山东省烟台市莱州市2023—-2024学年七年级上学期期中数学试卷（五四学制）

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1．（3分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．如图所示的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）八年级1班学生杨冲家和李锐家到嵊州书城的距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的距离不可能是（ ）
A．3kmB．9kmC．5kmD．4km
3．（3分）下列几组数中，为勾股数的是（ ）
A．B．﹣3，﹣4，﹣5
C．5，12，13D．0.9，1.2，1.5
4．（3分）三角形的重心是三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三条垂直平分线的交点
C．三条高线的交点
D．三条中线的交点
5．（3分）如图，BE是某个三角形的高，则这个三角形是（ ）
A．△ABEB．△ABDC．△CBED．△ABC
6．（3分）等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为5cm，等腰三角形的底边长为（ ）
A．5cmB．6cmC．5cm或8cmD．8cm
7．（3分）如图，线段AB与A′B′（AB＝A′B′）不关于直线l成轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
9．（3分）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，B，D的面积依次为4，8，18则正方形C的面积为（ ）
A．10B．12C．6D．8
10．（3分）如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，过点D分别向AB，AC作垂直线段DE、DF则能直接判定△BDE≌△CDF的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
11．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，BC＝9cm，△ABO的面积为18cm2，则△BOC的面积为（ ）
A．13.5cm2B．18cm2C．24cm2D．27cm2
12．（3分）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（ ）
A．4.5cmB．5.5cmC．6.5cmD．7cm
二、填空题（本题共8个小题）
13．（3分）如图所示的五边形边框，木匠师傅至少需要再钉 根木条才能使其不变形．
14．（3分）下列说法：
①线段的对称轴有两条；
②角是轴对称图形，它的平分线就是它的对称轴；
③到直线l的距离相等的两个点关于直线l对称；
④两点关于连接它们的线段的垂直平分线对称．
其中正确的有 ．（直接写序号）
15．（3分）如图，图中等腰三角形的个数为 ．
16．（3分）如图，线段AC，AB的垂直平分线分别过点B，C则∠A= 度．
17．（3分）在△ABC中，∠A＝50°，∠B，则∠BOC＝ ．
18．（3分）如图，若AB，CD相交于点E，∠BAC＝28°，则∠ACD的度数是 ．
19．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2cm，BC＝CD，使B，D两点重合则△AED的面积为 ．
20．（3分）如图，一圆柱高20cm，底面周长是12cm，一只昆虫在CD的某处，螳螂以最快的速度、最短的爬行距离捕捉到了昆虫，那么此时昆虫离点C的距离为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤）
21．如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A，B， C都在格点上．
（1）画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；
（2）在直线l上确定点P，使|PB+PC|最小；（画出示意图，并标明点P的位置即可）
（3）在直线l上确定点M，使|MB﹣MC|最大；（画出示意图，并标明点M的位置即可）
（4）△ABC的面积是 ．
22．（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：
正三角形有 条对称轴，正四边形有 条对称轴，正五边形有 条对称轴，正六边形有 条对称轴，正七边形有 条对称轴，正八边形有 条对称轴；
（2）一个正n边形有 条对称轴；
（3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；
在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）
23．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF．
24．如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）求作△AEB，使△AEB是以AB为底的等腰三角形，且使点E在边BC上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若∠CAE：∠EAB＝4：1
25．如图，在三角形ABC中，AB＝10，AD为BC边上的中线，且AD＝8过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求DE的长．
26．滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，DE垂直于地面AF，滑道AC的长度与点A到点E的距离相等，且BE＝0.5m，求滑道AC的长度．
27．如图，线段AB与CF交于点E，点D为CE上一点，已知AD＝BC，∠1＝∠2．
（1）请添加一个条件 ，使△ADF≌△BCE，并说明理由．
（2）在（1）的条件下请探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
28．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度数为 °，△AOB ．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC （填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）。
1．（3分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．如图所示的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）八年级1班学生杨冲家和李锐家到嵊州书城的距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的距离不可能是（ ）
A．3kmB．9kmC．5kmD．4km
【分析】根据三角形的三边关系得到李锐两家的线段的取值范围，即可得到选项．
【解答】解：当杨冲，李锐两家在一条直线上时，李锐两家的直线距离为2km或8km，
当杨冲，李锐两家不在一条直线上时，
设杨冲，李锐两家的直线距离为xkm，
根据三角形的三边关系得7﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
杨冲，李锐两家的直线距离不可能为7km，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，两点间的距离，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
3．（3分）下列几组数中，为勾股数的是（ ）
A．B．﹣3，﹣4，﹣5
C．5，12，13D．0.9，1.2，1.5
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【解答】解：A、都不是正整数，不符合题意；
B、都不是正整数，不符合题意；
C、52+123＝132，能构成直角三角形，故是勾股数；
D、都不是正整数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方．
4．（3分）三角形的重心是三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三条垂直平分线的交点
C．三条高线的交点
D．三条中线的交点
【分析】直接由三角形的重心的定义可以得到结果．
【解答】解：由三角形的重心是三角形三边中线的交点得到选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的重心的概念，解题的关键是熟知重心的定义．
5．（3分）如图，BE是某个三角形的高，则这个三角形是（ ）
A．△ABEB．△ABDC．△CBED．△ABC
【分析】根据图形可知：DE⊥AB，结合三角形高的定义作出选项．
【解答】解：结合图形可知，只有DE⊥AB．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高．从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
6．（3分）等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为5cm，等腰三角形的底边长为（ ）
A．5cmB．6cmC．5cm或8cmD．8cm
【分析】由于长为5cm的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．
【解答】解：由题意知，应分两种情况：
（1）当腰长为5cm时，则另一腰也为5cm，
底边为18﹣5×5＝8cm，
∵3＜8＜5+4＝10，
∴边长分别为5cm，5cm，能构成三角形；
（2）当底边长为8cm时，腰的长＝（18﹣5）÷2＝3.5cm，
∵0＜7.5＜5+5.5，
∴边长为5cm，5.5cm，能构成三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．（3分）如图，线段AB与A′B′（AB＝A′B′）不关于直线l成轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称的性质仔细观察各选项图形即可得解．
【解答】解：观察可知，A选项中，
B、C、D选项线段AB与A′B′（AB＝A′B′）都关于直线l成轴对称．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称的性质，比较简单，熟记轴对称的性质并准确识图是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，根据三角形的外角性质求出∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的判定推出即可．
【解答】解：图中全等三角形有△ADB≌△AEC，△AEB≌△ADC，
理由是：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AEB，
∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（AAS），
即共2个．
故选：B．
【点评】本题考查了对等腰三角形的性质，三角形外角性质和全等三角形的判定的应用，能根据全等三角形的判定找出符合的所以情况是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
9．（3分）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，B，D的面积依次为4，8，18则正方形C的面积为（ ）
A．10B．12C．6D．8
【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．
【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、B、D的面积依次为4、8，
∴18﹣S正方形C＝3+8，
∴S正方形C＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
10．（3分）如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，过点D分别向AB，AC作垂直线段DE、DF则能直接判定△BDE≌△CDF的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】根据垂直定义可得∠DEB＝∠DFC＝90°，再利用线段的中点定义可得DB＝DC，然后利用全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D为BC的中点，
∴DB＝DC，
∵∠B＝∠C，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，BC＝9cm，△ABO的面积为18cm2，则△BOC的面积为（ ）
A．13.5cm2B．18cm2C．24cm2D．27cm2
【分析】过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图，根据角平分线的性质得到OD＝OE，然后根据三角形面积公式得到S△BOC：S△AOB＝BC：AB．
【解答】解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，
∵OB平分∠ABC，
∴OD＝OE，
∴S△BOC：S△AOB＝BC：AB，
∴S△BOC＝×18＝27（cm2）．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
12．（3分）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（ ）
A．4.5cmB．5.5cmC．6.5cmD．7cm
【分析】利用轴对称图形的性质得出PM＝MQ，PN＝NR，进而利用MN＝4cm，得出NQ的长，即可得出QR的长．
【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
∴PM＝MQ，PN＝NR，
∵PM＝2.5cm，PN＝8cm，
∴RN＝3cm，MQ＝2.4cm，
即NQ＝MN﹣MQ＝4﹣2.8＝1.5（cm），
则线段QR的长为：RN+NQ＝5+1.5＝2.5（cm）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PM＝MQ，PN＝NR是解题关键．
二、填空题（本题共8个小题）
13．（3分）如图所示的五边形边框，木匠师傅至少需要再钉 两 根木条才能使其不变形．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：如图，由三角形具有稳定性可知：木匠师傅至少需要再钉两根木条才能使其不变形，
故答案为：两．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
14．（3分）下列说法：
①线段的对称轴有两条；
②角是轴对称图形，它的平分线就是它的对称轴；
③到直线l的距离相等的两个点关于直线l对称；
④两点关于连接它们的线段的垂直平分线对称．
其中正确的有 ①④ ．（直接写序号）
【分析】根据对称轴的性质可知，沿对称轴对折，对折的两部分可以完全重合，折痕就是对称轴，据此判断①；根据角平分线以及垂直平分线的性质可对②④进行判断，对于③，分析点在直线l的同侧时的情况．
【解答】解：线段的对称轴有两条，故①正确；
角是轴对称图形，它的平分线所在的直线就是它的对称轴；
到直线l的距离相等的两个点可能在直线l同侧；故③错误；
两点关于连接它们的线段的垂直平分线对称，故④正确；
∴正确的有①④；
故答案为：①④．
【点评】本题考查的是轴对称图形的定义和性质，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
15．（3分）如图，图中等腰三角形的个数为 5 ．
【分析】根据三角形外角性质和三角形内角和定理求出∠AOB、∠DOC、∠ABC、∠DCB，推出∠A＝∠AOB、∠A＝∠ABC、∠OBC＝∠OCB、∠D＝∠DOC、∠D＝∠DCB，根据等腰三角形的判定得出即可．
【解答】解：∵∠ACB＝∠DBC＝36°，
∴∠AOB＝∠DOC＝∠ACB+∠DBC＝72°，
∵∠A＝∠D＝72°，
∴∠ABD＝∠DCA＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
即∠A＝∠AOB、∠A＝∠ABC、∠D＝∠DOC，
∴△ABO、△ABC、△DCO，
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
16．（3分）如图，线段AC，AB的垂直平分线分别过点B，C则∠A= 60 度．
【分析】连接BC，根据线段垂直平分线的性质得到CA＝CB，AB＝CB，证明△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：连接BC，
∵线段AC，AB的垂直平分线分别过点B，C，
∴CA＝CB，AB＝CB，
∴AB＝CA＝CB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．（3分）在△ABC中，∠A＝50°，∠B，则∠BOC＝ 115° ．
【分析】利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义求∠BOC与∠A的关系，再把∠A代入即可求∠BOC的度数．
【解答】解：∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A．
当∠A＝50°时，
∠BOC＝90°+∠A＝90°+25°＝115°．
故答案为：115°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
18．（3分）如图，若AB，CD相交于点E，∠BAC＝28°，则∠ACD的度数是 76° ．
【分析】根据全等三角形的性质得到AC＝AE，∠DAE＝∠BAC＝28°，∠B＝∠D，利用三角形的内角和求得答案即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，
∴AC＝AE，∠DAE＝∠BAC＝28°，
∴∠ACD＝∠AEC＝×（180°﹣28°）＝76°，
故答案为：76°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
19．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2cm，BC＝CD，使B，D两点重合则△AED的面积为 cm2 ．
【分析】设AE＝xcm，由折叠的性质得到DE＝BE＝4﹣x，根据勾股定理列方程求得AE＝，于是得到△AED的面积．
【解答】解：设AE＝xcm，
由折叠的性质得：DE＝BE＝4﹣x，
∵∠A＝90°，
∴AE2+AD4＝DE2，
即x2+62＝（4﹣x）5，
解得：x＝，
∴AE＝，
∴△AED的面积＝AD•AE＝＝（cm2）．
故答案为：cm2．
【点评】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
20．（3分）如图，一圆柱高20cm，底面周长是12cm，一只昆虫在CD的某处，螳螂以最快的速度、最短的爬行距离捕捉到了昆虫，那么此时昆虫离点C的距离为 2cm或18cm ．
【分析】根据题意画出图形，根据平面内两点之间线段最短得出最短路径，然后分两种情况求解即可．
【解答】解：沿AB把圆柱的侧面展开，如图所示，
①设昆虫在CD的F处，过F做AB的垂线，连接EF，
根据题意知，AB＝20cm，EF＝10cm，
∵E是AB中点，D是BB′中点，
∴AE＝10cm，BD＝6cm，
∴FM＝6cm，
∵FM⊥AB，
∴EM＝＝＝8（cm），
∴FC＝MA﹣EM＝10﹣8＝2（cm）；
②设昆虫在CD的F′处，过F′做AB的垂线，连接EF′，
同理可得，EN＝8（cm），
∴F′C＝NA＝NE+EA＝8+10＝18（cm）．
综上所述，昆虫离点C的距离为7cm或18cm．
故答案为：2cm或18cm．
【点评】此题主要考查了平面展开图﹣最短路径问题，得出其行走路径是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤）
21．如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A，B C都在格点上．
（1）画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；
（2）在直线l上确定点P，使|PB+PC|最小；（画出示意图，并标明点P的位置即可）
（3）在直线l上确定点M，使|MB﹣MC|最大；（画出示意图，并标明点M的位置即可）
（4）△ABC的面积是 5 ．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到结论；
（2）连接B′C交直线l于点P，则P点即为所求；
（3）连接BC并延长交直线l于点M，则P点即为所求；
（4）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C4，即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求；
（3）如图所示，点M即为所求；
（4）△ABC的面积＝3×＝8．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
22．（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：
正三角形有 3 条对称轴，正四边形有 4 条对称轴，正五边形有 5 条对称轴，正六边形有 6 条对称轴，正七边形有 7 条对称轴，正八边形有 8 条对称轴；
（2）一个正n边形有 n 条对称轴；
（3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；
在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）
【分析】（1）根据轴对称和对称轴的性质求解；
（2）一个正n边形有n条对称轴；
（3）①根据轴对称图形的性质直接作出对称轴；
②根据轴对称图形的性质作出正五边形对称轴．
【解答】解：（1）三角形有3条对称轴；
正方形有4条对称轴；
正五边形有6条对称轴；
正六边形有6条对称轴；
正七边形有7条对称轴；
正八边形有8条对称轴；
（2）一个正n边形有n条对称轴；
（3）①所作图形如图所示：
②所作图形如图所示．
故答案为：（1）3，4，8，6，7，4；（2）n．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是掌握轴对称图形的概念以及对称轴的概念、对称轴的作法．
23．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF．
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，根据中点的定义得出BD＝CD，即可利用AAS判定△BDE≌△CDF．
【解答】证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
24．如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）求作△AEB，使△AEB是以AB为底的等腰三角形，且使点E在边BC上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若∠CAE：∠EAB＝4：1
【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于E点，则△EAB满足条件；
（2）设∠EAB＝x，则∠CAE＝4x，利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠EAB＝x，EA＝EB，再利用三角形内角和计算出x＝15°，∠AEC＝∠B+∠EAB＝2x＝30°，根据含30度角直角三角形三边的关系得到AE＝2AC，从而得到结论．
【解答】解：（1）如图，△AEB为所作；
（2）设∠EAB＝x，则∠CAE＝4x，
∵△EAB为等腰三角形，
∴∠B＝∠EAB＝x，EA＝EB，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，即4x+x+x＝90°，
解得x＝15°，
∴∠AEC＝∠B+∠EAB＝3x＝30°，
在Rt△ACE中，∠C＝90°，
∴AE＝2AC，
∵EA＝EB，
∴BE＝2AC．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解答本题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
25．如图，在三角形ABC中，AB＝10，AD为BC边上的中线，且AD＝8过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求DE的长．
【分析】（1）求出BD，求出AD2+BD2＝AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠ADB＝90°即可；
（2）求出AC＝AB＝10，根据三角形的面积公式求出DE即可．
【解答】（1）证明：∵BC＝12，AD为BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC＝4，
∵AD＝8，AB＝10，
∴BD2+AD8＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC；
（2）解：∵AD⊥BC，AD为BC边上的中线，
∴AB＝AC，
∵AB＝10，
∴AC＝10，
∵△ADC的面积S＝＝，
∴＝，
解得：DE＝7.8．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
26．滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，DE垂直于地面AF，滑道AC的长度与点A到点E的距离相等，且BE＝0.5m，求滑道AC的长度．
【分析】设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣0.5）m，在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案．
【解答】解：设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，
由题意得：∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC8，（x﹣0.5）2+1.54＝x2，
解得x＝2.8
故滑道AC的长度为2.5m．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
27．如图，线段AB与CF交于点E，点D为CE上一点，已知AD＝BC，∠1＝∠2．
（1）请添加一个条件 CE＝DF ，使△ADF≌△BCE，并说明理由．
（2）在（1）的条件下请探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由SAS可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出∠F＝∠CEB，AF＝BE，证出∠AEF＝∠F，得出AE＝AF，则可得出结论．
【解答】解：（1）添加CE＝DF，△ADF≌△BCE，
理由：在△ADF和△BCE中，
，
∴△ADF≌△BCE（SAS）；
（2）AE＝BE．
理由：∵△ADF≌△BCE，
∴∠F＝∠CEB，AF＝BE，
∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠AEF＝∠F，
∴AE＝AF，
∴AE＝BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出全等的条件是解题的关键．
28．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度数为 30 °，△AOB 是 ．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC 是 （填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．
（2）求出∠OAC即可解决问题．
（3）分三种情形分别求出即可．
【解答】解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵90°＝3×30°，
∴△AOB是“灵动三角形”．
故答案为：30，是．
（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC是“灵动三角形”．
故答案为：是．
（3）①∠ACB＝6∠ABC时，∠CAB＝60°；
②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°．
③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.7°．
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．