影部分属于A，不属于B，故阴影部分为，故选：A.
6．（·全国·高三专题练习）设，已知两个非空集合，满足则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示P，Q，

满足＝R，即PQ故选：B
7．（·全国·高三专题练习）如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图知，阴影部分在集合中，在集合中，但不在集合中，故阴影部分所表示的集合是.故选：C.
题组六 集合中的参数问题

1．（·江苏·高考真题）已知集合，，若，则的值是（   ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】B
【解析】因为，若，经验证不满足题意；若，经验证满足题意.所以.故选：B.
2．（·江西赣州·一模）设集合，.若，则实数n的值为（       ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】依据集合元素互异性可知，，排除选项AB；
当时，，，
满足.选项C判断正确；
当时，，，
.选项D判断错误.故选：C
3．（·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知集合M={1，2，3}，，若，则a的值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．1或2
【答案】C
【解析】当时，由，得，即，不满足题意；当时，由，得，即，不满足题意；当时，由，得或，即，满足题意.故选：C
4．（·全国·高三专题练习）（多选）设，，若，则实数的值可以是（　　）
A．0 B． C． D．2
【答案】ABC
【解析】由题意，，因为，所以，
若，则，满足题意；
若，则，因为，所以或，则或.
综上：或或故选：ABC.
5．（·全国·高三专题练习）（多选）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（       ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】BCD
【解析】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，
当时，，所以，所以，满足要求；
当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，故选：BCD.
6．（·全国·高三专题练习）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3}A＝{x∈R|x4}，若，则实数a的取值范围是________．
【答案】a2
【解析】①当a>3即2a>a＋3时，A＝，满足；.
②当a3即2aa＋3时，若，
则有，解得ab>a C．b>a>c D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，，故有：
，故，又
又，可得：则有：故有：
综上可得：故选：D
6．（·湖南·高三阶段练习）（多选）已知实数m，n满足，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由知， ，故，A正确；
由得，，所以，即，故B错误；因为指数函数为单调减函数，故，
由幂函数 为单调增函数知 ，故，故C正确；
根据, 对数函数 为单调减函数,
故，故D错误，故选：AC
7．（·重庆市育才中学）（多选）若a＞b＞0＞c，则(       )
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】A：，
∵，，，，故A正确；
B：，
∵，∴，，故B正确；
C：时，在单调递减，∵，故C错误；
D：∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴，∵a≠b，故等号取不到，故，故D正确.故选：ABD.
题组四 已知一元二次不等式的解求参

1．（·全国·高三专题练习）（多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（     ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】对A，不等式的解集为，
故相应的二次函数的图象开口向下，即，故A错误；
对B，C，由题意知： 和是关于的方程的两个根，则有，，又，故，故B，C正确；
对D，，，
又，，故D正确.故选：BCD.
2．（·浙江·高三专题练习）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为关于的方程有两个不同的正根，
所以，解得，故实数的取值范围是.故选：C
3．（·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原不等式变形为，时，原不等式才有解．
且解为，要使其中只有5个整数，则，解得．
故选：D．
4．（·全国·高三专题练习）关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式的解集是，即对于，恒成立，即，
当时，，当时，，
因为，所以，综上所述.故选：A.
5．（·湖南·长郡中学高三阶段练习）若关于x的不等式的解集是，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由不等式的解集是，即方程的两个根为和，
所以，解得，，
又由，则由，即，所以必有，
对于A中，且，所以，所以A错误；
对于B中，当时，得到，所以B错误；
对于C中，当时，，又由，所以C错误；
对于D中，当时，可得，
又由，所以D正确.故选：D.
6．（·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集是，则______.
【答案】1
【解析】因为关于的不等式的解集是，所以是方程的两个根，
所以由根与系数的关系可得，得，故答案为：1
7．（·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】由不等式的解集为，
可知方程有两根，故，
则不等式即等价于，
不等式的解集为，
则不等式的解集为，故答案为：.
题组五 一元二次不等式的恒成立问题

1．（·浙江·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】存在，不等式成立，则，能成立，
即对于，成立，
令，，则，令，
所以当，单调递增，当，单调递减，
又，所以f(x)>−3，所以.故选：C
2．（·江苏南通·高三阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，当时，不等式恒成立，故解得
故实数的取值范围是故选：A
3．（·北京·高三专题练习）若不等式的解集为空集，则的取值范围是（       ）
A． B．，或
C． D．，或
【答案】A
【解析】∵不等式的解集为空集，∴，∴.故选：A.
4．（·浙江·高三专题练习）已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由得，
因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式
则不等式的解集是的子集，
又由得，
当，，符合；
当，，则，，
当，，符合，
故实数的取值范围为.
故选：C.
5．（·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，对一切均大于0恒成立，
所以 ，或，或，
解得或，，或，综上，实数的取值范围是，或.故选：A.
6．（·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．
【答案】C
【解析】令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，整理得：，解得：或．
的取值范围为．故选：C．
题组六 解含参的一元二次不等式

1．（·全国·高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（       ）
A．或 B．{x|x>a}
C．或 D．
【答案】A
【解析】因为，所以等价于，
又因为当时，，所以不等式的解集为：或．故选：A．
2．（·浙江·高三专题练习）不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.故选：A.
3．（·全国·高三专题练习）（多选）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由，分类讨论如下：当时，；
当时，；当时，或；当时，；当时，或.
故选：AB.
4．（·全国·高三专题练习）若00.
【答案】答案见解析
【解析】（1）
当时，不等式为，解集为；
时，不等式分解因式可得
当时，故，此时解集为；
当时，，故此时解集为；
当时，可化为，又解集为；
当时，可化为，又解集为.
综上有，时，解集为；时，解集为；时，解集为；
时，解集为；时，解集为
（2）把化简得，
①当时，不等式的解为
②当，即，得，此时，不等式的解为或
③当，即，得或，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为，
④当，得，此时，，解得且，
综上所述，当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为且，
当时，不等式的解为或，
（3），，
①时，，可得；
②时，可得
若，解可得，或；
若，则可得，
当即时，解集为，；
当即时，解集为，；
当即时，解集为.
（4）不等式可化为.
①当时，，解集为，或；
②当时，，解集为；
③当时，，解集为，或.
综上所述，
当时，原不等式的解集为，或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为，或.
（5）当时，不等式即，解得.
当时，对于方程，
令，解得或；
令，解得或；
令，解得或，方程的两根为.
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（6）原不等式可变形为.
①当时，则有，即，解得；
②当时，，解原不等式得或；
③当时，.
（i）当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解；
（ii）当时，即当时，解原不等式得；
（iii）当时，即当时，解原不等式可得.
综上所述：①当时，原不等式的解集为；
②当时，原不等式的解集为；
③当时，原不等式的解集为；
④当时，原不等式的解集为；
⑤当时，原不等式的解集为.
（7）（1）当a=0时，原不等式可化为-2x+4>0，解得x1 B． C． D．是数列中的最大项
【答案】A
【解析】因为，所以或，而为等比数列，，于是，，则A错误；
，则B正确；，则C正确；
因为，所以是数列中的最大项，则D正确.
故选：A.
5．（·全国·高三专题练习）已知等比数列中，为其前项之和，，则______
【答案】260
【解析】根据等比数列前n项和的性质，可知，，成等比数列，
则，即，解得.故答案为：.
6．（·安徽·芜湖一中）等比数列满足：，且，，，成等差数列，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】由题可知，，
故，，
，，所以最大值为.故答案为：.
7．（·山东聊城一中高三期末）已知等比数列的公比，且，则___________.
【答案】120
【解析】因为在等比数列中，若项数为，则，
所以

.故答案为：120
8．（·河南·高三阶段练习（理））已知为等比数列的前n项和，，（c为实数）．若，则当取最小值时，n＝______．
【答案】11
【解析】由题意，，两式相减得，则．设等比数列的公比为q，故，故，则，故，令，可得，则，即，故当时，，；当时，，故当取最小值时，．故答案为：11
9．（·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）已知等比数列的前n项和，则________．
【答案】2
【解析】由题设，，
若时，，故与矛盾，
∴，即，显然成立.
故答案为：2.
10．（·江苏）等比数列的前项和为,则实数_______.
【答案】1
【解析】
最后代回原式进行检验。
11．（·北京·高三专题练习）已知数列的前项和，若此数列为等比数列，则__________．
【答案】
【解析】因为数列的前项和，
所以， ；
又，因为数列为等比数列，则也满足，
即，解得.故答案为
题组四 等比数列定义及其运用


1．（·全国·课时练习）已知数列a，，，…是等比数列，则实数a的取值范围是（       ）．
A． B．或 C． D．且
【答案】D
【解析】由等比数列的定义知，数列中不能出现为0的项，且公比不为0，所以且,
所以且.故选：D.
2．（·北京·人大附中高三开学考试）若数列满足，则“，，”是“为等比数列”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“，，”，取，则，为等比数列．
反之不成立，为等比数列，设公比为，则，，只有时才能成立满足．
数列满足，则“，，”是“为等比数列”的充分不必要条件．
故选：A．
3．（·全国·高三专题练习）若，，成等比数列且公比为，那么，，（       ）
A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列
C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为
【答案】C
【解析】因为，，成等比数列且公比为，所以，，可得，，由等比数列的中项可判断得，，成等比数列，并且公比为.故选：C
4．（·天津和平）已知数列中，，.证明：数列是等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为，
又，所以为首项是4，公比为2的等比数列.
5．（·全国·高三专题练习）已知数列满足：.证明数列是等比数列，并求数列的通项；
【答案】证明见解析，.
【解析】证明：因为，所以．因为，所以，所以．又，
所以是首项为，公比为2的等比数列，所以．
6．（·湖南·长沙一中高三阶段练习）数列满足：，．记，求证：数列为等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】∵，∴，
∴，∴数列是以，公比为的等比数列．
7．（·江西·赣州市赣县第三中学）已知数列满足： ，且.求证：数列是等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】因为，，，所以，
所以，即，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
8．（·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．证明：数列是等比数列，并求通项公式；
【答案】证明见解析，
【解析】，即，又，
所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，此时有，
当时，，
而也满足，所以；
9．（·天津·耀华中学）已知数列中，，.求证：数列是等比数列.
【答案】证明见详解；
【解析】设，
因为 ，
所以数列是以即为首项，以为公比的等比数列.
10．（·陕西）已知数列满足，且（，且），为何值时，数列是等比数列；
【答案】2
【解析】若数列是等比数列，则（为非零常数），
即，对于任意恒成立，
则，解得，
故当时，数列是等比数列；
11．（·全国·高二课时练习）设数列{an}满足，其中a1＝1.证明：是等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】，
∴是首项为，公比为2的等比数列；
题组五 等比数列的实际应用

1．（·全国·高三专题练习）年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（       ）
A．年12月11日 B．年11月11日 C．年10月11日 D．年9月11日
【答案】C
【解析】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，
其前n项和为.
因为为增函数，且，
所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，
即年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.故选：C
2．（·全国·高三专题练习）《庄子·天下》篇中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是（       ）
A．1＋ B．
C． D．
【答案】B
【解析】该命题说明每天截取的线段长度构成了以为首项，为公比的等比数列，
因为，所以能反映命题本质的式子是.
故选：B.
3．（·全国·高三专题练习）《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是（       ）（结果精确到0.1．参考数据：，．）
A．2.9天 B．3.9天 C．4.9天 D．5.9天
【答案】C
【解析】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．
莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，
其前n项和为Bn．则An，Bn，由题意可得：，
解得2n＝ ，2n＝1（舍去）．∴n．故选：C．
4．（·全国·高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到年3月底该摊主的年所得收入为（       ）
（取，）
A．24000元 B．26000元 C．30000元 D．32000元
【答案】D
【解析】设，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为，
，、
同理可得，所以，而，
所以数列是等比数列，公比为，
所以，，
总利润为．
故选：D．
5．（·全国·高三专题练习）明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为，则有，解得，从塔底数第二层灯的盏数为，
故选：C.
6．（·全国·高三专题练习）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（       ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
所以，即，化简得
解得：或(舍)
故选：C
7．（·全国·高三专题练习）在中国现代绘画史上，徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健､剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i（i=1，2，…，7）匹马的最长日行路程是第i+1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路程之和为___________里.（取1.18=2.14）

【答案】4560
【解析】第8匹马､第7匹马､……､第1匹马的最长日行路程里数依次成等比数列，
且首项为400，公比为1.1，
故这8匹马的最长日行路程之和为里.
故答案为：4560.
8．（·全国·高三专题练习）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为__________．
【答案】
【解析】设第七天走的路程为，则第六天的行程为，
第五天的行程为，依次计算，
那么七天总共走的路程为.
故答案为：.
9．（·浙江浙江·高三阶段练习）梅花1朵花开五瓣，加花蕊部分，抽象后绘成图（1），得端点数.若再以五片花瓣为蕊作五个缩小版梅花，记为缩小1次.抽象后绘成图（2），得梅花数，端点数.以此类推，缩小4次后有梅花_________朵，缩小3次后共得端点数________个?

【答案】     781     781
【解析】由已知得，
所以，
故答案为：781；781.

4.3 利用递推公式求通项（精练）（基础版）
题组一 累加法

1．（·陕西·无高三阶段练习）若数列满足且，则数列的第100项为（       ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】由题意，因为，
所以，

，
，
以上99个式子累加得，
 ．
故选：B．
2．（·四川·树德中学）已知数列满足，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，，，，式相加可得，
所以，，当且仅当取到，但，，所以时，当时，，，所以的最小值为.
故选：C
3．（·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
所以，，…，，
上式累加可得
，
又，所以.
故选：B.
4．（·全国·高三专题练习）数列满足，且（），则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，，…，，
∴，即，
∴，．
∵符合上式，
∴．
∴，
，
，
．
故选：A．
5．（·全国·高三专题练习）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，则通项公式an＝________．
【答案】2n－1
【解析】由题意得an＋1－an＝2n，把n＝1，2，3，…，n－1(n≥2)代入，得到(n－1)个式子，累加即可得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以，即an－a1＝2n－2，所以an＝2n－2＋a1＝2n－1．当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1．故答案为：2n－1
6．（·全国·高三专题练习）已知，求通项= .
【答案】
【解析】 ， ， ，，
，以上各式相加得，
又，所以 ，而也适合上式，      .
7．（·重庆·模拟预测）已知数列满足.
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求的通项公式.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)由题，即，是公差为4的等差数列.
(2)
，累加可得

，当时也满足上式.
题组二 累乘法

1．（·全国·高三专题练习）在数列{an}中，a1=1，(n≥2)，求数列{an}的通项公式.
【答案】
【解析】因为a1=1，(n≥2)，所以，
所以·…··1=.
又因为当n=1时，a1=1，符合上式，所以an=.
2．（·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】由，得，
所以当时，，
因为，所以，
又因为时，满足上式，所以
3．（·全国·高三专题练习）数列满足：，，求的通项公式 .
【答案】
【解析】由得，，
，
即，所以.
4．（·全国·高三专题练习）在数列中，，求数列的通项公式 .
【答案】
【解析】依题意，，
即，
所以当时
当时也满足上式
所以
5．（·全国·高三专题练习）已知数列的首项为，且满足.求的通项公式.
【答案】.
【解析】由，得，
又，所以当时，，
又也满足上式，所以；
题组三 公式法

1．（·全国·高三专题练习）已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式（       ）
A．3-2n B．3+2n C．1+2n D．1-2n
【答案】D
【解析】当n=1时，；当时，，于是是以-1为首项，-2为公差的等差数列，所以.故选：D.
2．（·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习）(多选）数列的前项为，已知，下列说法中正确的是（       ）
A．为等差数列 B．可能为等比数列
C．为等差数列或等比数列 D．可能既不是等差数列也不是等比数列
【答案】BD
【解析】依题意，，
当时，，
当时，，，
两式相减得，
，
，
当时，，则数列是首项为，公比为的等比数列.
当时，，则数列是首项为，公差为的等差数列，
当，交替成立时，既不是等差数列也不是等比数列.
故选：BD
3．（·全国·高三专题练习）若数列满足,,则______ ．
【答案】
【解析】得, ,
所以有,因此.
故答案为
4．（·全国·高三专题练习）已知数列满足，.数列的通项公式 .
【答案】
【解析】，
当时，
当时，，
两式相减得：，即，，
，，，，
累乘得：，所以，

故答案为：.
5．（·四川·什邡中学）数列的前项和，则它的通项公式是_______．
【答案】
【解析】当时，，
当时，
经检验当时不符合，
所以，
故答案为：，
6．（·安徽宿州）已知数列的前n项和为，且，则的通项公式为______．
【答案】
【解析】当时，，得，
当时，由，得，
所以，
所以，所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，
故答案为：
7．（·北京交通大学附属中学高二期中）已知数列满足，则____.
【答案】
【解析】因为，
所以当时，有，
，得，
当时，也适合，
故答案为：
8．（·山西太原·二模（文））已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.
【答案】n
【解析】∵，∴
当时，，


当时，成立，
∴，
当时，，
当时，满足上式，
∴.
故答案为：n
题组四 构造等差数列

1．（·全国·课时练习）在数列中，若，则________.
【答案】
【解析】取倒数得:，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，所以.
故答案为：
2．（·湖北·荆州中学）已知数列满足，且．则数列的通项公式为_______．
【答案】
【解析】因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以故答案为：.
3．（·全国·课时练习）已知数列中，，求数列的通项公式 ；
【答案】．
【解析】由，得：，∴，
即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴，得．
4．（·全国·高三专题练习）已知数列中，，．求数列的通项公式 ；
【答案】
【解析】因为，所以令，则，解得，
对两边同时除以，得，
又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，所以；
5．（·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求数列的通项公式 .
【答案】
【解析】∵，∴，∴数列是等差数列，公差为，又，
∴，∴.
题组五 构造等比数列

1．（·四川师范大学附属中学二模）已知数列满足，且前8项和为761，则______．
【答案】
【解析】数列满足，整理得，若，则，显然不符合题意，所以，则（常数）；所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；
所以，整理得；由于前8项和为761，
所以，解得．故答案为：．
2．（·山西）已知数列满足，，则___________.
【答案】
【解析】由已知可得，设，则，
所以，，可得，所以，，且，
由题意可知，对任意的，，则，
所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，
所以，，因此，.
故答案为：.
3．（·全国·专题练习）已知数列满足：，，则(       )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，，即，故，
又因为，所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列，
从而，解得.故选：C.
4．（·黑龙江）已知数列的通项公式为，求数列的通项公式 .
【答案】
【解析】因为，所以，则，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以，所以.

4.4 求和方法（精练）（基础版）
题组一 裂项相消

1．（·安徽滁州·二模）已知数列满足：，设，．则__________．
【答案】
【解析】依题意，，
所以数列是首项，公比为的等比数列，所以，.
，也满足，
所以，，
所以.故答案为：
2．（·全国·高三专题练习）已知数列{bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n，设数列{}的前n项和为Kn，则K20的值为 __．
【答案】
【解析】当n＝1时，b1＝S1＝2﹣1＝1，
当n≥2时，，
且当n＝1时，4n﹣3＝1＝b1，故数列{bn}的通项公式为：bn＝4n﹣3，
则，
则．故答案为：．
3．（·宁夏石嘴山·一模）已知为等比数列，前n项和为，，.
(1)求的通项公式及前n项和；
(2)若，求数列的前100项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)解：设公比为，
∵，，∴，∴，∴；
(2)解：∵，∴，
∴.
4．（·陕西·西安工业大学附中）设数列的前n项积为，且.
(1)求证数列是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)因为数列的前n项积为，且，
∴当n=1时，，则，.
当n≥2时，，∴，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
(2)由（1）知数列，则由得，
所以，
所以.
5．（·河北衡水·高三阶段练习）已知数列的前项和为，若（为非零常数），且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和，并证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)数列的前项和为 时, ,解得0 ①
当时，   ②①-②得 ,则即 (常数)
所以数列是以为首项,为公比的等比数列.则
又，则，所以或（舍）故.
(2)由于所以=
则
因为，所以，所以
又所以随的增大而减小
所以当时，取得最大值故
6．（·黑龙江·哈九中二模）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求的前n项和
【答案】(1)证明见解析，(2)
【解析】(1)当时，，得，
当时，有，，相除得
整理为：，即，
∴为等差数列，公差，首项为；
所以，整理为：.
(2)，


7．（·广东梅州·二模）已知是数列的前项和，，___________.
①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)条件选择见解析，(2)
【解析】(1)解：选条件①：，，得，所以，，
即数列、均为公差为的等差数列，
于是，
又，，，所以；
选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为，
得，所以，
所以的公差为，
得到，则，
当，.
又满足，所以，对任意的，.
(2)解：因为，
所以
.
8．（·全国·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：由，可得，即，
所以当时，，，，，
将上述式子进行累加得，-
将代入可得，即.
当时也满足上式，
所以数列的通项公式.
(2)解：由（1）得，
则.
题组二 错位相减

1．（·安徽黄山·二模）已知等差数列和等比数列满足，若数列的前项和为，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前n项和.
【答案】(1)，;(2).
【解析】(1)由①，可得（）②，
由①②得（）             
又也符合上式，所以，
由得，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则有
，
令，有，
令，有             
解得，或者
取，有，检验得（舍去）
所以，；
(2)由得，                    
所以
则
两式相减得，                    




2．（·安徽黄山·二模）已知数列、满足，若数列是等比数列，且 ．
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，求的前项和为.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)        
当时，， ，又，∴       
是以为首项，为公比的等比数列，                  
∴当时，
由累加法可得：，
又当时，也适合上式，∴
(2)     
∴①
∴②
①-②得：                    
∴
3．（·安徽合肥·二模）记为数列的前项和，已知，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．
从①   ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)①，
当时，，；当时，②①-②得，即
又，∴数列是从第2项起的等比数列，即当时，．．
(2)若选择①：，
．
若选择②，则③，④，
③-④得，．
4．（·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知数列，，．
(1)求，，，并求出数列的通项公式；
(2)记为数列的前项和，求．
【答案】(1)，，，；(2)
【解析】(1)解：由题意，数列中，，，
所以，，，
两边同除，可得，即，
设，可得，
令，解得，所以，
因为，所以，
所以，可得，
所以数列的通项公式为.
(2)解：由，可得，
则，
可得，
两式相减得到，
所以.
5．（·天津·芦台二中模拟预测）设数列的前项和为，为等比数列，且
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列前项和.
【答案】(1)，；(2).
【解析】（1）对数列，由，，
当时，，也满足，
对数列，设其公比为，，由可得，解得，故.
(2)因为，
故
，
故，
，

.
6．（·安徽宣城·二模）数列的前n项和为，且，记为等比数列的前n项和，且，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)解：当时，．
当时，也满足上式，故数列的通项公式为．
设的公比为q，当时，由题意可知，，显然不成立．
当时，依题意得，解得，所以．
(2)解：由（1）得，则
①，
②
①—②得：

，
所以
7．（·陕西·模拟预测）已知等比数列为递增数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)解：由题意，，解得或，
因为等比数列为递增数列，所以，所以；
(2)解：由（1）知，
所以数列的前n项和为，①
，②
① ② 得，
所以，
又因为，所以，所以.
8．（·海南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，公比为的等比数列满足.
(1)求数列、的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)解：设等差数列的公差为，则，解得，
所以，，，则.
(2)解：因为，则，①
，②
①②得，
因此，.
9．（·云南·昆明一中）已知数列的前n项和.
(1)判断数列是否为等比数列，说明理由；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)不是等比数列，证明见解析(2)
【解析】(1)当时，，因为，
所以数列的通项公式：，
所以，，所以，所以不是等比数列.
(2)由（1）得：，所以，
当时，
当时，，①
，②
由①-②得：，
所以，当时，也满足所以
10．（·河南濮阳·一模（理））已知等差数列中，，，数列的前n项和满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为d．
由，得．解得.
故．
当时，，得．
当时，由，得，两式相减得，
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，所以．
(2)依题意，，所以，，
两式相减，得 解得．
11．（·湖南常德·一模）设各项非负的数列的前项和为，已知，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)当时，，
当时，①，②.
①-②得，即，
∵，∴，
∴数列从第2项起是公差为1的等差数列.
∴，
又，，成等比数列，∴，即，
解得，∴，
∵，∴，适合上式，
∴数列的通项公式为.
(2)，
∴数列的前项的和为
③
④
③-④得，∴.
题组三 分组求和

1．（·陕西商洛·一模）已知正项等比数列{}满足
(1)求{}的通项公式：
(2)求数列{}的前n项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由，得，解得：
又，所以，因为，所以，所以
(2)
2．（·广东·翠园中学）已知数列是公比为2的等比数列，是和的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)由题意，且公比所以，，，
所以；
(2)由（1），
．
3．（·重庆巴蜀中学）已知等差数列中，公差d为整数，其前n项和为．满足，且是和的等比中项．
(1)求的通项公式；
(2)设的前n项和为，求．
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)由题：，∴
由于是和的等比中项，故
则，又d为整数，解得，所以
∴，；
(2)；
∴．
4．（·河北唐山·二模）已知等比数列满足，，．
(1)求的通项公式；
(2)记，，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：因为等比数列满足，，设公比为，
所以，解得，
所以；
(2)解：由（1）知，，
所以数列的前n项和.
5．（·福建省福州第一中学）已知等差数列中，．
(1)求；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为，∵，所以，
可得，两式相减可得：，所以
所以可得：；
(2)由（1）知：，所以，


6．（·浙江·杭州市余杭中学）已知为等差数列，为等比数列，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)记的前项和为，求证：；
(3)对任意的正整数，设，求数列的前项和．
【答案】(1)，(2)证明见解析(3)
【解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
∵，，可得．∴．
∵，，且，可得，解得，∴．
(2)由题可知，
故，，
作差得：，因此，.
(3)由题可知，
故当为奇数时，，
故记.
当偶数时，
记，，
故，
因此，；
故所求
.
7．（·广东韶关·二模）已知数列前项和为，
(1)证明：
(2)设 求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)解：由题可知，
当时，解得，所以
又因为，
将其与两式相减得：，
因为，有.
当时，上式也成立，
综上，.
(2)解：当n为大于1的奇数时，
有，，，…，
累加得
又满足上式，所以n为奇数时；
当n为大于2的偶数时，有，，，…，
累加得，满足上式，又，
综上可知



.
8．（·北京市房山区房山中学）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，求数列的前项的和．
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)由题设，
所以，而，则，
由，则，故.
综上，，.
(2)由（1）知：，
所以.
题组四 倒序相加

1．（·全国·高三专题练习）已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．
【答案】
【解析】因为，所以．因为数列是等比数列，所以，即．设 ①，又＋…＋ ②，①+②，得，所以．
2．（·山西）设函数，数列满足，则______.
【答案】
【解析】由题得,，
两式相加得，
考虑一般情况，设,
则

所以
故答案为：
3．（·河南）已知，等差数列的前项和为，且，则的值为___________.
【答案】
【解析】因为等差数列的前项和为，且，
所以，解得：，
则，（且）
因为，则，
所以
设，
则，
由上述两式相加得：
，
则
故答案为：1009.
4（·陕西）已知函数，数列满足，则数列的前2019项和为______.
【答案】
【解析】依题意，函数，，所以，
数列满足，
所以，.，
设此数列前2019项的和，则有：
，
，
所以，即.
故答案为：.
5．（·全国·高三专题练习）定义在上的函数,,,则______.
【答案】【解析】函数，，可得，
即有：，又，
可得：，，
即有.