2023-2024学年辽宁省沈阳市重点高中联合体高二上学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市重点高中联合体高二上学期期中考试数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在空间直角坐标系中，点P1,-2,4关于xOz平面的对称点是
( )
A. -1,2,4B. 1,2,4C. 1,-2,-4D. -1,-2,4
2.圆x2+y2-4x-1=0的圆心坐标及半径分别为
( )
A. (2,0)，5B. (2,0)， 5C. (0,2)， 5D. (2,2)，5
3.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，化简AB+AD-CC1=( )
A. A1CB. CA1C. BD1D. DB1
4.已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP=34OA+18OB+18OC，则可以得到结论是P,A,B,C四点
( )
A. 共面B. 不一定共面C. 无法判断是否共面D. 不共面
5.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图(1)所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图(2)所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图(3)所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图(1)、(2)、(3)中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为1211、1110、109，设图(1)、(2)、(3)中椭圆的离心率分别为e1、e2、e3，则
．( )
A. e16.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长均为2,∠A1AB=∠A1AC=π3，点E､F满足AE=12AA1,BF=12BC，则EF=( )
A. 6B. 3C. 2D. 2
7.若直线l：y=kx- 3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是
( )
A. π6,π3B. π6,π2C. π3,π2D. π3,π2
8.菱形ABCD的边长为4，∠A=60∘，E为AB的中点(如图1)，将▵ADE沿直线DE翻折至▵A'DE处(如图2)，连接A'B，A'C，若四棱锥A'-EBCD的体积为4 3，点F为A'D的中点，则F到直线BC的距离为
( )
A. 312B. 232C. 314D. 234
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知向量a=4,-2,-4,b=6,-3,2，则下列结论正确的是
( )
A. a+b=10,-5,-2
B. a=6
C. a⋅b=22
D. a-b,b,a+b能构成空间向量的一组基底
10.已知F为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点，A，B为该椭圆的两个顶点，若AF=2，BF=3，则满足条件的椭圆方程为
( )
A. 4x225+y26=1B. x29+y2=1C. x24+y23=1D. x28+y22=1
11.过圆x2+y2=4上一点P作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则
．( )
A. |AP|=|BP|= 2B. ∠APB=60∘
C. |AB|= 3D. 直线AB与圆x2+y2=14相切
12.已知空间单位向量PA,PB,PC两两之间的夹角均为60∘,PA=2PE,BC=2BF，则下列说法中正确的是
( )
A. PA⋅PB=1B. PA⋅BC+AC=-12
C. EF= 22D. csAF,CP= 36
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.过点P1,- 3与直线x+ 3y=0平行的直线的一般式方程为 ．
14.在空间直角坐标系中，已知点A2,5,-1,B1,3,1,C0,0,4,D-1,m,n，若四边形ABDC为平行四边形，则m,n的值分别为 ．
15.在直三棱柱ABC-A'B'C'中，所有的棱长都相等，M为B'C'的中点，N为A'B'的中点，则AM与BN所成角的余弦值为________．
16.已知点Px,y到定点M0,12的距离比它到x轴的距离大12，则PM= ，点P的轨迹点C的方程为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
(1)求与向量a=(1,-1,2)共线，且满足a⋅b=-12的向量b的坐标；
(2)已知点A(2,-1,2),B(4,5,-1),C(-2,2,3)，若空间中一点P使得AP=12(AB-AC)，求点P的坐标；
18.(本小题12分)
已知▵ABC的三个顶点分别是A1,3,B-1,4,C3,8，求：
(1)AB边所在直线l1的一般式方程；
(2)BC边的垂直平分线所在直线l2的斜截式方程．
19.(本小题12分)
如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3．
(1)求点B1到平面A2C2D2的距离；
(2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150∘时，求B2P的长．
20.(本小题12分)
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，A-2,0,B1,0，且PA=2PB．
(1)若M为AP的中点，求点M的轨迹方程；
(2)若点Qx,y在点P的轨迹上运动，求t=y+4x-6的取值范围．
21.(本小题12分)
已知椭圆C:x216+y24=1，其左、右焦点分别为F1,F2，直线l与椭圆交于A,B两点，且弦AB被点 3, 32平分．
(1)求直线l的一般式方程；
(2)求▵F1AB的面积．
22.(本小题12分)
如图，三棱锥P-ABC的底面为等腰直角三角形，∠ABC=90∘,AB=2．D,E分别为AC,BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上．
(1)从下面的①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并给予证明；
条件①：PD= 2；条件②：PD= 3；条件③：PM=3ME；条件④：PE=3ME．
(2)在(1)的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间中点关于坐标平面对称点的坐标的求法，属于基础题．
利用点(x,y,z)关于xOz平面对称点为(x,-y,z)求解即可．
【解答】
解：点P1,-2,4关于xOz平面的对称点是1,2,4．
故选B．
2.【答案】B
【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，由此求得圆心和半径．
解：依题意，圆x2+y2-4x-1=0转化为标准方程得x-22+y2=5，
所以圆心为(2,0)，半径为 5．
故选：B
3.【答案】A
【解析】【分析】根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．
解：
∵ABCD-A1B1C1D1为平行四面体，
∴AB+AD-CC1=DC+AD+C1C=AC+C1C=A1C1+C1C=A1C.
故选：A．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平面向量基本定理，是较易题．
利用三角形法则将题目中的条件转化为AP=-16PB-16PC，即可判断四点位置情况．
【解答】
解：由于OP=34OA+18OB+18OC，
则34OA-34OP+18OB-18OP+18OC-18OP=0，
所以34PA+18PB+18PC=0，
则PA=-16PB-16PC，
所以PA,PB,PC共面，且有公共点P，
故P,A,B,C四点共面．
故选：A
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查求椭圆的离心率(或取值范围)，属于基础题．
根据长轴长与短轴长的定义，结合a,b,c的等量关系以及离心率的计算公式，通过比较大小，可得答案．
【解答】
解：设椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则c2=a2-b2，
可知椭圆的长轴长与短轴长的比值为ab，
故离心率e=ca= c2a2= a2-b2a2= 1-ba2，
则e1= 1-11122= 2312，e2= 1-10112= 2111，e3= 1-9102= 1910，
由 2312< 2111< 1910，则e1故选：C．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积运算，是中档题．
以向量 AB,AC,AA1 为基底向量，则 EF=12AB+12AC-12AA1, 根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方运算即可．
【解答】
解： EF=EA+AB+BF=AB+12AC-AB-AE
=12AB+12AC-12AA1,
∵ 斜三棱柱 ABC-A1B1C1 所有棱长均为 2,∠A1AB=∠A1AC=π3.
∴EF2=14AB2+14AC2+14AA12+12AB⋅AC-12AB·AA1-12AC·AA1
=1+1+1+12×2×2×12-12×2×2×12×2=2
∴|EF|= 2 ．
故选： D ．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查两条直线的交点坐标，考查直线的倾斜角，属于基础题．
联立两直线方程得到交点坐标，然后根据交点位于第一象限得到倾斜角的范围．
【解答】
解：直线l：y=kx- 3与直线2x+3y-6=0 有交点，则两直线不平行，易得k≠-23，
联立y=kx- 32x+3y-6=0 ，得x=6+3 32+3ky=6k-2 32+3k,
所以6+3 32+3k>06k-2 32+3k>0，解得k> 33，
所以直线l的倾斜角的范围为π6,π2．
故选：B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间中点到直线距离的向量求法，属于中档题．
由已知可证得A'E⊥平面BCDE，所以以E为原点，EB,ED,EA'所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可．
【解答】
解：连接BD，因为四边形ABCD为菱形，且∠A=60∘，
所以▵ABD为等边三角形，
因为E为AB的中点，所以DE⊥AB，
所以DE⊥EB,DE⊥A'E，
因为EB∩A'E=E，EB,A'E⊂平面A'EB，
所以DE⊥平面A'EB，
因为菱形ABCD的边长为4，
所以AB=AD=CD=BC=4,DE=2 3,AE=BE=2，
所以直角梯形BCDE的面积为12×(2+4)×2 3=6 3，
设四棱锥A '-EBCD的高为h，则13×6 3h=4 3，得h=2，
所以h=A'E，所以A'E⊥平面BCDE，
所以以E为原点，EB,ED,EA'所在的直线分别为x,y,z轴
建立空间直角坐标系如图，
则A'0,0,2,B(2,0,0),C(4,2 3,0),D0,2 3,0,
因为F为A 'D的中点,所以F(0, 3,1)，
而BC=(2,2 3,0)，
所以与BC同向的单位向量为u=BC|BC|=(12, 32,0),
由FB=(2,- 3,-1)
所以|FB|= 4+3+1=2 2，
FB⋅u=1-32=-12，
所以F到直线BC的距离为d= |FB|2-(FB⋅u)2= 8-14= 312．
故选A．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标运算、模以及数量积，空间向量基本定理，是中档题．
用空间向量加法的坐标运算判断A，用空间向量模的计算公式判断B，用空间向量数量积的坐标运算判断C，利用空间向量基本定理可判断D．
【解答】
解：对于A：因为a=4,-2,-4,b=6,-3,2，所以a+b=10,-5,-2，故 A正确；
对于B：a= 42+(-2)2+(-4)2=6，故 B正确；
对于C：a⋅b=4×6+-2×-3+-4×2=22，故 C正确；
对于D：a-b=-2,1,-6．
设(-2,1,-6)=x(6,-3,2)+y(10,-5,-2)
=(6x+10y,-3x-5y,2x-2y)，
得6x+10y=-2-3x-5y=12x-2y=-6，解得x=-2,y=1，
此时a+b,b,a-b共面，不能构成空间向量的一组基底，故 D错误．
故选：ABC．
10.【答案】AC
【解析】【分析】根据题意A、B为该椭圆的两个顶点，且AF=2，BF=3，结合椭圆的几何性质，分类讨论，即可求解．
解：由题意，已知F为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点，
其中A、B为该椭圆的两个顶点，且AF=2，BF=3，
当A、B为长轴的两个顶点时，可得a+c=3a-c=2，解得a=52c=12,
所以b2=a2-c2=6，此时椭圆的方程为4x225+y26=1；
当A为椭圆短轴的顶点，B为长轴的顶点时，可得AF=a=2BF=a+c=3
解得a=2c=1，则b2=a2-c2=3，此时椭圆的方程为x24+y23=1；
当A为椭圆长轴的顶点，B为短轴的顶点时，可得AF=a-c=2BF=a=3,
解得a=3c=1，则b2=a2-c2=8，此时椭圆的方程为x29+y28=1．
故选：AC．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
根据圆的切线的性质，结合勾股定理以及锐角三角函数，可得答案．
【解答】
解：由题意，作图如下：

因为圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的圆心为O，且OA=1，OP=2，
直线PA与圆x2+y2=1相切，所以OA⊥PA，
在Rt△OAP中，|AP|= |OP|2-|OA|2= 3，
易知∠APO=30∘，所以∠APB=60∘．
又AP=BP，所以AB= 3，故 A错误，B、C正确．
设AB与OP交于点H，由PA,PB与圆x2+y2=1相切，则AB⊥OP，
又PA⊥OA，∠APO=30∘，易知∠OAB=30∘，
在Rt▵AOH中，OH=AO⋅sin∠OAH=12，
又圆x2+y2=14的半径为12，所以直线AB与圆x2+y2=14相切，故 D正确．
故选：BCD．
12.【答案】BC
【解析】【分析】根据空间向量的运算法则和向量的夹角公式依次计算即可．
解：由单位向量PA,PB,PC两两夹角均为60∘，故PA⋅PB=1×1×cs60∘=12，故 A错误；
PA⋅BC+AC=PA⋅PC-PB+PC-PA=PA⋅2PC-PB-PA=1-12-1=-12，故 B正确；
由PA=2PE，得12PA=PE.由BC=2BF，
得PC-PB=2PF-2PB⇒PF=PC+PB2，所以EF=PF-PE=PC+PB-PA2，
则EF=PC+PB-PA2=12 PC+PB-PA2
=12 PC2+PB2+PA2+2PC⋅PB-2PC⋅PA-2PA⋅PB=12 1+1+1+1-1-1= 22，故 C正确；
AF=PF-PA=PC+PB-2PA2，
所以AF⋅CP=-PC+PB-2PA⋅PC2=-1+12-2×122=-14，故csAF,CP<0，故 D错误．
故选：BC．
13.【答案】x+ 3y+2=0
【解析】【分析】
本题考查直线的一般式方程，考查两直线的平行关系，属于基础题．
设所求直线的一般式方程为x+ 3y+c=0，将P1,- 3代入得到c的值即得结果．
【解答】
解：设所求直线的一般式方程为x+ 3y+c=0c≠0．
将点P的坐标代入所求直线方程可得1-3+c=0，解得c=2，
故所求直线的一般式方程为x+ 3y+2=0．
故答案为：x+ 3y+2=0．
14.【答案】-2,6
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标表示及相等向量的坐标运算，属于基础题．
根据空间向量的坐标表示以及相等向量的坐标运算求解即可．
【解答】
解：因为A(2,5,-1),B(1,3,1),C(0,0,4),D(-1,m,n),
所以AB=-1,-2,2,CD=-1,m,n-4，
因为四边形ABDC为平行四边形，
所以AB=CD，所以m=-2,n-4=2，
所以m=-2,n=6．
故答案为：-2,6．
15.【答案】 3514
【解析】【分析】首先以A为原点建立空间直角坐标系，因为在直三棱柱ABC-A'B'C'中，所有的棱长都相等，所以可设所有的棱长都为2，然后用坐标表示向量AM和BN，进而求出AM与BN所成角的余弦值．
本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中等题型．
解：以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，
AC所在直线为y轴，AA'所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设直三棱柱ABC-A'B'C'所有的棱长都为2，则A(0,0,0)，M 32,32,2，
B( 3,1,0)，N 32,12,2，所以AM= 32,32,2，BN=- 32,-12,2．
设AM与BN所成的角为θ，则csθ=|AM⋅BN||AM||BN|=-34-34+4 7× 5= 3514．
故答案为： 3514．
16.【答案】y+12；y=x22或x=0(y⩽0)
【解析】【分析】
本题考查抛物线的标准方程，与抛物线有关的轨迹问题，是较难题．
利用求曲线方程的步骤求解．
【解答】
解：依题意，得PM=y+12，即 x2+y-122=y+12①，
则 x2+y-122-12=y，
两边平方得
x2+y-122- x2+y-122+14=y2，
则x2-y-12= x2+y-122，
两边平方得
x4-2y-12x2+y-122=x2+y-122，
整理得x4-2y⋅x2=0，即x2x2-2y=0，
可得y=x22或x=0．
当x=0时，此时①可化为|y-12|=|y|+12,两边平方得|y|=-y，所以y⩽0，所以点P的轨迹C的方程为y=x22或x=0(y⩽0)．
故答案为：y+12，y=x22或x=0(y⩽0)．
17.【答案】解：(1)因为向量b与a共线，故可设b=λa．
由a⋅b=-12，得a⋅λa=λ|a|2=λ( 1+1+4)2=6λ=-12，故λ=-2，
所以b=-2a=(-2,2,-4)．
(2)设Px,y,z，
则AP=(x-2,y+1,z-2),AB=(2,6,-3)，AC=(-4,3,1)．
因为AP=12(AB-AC)，
所以(x-2,y+1,z-2)=12[(2,6,-3)-(-4,3,1)]
=12(6,3,-4)=(3,32,-2)，
解得x=5,y=12,z=0，
所以点P的坐标为5,12,0．

【解析】本题考查空间向量运算的坐标表示，考查空间向量平行(共线)的坐标表示，属于基础题．
(1)根据空间向量共线的坐标表示求解；
(2)利用空间向量的线性运算的坐标表示求解．
18.【答案】解：(1)直线l1过点A(1,3),B(-1,4),
由直线方程的两点式，得l1:y-34-3=x-1-1-1，
所以直线l1的 一般式方程为x+2y-7=0．
(2)因为B(-1,4),C(3,8)，
所以BC边的中点坐标为1,6．
因为BC边所在直线的斜率为8-43--1=1，
所以直线l2的斜率为-1．
所以直线l2的方程为y-6=-x-1，即y=-x+7．

【解析】本题考查直线的一般式方程、斜截式方程、点斜式方程和两点式方程，直线垂直的性质，属于基础题．
(1)利用直线的两点式方程和一般式方程的概念求解；
(2)利用直线的垂直关系与斜率的关系以及点斜式、斜截式方程概念求解．
19.【答案】解：(1)如图，以C为坐标原点，分别以CD,CB,CC1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则C0,0,0,C20,0,3,B20,2,2，D22,0,2,A22,2,1,B10,2,4,
所以A2C2=-2,-2,2,A2D2=0,-2,1．
设平面A2C2D2的一个法向量为m=x,y,z，
所以A2C2⋅m=-2x-2y+2z=0A2D2⋅m=-2y+z=0,
令z=2，则x=1,y=1，所以m=1,1,2．
又因为C2B1=0,2,1，
所以点B1到平面A2C2D2的距离d=C2B1⋅mm=4 6=2 63．
(2)设P0,2,λ0≤λ≤4，
则A2C2=-2,-2,2,PC2=0,-2,3-λ．
设平面PA2C2的一个法向量为n=(a,b,c)，
则n⋅A2C2=-2a-2b+2c=0n⋅PC2=-2b+(3-λ)c=0,
令c=2，则b=3-λ,a=λ-1，
所以n=λ-1,3-λ,2，
所以|cs ⟨m,n⟩|=|m⋅n||m||n|
=6 6× (λ-1)2+(3-λ)2+4
=|cs 150∘|= 32，
可得λ2-4λ+3=0，解得λ=1或λ=3，
所以B2P=1．

【解析】本题考查点面距离的向量求法，考查平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．
(1)建立空间直角坐标系，求出各点坐标，用点到面距离公式即可求出点B1到平面A2C2D2的距离；
(2)设P坐标，根据二面角P-A2C2-D2为150∘，求出P坐标，求得B2P的长．
20.【答案】解：(1)设Px,y，则 x+22+y2=2 x-12+y2，
化简得x2-4x+y2=0，故点P的轨迹方程为x2-4x+y2=0．
设Ma,b，因为M为AP的中点，所以点P的坐标为2a+2,2b，
将P2a+2,2b代入x2-4x+y2=0中，得a2+b2=1，
所以点M的轨迹方程为x2+y2=1．
(2)因为点Qx,y在点P的轨迹上运动，
所以x2-4x+y2=0，变形为x-22+y2=4，
即点Qx,y为圆心为2,0，半径为2的圆上的点，
则t=y+4x-6表示的几何意义为圆上一点与点6,-4连线的斜率，如图，当过点6,-4的直线与圆相切时，t取得最值．设过点6,-4的直线为y+4=kx-6，即kx-y-6k-4=0，
则由点到直线的距离公式可得4k+4 1+k2=2，
解得k=-4+ 73或k=-4- 73，
故t=y+4x-6的取值范围是-4- 73,-4+ 73．

【解析】【分析】(1)利用圆的轨迹方程的求法求解；
(2)根据直线与圆的位置关系以及t=y+4x-6的几何意义求解．
21.【答案】解：(1)设点Ax1,y1,Bx2,y2．
因为弦AB被点 3, 32平分，所以x1+x2=2 3,y1+y2= 3．
分别把点A,B的坐标代入椭圆方程，得x1216+y124=1x2216+y224=1,
两式相减，得x1+x2x1-x2=-4y1+y2y1-y2，
所以直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=-14⋅x1+x2y1+y2=-12 (当x1=x2时，y1+y2=0不符合题意)，
故直线l的方程为y- 32=-12x- 3，即x+2y-2 3=0．
(2)由椭圆的方程，可得c2=a2-b2=16-4=12，所以F1-2 3,0,F22 3,0．
联立椭圆与直线方程x216+y24=1,x+2y-2 3=0,
得2y2-2 3y-1=0，所以y1+y2= 3,y1y2=-12，
所以y1-y2= y1+y22-4y1y2= 5．
易得直线l过点F22 3,0，
所以S△F1AB=12×|F1F2|×|y1-y2|=12×4 3× 5=2 15．

【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆的焦点三角形面积，是中档题．
(1)利用点差法求解椭圆中的中点弦问题，即可求出直线l的一般式方程．
(2)联立直线与椭圆，利用面积公式表示出面积即可．
22.【答案】解：(1)因为PD⊥平面ABC，DB⊂平面ABC，DC⊂平面ABC，
所以PD⊥DB,PD⊥DC，又因为底面为等腰直角三角形，所以DB⊥DC，
所以建立如图所示空间直角坐标系，
则D0,0,0,B 2,0,0,C0, 2,0,E 22, 22,0，
设P(0,0,t),t>0，PM=λPE,0<λ<1，
则DB= 2,0,0,PB= 2,0,-t，PC=0, 2,-t,PE= 22, 22,-t，
DP=0,0,t．
故DM=DP+PM=DP+λPE= 22λ, 22λ,(1-λ)t．
设平面MBD的 法向量为n1=x1,y1,z1，
则DB⋅n1= 2x1=0DM⋅n1= 22λx1+ 22λy1+(1-λ)tz1=0,
取n1=0,1, 2λ2(λ-1)t．
设平面PBC的法向量为n2=x2,y2,z2，则PB⋅n2= 2x2-tz2=0PC⋅n2= 2y2-tz2=0,
令x2=y2=1，可得n2=1,1, 2t．
要使平面MBD⊥平面PBC，则n1⋅n2=1+2λ2(λ-1)t2=0，解得λ=t2t2+1，
注意到条件①⇔t= 2，条件②⇔t= 3，条件③⇔λ=34⇔t= 3，
条件④⇔λ=23⇔t= 2，所以只能选①④或②③，
(一)当选择①④时，
n1=0,1,-1，n2=1,1,1，所以n1⋅n2=0+1-1=0，所以平面MBD⊥平面PBC．
(二)当选择②③时
n1=0,1,- 62，n2=1,1, 63．
所以n1⋅n2=0+1-1=0，所以平面MBD⊥平面PBC．
(2)(一)当选择①④时，
由(1)知BP=- 2,0, 2，平面MBD的法向量为n1=0,1,-1．
设直线BP与平面MBD所成角为θ，则sinθ=BP⋅n1BPn1= 22× 2=12．
(二)当选择②③时
由(1)知BP=- 2,0, 3，
平面MBD的法向量n1=0,1,- 62．
设直线BP与平面MBD所成角为θ，则sinθ=BP⋅n1BPn1=3 22 5× 52=35.

【解析】【分析】(1)利用空间向量的坐标运算，求出平面的法向量，进而证明面面垂直；
(2)利用空间向量的坐标运算，求线面夹角的正弦值．