辽宁省沈阳市重点高中联合体2023-2024学年高三数学上学期期中考试试题（Word版附解析）

这是一份辽宁省沈阳市重点高中联合体2023-2024学年高三数学上学期期中考试试题（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了 已知单位向量，，且，则， 已知为锐角，且，则， 函数的部分图象如图所示，则等内容，欢迎下载使用。

（满分：150分 考试时间：120分钟）
审题人：22中学 张海丽
注意事项：
1.答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效.
4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 若全集，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. 21B. 18C. 14D. 12
4. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知单位向量，，且，则（ ）
A B. C. D.
6. 已知直线是曲线的一条切线，则实数（ ）
A. 2B. 1C. D.
7. 已知为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的函数满足，且函数是偶函数，当时，有，则（ ）
A. B. 2C. D. 10
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9 已知向量，，则（ ）
A. B. 向量，的夹角为
C. D. 向量与垂直
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A
B.
C. 点是函数图象的一个对称中心
D. 直线是函数图象的对称轴
11. 若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
12. 已知正实数x，y满足，则（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是________.
14. 已知在中，角，，的对边分别为，，，若向量，，且，则角的度数为________.
15. 已知等比数列中，，则满足成立的最大正整数的值为_________．
16. 已知偶函数是在上连续的可导函数，当时，，则函数的零点个数为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知函数.
（1）求最大值及相应的取值；
（2）若把的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在上的单调递增区间.
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
（1）求角；
（2）若，求的面积.
19. 已知是公差不为的等差数列的前项和，是与的等比中项，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和.
20. 某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．
（1）求利润函数及利润函数的最大值；
（2）为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值．
21. 设函数，其中，曲线在点处切线方程为.
（1）确定，的值；
（2）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围.
22. 已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
2023-2024学年度（上）联合体高三期中检测
数学
（满分：150分 考试时间：120分钟）
审题人：22中学 张海丽
注意事项：
1.答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效.
4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 复数在复平面内对应点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】按照复数的定义展开即可.
【详解】，
所以该复数在复平面内对应的点为，在第二象限
故选：B.
2. 若全集，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合补集的定义计算求解即可.
【详解】,
.
故选：A.
3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. 21B. 18C. 14D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列的性质，，，可求值.
【详解】等差数列中，，得，
则.
故选：C
4. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，得到，，即可求解.
【详解】由指数函数的性质，可得，
又由对数函数的性质，可得，
所以.
故选：D.
5. 已知单位向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量垂直，可得其数量积为0，进而可求出，根据向量的夹角公式即可求出其夹角.
【详解】因为，
所以
即，又因为向量，为单位向量，
所以，
所以，
所以，
故选：A
6. 已知直线是曲线的一条切线，则实数（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用切线的斜率，求解切点坐标，代入切线方程求解即可．
【详解】曲线，可得，
直线是曲线的一条切线，
设切点横坐标为：，则切点纵坐标为，则，解得，.
故选：D．
7. 已知为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由求出，从而可求得，然后再利用正切的二倍角公式求出，再利用两角差的正切公式可求得结果.
【详解】因为锐角，所以.
由可得，
则，
又，
故
，
故选：A.
8. 已知定义在上的函数满足，且函数是偶函数，当时，有，则（ ）
A. B. 2C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性结合可得为周期函数，且周期为4，进而根据周期即可求解.
【详解】由于为偶函数，所以，
故，又，
所以，因此，
进而可得，所以为周期函数，且周期为4，
，
故选：B
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知向量，，则（ ）
A. B. 向量，的夹角为
C. D. 向量与垂直
【答案】BD
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标运算分别求解向量的数量积，模，夹角，验证向量垂直，逐项判断即可得结论.
【详解】对A，，，，故A错误；
对B，，又，
向量，的夹角为，故B正确；
对C，，，故C错误；
对D，，，故D正确.
故选：BD.
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 点是函数图象的一个对称中心
D. 直线是函数图象的对称轴
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，根据图象得到函数最小正周期，进而得到；B选项，将代入解析式，求出；C选项，，C正确；D选项，计算出，故D正确.
【详解】A选项，设的最小的正周期为，
由图象可知，，解得，
因为，所以，A正确；
B选项，将代入中得，，
故，即，
因为，所以只有当时，满足要求，
故，B错误；
C选项，，故，
故点是函数图象的一个对称中心，C正确；
D选项，，
故直线是函数图象的对称轴，D正确.
故选：ACD
11. 若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】ABC
【解析】
【分析】先求得函数的极小值点，再根据函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值求解.
【详解】解：因为函数f(x)＝3x－x3，
所以，
令，得，
当或时，，当时，，
所以当时，取得极小值，
则，解得，
又因为在上递减，且，
所以，
综上：，
所以实数a的可能取值是0，1，2
故选：ABC
12. 已知正实数x，y满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据基本不等式可知，，即，所以选项A正确；而可判断B错误；将展开并结合可知C错误；观察D项分母可知，利用基本不等式“1”的妙用求最值，即可知D正确.
【详解】对于A，基本不等式可知，即，所以，即；当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，根据不等式，当且仅当时，等号成立；所以B错误；
对于C，，当且仅当时，等号成立；故C错误；
对于D，根据，观察分母可知为定值，则，当且仅当时，等号成立；故D正确.
故选：AD.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】，即转化为，恒成立，只需即可得解.
【详解】由题意，为真命题，即，恒成立，
令，，对称轴为，
所以函数在上递减，在上递增，
结合对称性可得，
即可，实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知在中，角，，的对边分别为，，，若向量，，且，则角的度数为________.
【答案】
【解析】
【分析】由向量共线的坐标运算和余弦定理求解.
【详解】向量，，
由，有，即，
由余弦定理，，
由，则有.
故答案为：
15. 已知等比数列中，，则满足成立的最大正整数的值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】求出等比数列的公比和首项，得出数列是等比数列，并求出其首项，公比和前项和，即可求出使不等式成立的最大正整数的值.
【详解】由题意，，
在等比数列中，，
设公比为，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴数列是以为首项，公比为的等比数列，
∴，
∴当时，，即，解得：，
∴最大正整数的值为，
故答案为：4.
16. 已知偶函数是在上连续的可导函数，当时，，则函数的零点个数为______．
【答案】2
【解析】
【分析】由题意，方程等价于，令，，求导得函数的单调性，再结合奇偶性画出函数的大致图象，由图可得答案．
【详解】解：显然不是的零点，
∴方程等价于，
令，，
则，
∴当时，，则在上单调递增，
∵为偶函数，∴为奇函数，
∴在上单调递增，

由图象可知与有两个交点，
故函数的零点个数为2，
故答案为：2．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的零点个数问题，解题关键是将等价于，构造函数，，然后利用导数研究函数的单调性，画出大致图象，借助图象解出答案．本题考查了学生的转化与化归能力，考查了数形结合思想，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知函数.
（1）求的最大值及相应的取值；
（2）若把的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在上的单调递增区间.
【答案】（1）时，取得最大值.
（2）
【解析】
【分析】（1）化简函数，然后结合三角函数函数的性质判断函数最值；
（2）根据“左加右减”平移函数图像，然后整体代入求解函数的单调递增区间；
小问1详解】
因为
所以当，
即时，取得最大值.
【小问2详解】
，
由，
得:，
取得：在上的单调递增区间为
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
（1）求角；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平方关系可求得，，进而结合两角和的余弦公式即可求解；
（2）根据正弦定理可得、的值，进而结合面积公式即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，，
又，所以，即，
所以，
所以，
又，故.
【小问2详解】
由正弦定理得，
即，
所以，，
所以的面积为.
19. 已知是公差不为的等差数列的前项和，是与的等比中项，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等比中项及等差数列通项公式列方程得，由等差数列前n项和可得，进而求基本量，写出通项公式即可；
（2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求.
【小问1详解】
设数列的公差为d，由是与的等比中项，则，
所以，且，整理得①，
又，整理得②，
由①②解得，，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，则，
所以
两式相减得，
所以.
20. 某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．
（1）求利润函数及利润函数的最大值；
（2）为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值．
【答案】（1）利润函数，最大值为（元）
（2）当台时，每台产品的利润取到最大值1900元
【解析】
【分析】（1）根据题意得到的解析式，再利用二次函数的性质即可求得的最大值；
（2）根据题意得到的解析式，再利用基本不等式即可得解.
【小问1详解】
由题意知，
，
易得的对称轴为，
所以当或时，取得最大值为（元）．
所以利润函数，最大值为（元）；
【小问2详解】
依题意，得
（元）.
当且仅当时等号成立，即时，等号成立．
所以当台时，每台产品的利润取得最大值元．
21. 设函数，其中，曲线在点处的切线方程为.
（1）确定，的值；
（2）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据切线方程可知，进而求出
（2）先设出切点，再写出切线的方程，利用切线过得到关于的方程，从而将切线的个数问题转化成有3个零点问题，从而得解
【小问1详解】
解：，
【小问2详解】
解：设切点为，则
则切线方程为
即：
∵点在切线上，
整理得：
令
则题目问题可转化为有3个不同零点即可
令=0
解得：或
由得或，函数在或上递增
由得，函数在上递减
，
，使得
∴结合的单调性及图像（如下图）易知：只要即可
即
解得：
所以的取值范围为
【点睛】本题解题的关键是把切线个数问题转化为函数的零点个数问题，要熟悉三次函数的图像，结合图像即可解决问题．
22. 已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）最小值为3
【解析】
【分析】（1）先确定函数的定义域，求导得，根据其正负即可得函数的单调区间,再根据最值证明即可；
（2）构造函数 在区间 内恒成立，再求出的最大值为，
结合函数单调性，即求得整数的最小值．
【小问1详解】
当时，，
，
令，得，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以在处取得唯一的极大值，即为最大值，
所以，
所以，
而，
所以.
【小问2详解】
令.
则.
当时，因，所以，所以在上单调递增，
又因为.
所以关于的不等式不能恒成立；
当时，.
令，得，所以当时，；
当时，.
因此函数在上单调递增，在上单调递减.
故函数的最大值为.
令，
因为，
又因为在上单调递减，所以当时，.
所以整数的最小值为3.
【点睛】方法点睛：根据不等式直接构造函数，分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围