辽宁省沈阳市辽宁省实验中学2023-2024学年高二数学上学期11月期中试题（Word版附解析）

这是一份辽宁省沈阳市辽宁省实验中学2023-2024学年高二数学上学期11月期中试题（Word版附解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 试题满分：150分
命题人：高一数学组 校对人：高一数学组
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是椭圆上的一点，则点到两焦点的距离之和是（ ）
A. 6B. 9C. 10D. 18
3. 如图，方程表示的曲线是（ ）．
A. B.
C. D.
4. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A B. C. D.
5. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知直线经过两点，则点到的距离是（ ）
A. B. C. D.
7. 圆心在直线x-y-4＝0上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交点的圆的方程为（ ）
A. x2+y2-x+7y-32＝0B. x2+y2-x+7y-16＝0
C. x2+y2-4x+4y+9＝0D. x2+y2-4x+4y-8＝0
8. 设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知空间向量不共面，则下列各选项中三个向量共面的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 经过定点的直线都可以用方程表示
B. 经过两个不同的点的直线都可以用方程表示
C. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线有2条
D. 方程不一定表示圆
11. 如图，在棱长为1的正方体中（ ）
A. 与的夹角为B. 二面角的平面角的正切值为
C. 与平面所成角的正切值D. 点到平面的距离为
12. 已知点，直线，圆，过点分别作圆的两条切线，（，为切点），在的外接圆上，则（ ）
A. 直线的方程是
B. 被圆截得最短弦的长为
C. 四边形的面积为
D. 的取值范围为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知，则最小值是________.
14. 已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影相互垂直，则________.
15. 长方体中，，，，是棱上的动点，则的面积最小值是________.
16. 已知的顶点，，其外心（外接圆圆心）、重心（三条中线交点）、垂心（三条高线点）在同一条直线上，且这条直线的方程为，则顶点的坐标是________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知点到定点的距离与到定直线的距离之比为，
（1）求点的轨迹方程；
（2）若，求的面积.
18. 如图，平行六面体中，，.求：
（1）的长；
（2）直线与所成的角的余弦值.
19. 已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且．
（1）求直线和的交点坐标；
（2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
20. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是2，且它们所在的两个半平面所成的角为.活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且.
（1）用表示出的长度，并求出的长的取值范围；
（2）当的长最小时，平面与平面所成角的余弦值.
21. 在平面直角坐标系中，已知圆经过点，且与圆相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由；
22. 如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点.
（1）求证： 平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存任，说明理由；
（3）在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状.
辽宁省实验中学2023-2024学年度上学期期中阶段测试
高二年级 数学试卷
考试时间：120分钟 试题满分：150分
命题人：高一数学组 校对人：高一数学组
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.
【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.
故选：A.
2. 已知是椭圆上的一点，则点到两焦点的距离之和是（ ）
A. 6B. 9C. 10D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】由椭圆的定义可知，椭圆上任何一点到其两焦点的距离之和为定值，且定值为长轴的长度，由此即可得解.
【详解】由题意可知椭圆中的长半轴长，设其两焦点分别为，
又因为点是椭圆上的一点，
所以点到两焦点的距离之和是.
故选：A
3. 如图，方程表示的曲线是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分和，去掉绝对值，得到相应的曲线.
【详解】，当时，，
当时，，画出符合题意的曲线，为B选项，
故选：B
4. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析.
【详解】解法一：
如图，设直线在平面的射影为，
作于点G，于点H，连接，
易得，又平面，则平面，又平面，则，
有
故．
已知，
故为所求．
解法二：
如图所示，把放在正方体中，的夹角均为．
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则，
所以，
设平面的法向量，则
令，则，所以，
所以．
设直线与平面所成角为，所以，
所以．
故选B．
5. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分和两种情况讨论，结合斜率和倾斜角的关系分析求解.
【详解】当时，方程为，倾斜角为
当时，直线的斜率，
因为，则，
所以；
综上所述：线的倾斜角的范围是.
故选：C．
6. 已知直线经过两点，则点到的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.
【详解】因为，，
可得，，
可知，且在上的投影为，
则点到直线的距离为.
故选：D．
7. 圆心在直线x-y-4＝0上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交点的圆的方程为（ ）
A. x2+y2-x+7y-32＝0B. x2+y2-x+7y-16＝0
C. x2+y2-4x+4y+9＝0D. x2+y2-4x+4y-8＝0
【答案】A
【解析】
【分析】设所求圆的方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，用λ表示出圆心，代入直线x-y-4＝0，求出λ，从而可求出所求圆的方程．
【详解】根据题意知，所求圆经过圆x2+y2+6x-4＝0和圆x2+y2+6y-28＝0的交点，
设其方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，
即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ＝0，其圆心坐标为，，
又由圆心在直线x-y-4＝0上，所以--4＝0，
解得λ＝-7，
所以所求圆的方程为：(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192＝0，即x2+y2-x+7y-32＝0，
故选：A．
8. 设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.
【详解】方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B.
方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）
由最大角定理，故选B.
方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得
，故选B.
【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知空间向量不共面，则下列各选项中的三个向量共面的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据共面向量的性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，所以共面，故A正确；
对于选项B：假设存在，使得，
整理得，则，无解，
即不存在，使得，
所以不共面，故B错误；
对于选项C：因为，所以共面，故C正确；
对于选项D：因为，
所以共面，故D正确；
故选：ACD.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 经过定点的直线都可以用方程表示
B. 经过两个不同的点的直线都可以用方程表示
C. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线有2条
D. 方程不一定表示圆
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据直线方程的性质和圆的标准方程的性质逐项判断.
【详解】对于A：经过定点且斜率存在的直线才可以用方程表示，
斜率不存在时，用方程来表示，故A选项错误；
对于B：经过两个不同的点的直线有两种情况：
当时，直线方程为，整理得；
当时，直线方程为，即方程成立.
综上所述，经过两个不同的点的直线都可以用方程表示，故B选项正确；
对于C：当直线在x轴和y轴上截距为0时，可设直线方程为，
直线过，则所求直线方程为；
当直线在x轴和y轴上截距不为0时，可设直线方程为，即，
直线过，则所求直线方程为.
综上所述，过点且在两坐标轴上截距相等的直线有2条，故C选项正确；
对于D：化为，
所以该方程时才表示圆，故D选项正确.
故选：BCD.
11. 如图，在棱长为1的正方体中（ ）
A. 与的夹角为B. 二面角的平面角的正切值为
C. 与平面所成角的正切值D. 点到平面的距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项判断即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，
则，
∴，，即，与的夹角为，故A错误；
设平面的法向量为，，
所以，令，则，
平面的法向量可取，二面角的平面角为，
则，所以，故B正确；
因为，设与平面所成角为，
则，故C正确；
因为，设点到平面的距离为，则
，故D正确.
故选：BCD.
12. 已知点，直线，圆，过点分别作圆的两条切线，（，为切点），在的外接圆上，则（ ）
A. 直线的方程是
B. 被圆截得的最短弦的长为
C. 四边形的面积为
D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出以为直径的圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程判断A；求出直线所过定点，得到圆心到直线的最小距离，再由垂径定理求被圆截得的最短弦的长判断B；直接求出四边形的面积判断C；求解，再分别减去的外接圆半径与加上的外接圆半径求得的取值范围判断D．
【详解】对于A，圆：，即，圆心坐标为，半径，
又，则的中点为，
又，则以为直径的圆的方程为，
又圆：，
两式作差可得直线的方程是，故A错误；
对于B，直线：可化为，
由，解得，所以直线过定点，
因为，所以定点在圆内，
当且仅当时，弦长最短，又，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，四边形对角线、互相垂直，
则四边形的面积，
圆心到直线距离，
因为，，
所以，故C正确；
对于D，由题意知，的外接圆恰好是经过、、、四点的圆，
因为的中点为外接圆的圆心，
所以圆上的点到点距离最小值是，
最大值是，
所以的取值范围为，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知，则的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两点间距离的几何意义结合图形分析求解.
【详解】设，
因为，则点在矩形内部，如图所示，
可得
，
当且仅当为的交点时，等号成立，
故答案为：.
14. 已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影相互垂直，则________.
【答案】
【解析】
【分析】结合题意作出图形，可得，从而可求得，进而证得，再利用勾股定理即可得解.
【详解】如图，设点在平面内的射影为，点在平面内的射影为，
则，，所以，
又，
则，所以，
因为，所以，
在线段上取点，使得，所以四边形为平行四边形，
所以，，
因为，所以，所以，
又，
所以.
故答案为：.
15. 长方体中，，，，是棱上的动点，则的面积最小值是________.
【答案】.
【解析】
【分析】先由题意，以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出点、点坐标，再设出点坐标，表示出的长，根据余弦定理以及三角形面积公式，即可求出结果.
【详解】由题意，以点坐标原点，方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
因为，，，所以，，
又是棱上的动点，所以，设，
所以，，，
因此，
所以，
因此，
当且仅当时，取最小值.
故答案为
【点睛】本题主要考查空间中的解三角形问题，熟记余弦定理，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.
16. 已知的顶点，，其外心（外接圆圆心）、重心（三条中线交点）、垂心（三条高线点）在同一条直线上，且这条直线的方程为，则顶点的坐标是________.
【答案】或
【解析】
【分析】设顶点的坐标是，根据重心坐标公式结合外心的定义和性质运算求解.
【详解】设顶点的坐标是，则的重心坐标为，
由题意可知：，即，
可知线段的中点为，斜率，
则线段的中垂线的方程为，即，
联立方程，解得，即的外心坐标为，
由，即，
可得，解得或，
即或，
经检验或均符合题意.
故答案为：或.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知点到定点的距离与到定直线的距离之比为，
（1）求点的轨迹方程；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，根据题意列方程，两边平方化简即可.
（2）先在焦点三角形中借助余弦定理求出，然后再利用面积公式求出面积.
【小问1详解】
设点，点到直线的距离为，依题意有，
即，而，
所以，
两边平方化简整理得，
所以点的轨迹方程为.
【小问2详解】
由（1）得，，，，
又，
所以在中，，
即，
所以.
18. 如图，在平行六面体中，，.求：
（1）的长；
（2）直线与所成的角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量线性运算可得，由向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果；
（2）可知，由数量积的运算律结合向量的夹角公式求异面直线夹角.
【小问1详解】
由题意可得：，
因为，
可得，
所以，即的长为.
小问2详解】
因为，
可得，即，
且，
则，
所以直线与所成的角的余弦值为.
19. 已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且．
（1）求直线和的交点坐标；
（2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由，可得直线的斜率，从而可得，联立方程组即可求得交点；
（2）由题意知的斜率k存在，设，求得与坐标轴的交点坐标，再结合面积公式即可求解.
【小问1详解】
（1）因为，又直线的斜率,
所以直线的斜率,则.
由
所以直线和的交点坐标为.
【小问2详解】
由题意知的斜率k存在，设
令得，令得，
因为直线与两坐标轴的正半轴相交，所以，解得，
，解得或，
即或.
20. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是2，且它们所在的两个半平面所成的角为.活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且.
（1）用表示出的长度，并求出的长的取值范围；
（2）当的长最小时，平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作，垂足为，连接，分析可知，，，利用余弦定理结合二次函数分析求解；
（2）由（1）可知：当且仅当为相应边的中点时，的长取到最小，取的中点，连接，分析可知平面与平面所成角为（或其补角），利用余弦定理运算求解.
【小问1详解】
过点作，垂足为，可知∥，
可得，且，
连接，则，即∥，
可得，且，
由题意可知：两个半平面所成的角为，
在，由余弦定理可得
，
即，对于二次函数，
因为，则，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知：当且仅当，即为相应边的中点时，的长取到最小，
此时，则，
取的中点，连接，
可知，所以平面与平面所成角为（或其补角），
因为，
在中，由余弦定理可得，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
21. 在平面直角坐标系中，已知圆经过点，且与圆相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由；
【答案】21.
22. 存在，2个
【解析】
【分析】（1）根据题意利用圆系方程运算求解；
（2）设，根据题意可知点轨迹是以为圆心，半径的圆，结合两圆的位置关系分析判断.
【小问1详解】
将点代入圆可得圆，解得，
即圆，
将点表示成“点圆”形式：，
可设圆的方程为，
代入点可得，解得，
所以圆的方程为，
即.
【小问2详解】
由（1）可知：，圆的圆心，半径，
设，因为，即，
整理得，
可知点轨迹是以为圆心，半径的圆，
且，可知圆与圆的位置关系为相交，两圆有2个公共点，
所以圆上存在2个点，使得.
22. 如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点.
（1）求证： 平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存任，说明理由；
（3）在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状.
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在，理由见解析；
（3）存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）过E作交于点G,连接,由线线平面证明面面平行，再由面面平行的性质即可得出线面平行的证明；
（2）先求出面的法向量，设 , 利用向量法结合线面角得正弦值求解即可;
（3）由 点在空间内轨迹为以中点为球心, 为半径的球,而 中点到平面的距离为 , 即可求解.
【小问1详解】
如图，
过E作交于点G,连接,
因为分别为的中点，，
所以也为中点，
所以，，
而平面，平面，
所以平面，同理平面，
又因为，平面，
所以平面平面，而平面,
所以平面；
【小问2详解】
设如图, 以点A为原点建立空间直角坐标系,
则，
故，
则，
设平面的法向量 ,则有 ,取 ,
整理得 , 解得 或 (舍去)，
所以当时, 直线与平面所成角的正弦值是;
【小问3详解】
由（2）知，平面的一个法向量，
点中点，则,
则中点到平面的距离为，
由，即点在空间内轨迹为以中点为球心,为半径的球，
故存在符合题意的, 此时轨迹是半径为 的圆.
【点睛】假设存在点，满足，设,
共面，存在唯一实数对 , 使得,
所以，则，
，，
整理得，，