辽宁省鞍山市铁东区2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份辽宁省鞍山市铁东区2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共13页。试卷主要包含了下列图形是中心对称图形的是，将方程3等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．角B．直角三角形C．平行四边形D．等腰三角形
2．将方程3（x+1）2＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．3，﹣5，3B．3，1，3C．3，1，1D．3，﹣11，3
3．下列图形中，不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个等腰直角三角形
C．两个正方形D．两个菱形
4．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2﹣1先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣4B．y＝﹣（x+1）2﹣4
C．y＝﹣（x﹣1）2+3D．y＝﹣（x+1）2+3
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，下列四个选项，正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，AC＝5，EF＝4，则DE的长度是（ ）
A．6B．C．D．
7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A．ab＜0B．2a+b＜0C．a+b+c＜0D．b2﹣4ac＞0
8．欧几里得的《几何原本》记载，对于形如x2+ax＝b2的方程，可用如图解法：作直角三角形ABC，其中∠C＝90°，AC＝b，，在斜边AB上截取BD＝BC，则该方程的其中一个正根是（ ）
A．线段AD的长B．线段BC的长C．线段AC的长D．线段AB的长
二、壤空题（每小题3分，共24分）
9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE（点B、C的对应点分别为点D、E），若∠B＝50°，∠E＝30°，则∠CAD的度数为 ．
10．已知抛物线y＝ax2+mx+n（a≠0）经过点（1，5），（﹣3，5），则方程ax2+mx+n＝5的根是 ．
11．如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为点O，OA＝2AA′，△ABC的面积为1，则△A'B'C'的面积为 ．
12．目前以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市计划经过两年时间，5G用户数从2021年底的500万增加到2023年底的720万，求该市5G用户数平均年增长率．设该市5G用户数平均年增长率为x，则可列方程为 ．
13．已知点（﹣7，y1），（﹣3，y2），（4，y3）都在二次函数y＝a（x﹣1）2（a＜0）的图象上，则y1，y2与y3的大小关系为 .（用“＞”连接）
14．古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 米．
15．二次函数y＝ax2+bx+1（a＜0，b＜0）的图象经过点P（n，1）（n≠0），此函数图象与x轴有两个不同的交点，若其中一个交点的坐标为（n+2，0），则另一个交点的坐标为 ．
16．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝α，E为AC边上一点，线段BE与线段AD交于N点，将线段BE绕E点顺时针旋转得到线段FE，旋转角为β，且α+β＝180°，连接BF，线段BF分别与线段AD，线段AC交于M，H两点，连接DH，下列结论：
①∠ABE＝∠AEF；
②△BNM∽△ANB；
③BN•BE＝EH•AC；
④DH∥EF．
正确的有 ．（填序号即可）
三、计算题：（本题满分8分）
17．解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0；
（2）2x2+5x+3＝0．
四、解答题：（每小题9分，共18分）
18．如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，A，B，C三点都在格点上；
（1）将△ABC绕O点顺时针旋转90°得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标．
19．关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m﹣1＝0，求证：方程总有两个不相等的实数根．
五、解答题：（每小题10分，共30分）
20．如图，在△ABC中，，BC＝4，，求tanB的值．
21．已知，抛物线y＝﹣x2+4x﹣1；
（1）请直接写出抛物线y＝﹣x2+4x﹣1的顶点A，与y轴的交点B的坐标，在坐标系中描出A，B两点，并画出抛物线的图象（不用列表）；
（2）当1＜x＜4时，结合图象，请直接写出y的取值范围．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝150°，将△ABC绕B点逆时针旋转得到△DBE，旋转角为α（0°＜α＜180°），若A，D，E三点恰好在同一条直线上；
（1）求旋转角α的度数；
（2）若AB＝2，求AE的长．
六、解答题：（每小题10分，共20分）
23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AE，DB＝DC；
求证：
（1）△BFE∽△CAB；
（2）若，AB＝5，求BF的长．
24．某商场销售一款服装，成本为每件300元，若以每件600元的价格销售，每周可以售出60件，若该服装销售价格每降低50元/件，每周可多售出20件，通过成本的核算确定该款服装的利润率不得低于70%，则该款服装售价为多少元/件时，一周的销售利润为20000元．（）
七、解答题：（本题满分12分）
25．如图，在△ABC中（∠ACB＜90°），D点为AB边上一点，∠ACD＝∠B，将∠BDC绕D点逆时针旋转得到∠MDN，射线DM与射线BC交于E点（E不与B，C重合），射线DN与射线CA交于F点；
（1）求证：△BDE∽△CDF；
（2）连接EF，求证：∠CEF＝∠BDE；
（3）当∠B＝45°，CD＝5，时，若△DCE是以DE为底等腰三角形，请直接写出AF长．
八、解答题：（本题满分14分）
26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知，D点为y轴右侧抛物线上一点（D点与B点不重合），过D作DF∥y轴分别与直线BC，x轴交于F，E两点；
①当D点在直线BC上方时，且DF＝EF，求D点坐标；
②过F点作直线MN∥x轴与抛物线分别交于M，N两点（M在N左侧），若，求N点横坐标．
参考答案
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．
解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．
解：3（x+1）2＝5x可化为3x2+x+3＝0，
∴a＝3，b＝1，c＝3．
故选：B．
3．
解：A、两个等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意；
B、两个等腰直角三角形，顶角都是直角相等，夹边成比例，一定相似，故此选项不合题意；
C、两个正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意；
D、两个菱形，四个边都相等，但对应角不一定相等，不一定相似，故此选项符合题意．
故选：D．
4．
解：将抛物线y＝﹣x2﹣1先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2﹣1﹣3，即y＝﹣（x﹣1）2﹣4．
故选：A．
5．
解：如图，根据勾股定理得：，
∴，，，，
∴C正确，A、B、D错误，
故选：C．
6．
解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，即＝，
解得：DE＝，
故选：D．
7．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴x＝＞0，
∴b＜0，
∴ab＜0，故选项A正确，不符合题意；
由函数图象得抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣x＝＝1，
∴2a+b＝0，故选项B错误，符合题意；
由图象可得x＝1时y＜0，
∴a+b+c＜0，故选项C正确，不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故选项D正确，不符合题意．
故选：B．
8．
解：由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2，
∵，AC＝b，，
∴，
整理得：AD2+a•AD＝b2，
∵x2+ax＝b2，
∴AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根，
故选：A．
二、壤空题（每小题3分，共24分）
9．
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，
∴∠BAD＝50°，∠C＝∠E＝30°，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝100°﹣50°＝50°．
故答案为：50°．
10．
解：∵抛物线y＝ax2+mx+n（a≠0）经过点（1，5），（﹣3，5），
∴抛物线y＝ax2+mx+n与直线y＝5的交点坐标为（1，5），（﹣3，5），
∴方程ax2+mx+n＝5的根为x1＝1，x2＝﹣3
故答案为：x1＝1，x2＝﹣3
11．
解：∵OA＝2AA′，
∴，
∵△ABC与△A'B'C'位似，
△ABC∽△A′B′C′，AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴，
∴，
∵△ABC的面积为1，
∴△A'B'C'的面积为．
故答案为：．
12．
解：依题意得：500（1+x）2＝720，
故答案为：500（1+x）2＝720．
13．
解：∵y＝a（x+1）2（a＜0），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴点（4，y3）与点（﹣6，y3）关于直线x＝﹣1对称，
∵﹣7＜﹣6＜﹣3＜﹣1，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为：y1＜y3＜y2．
14．
解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设金字塔的高度BO为x米，则可列比例为，，
解得：x＝134，
经检验，x＝134是原方程的解，
∴BO＝134．
故答案为：134．
15．
解：对于二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝0时，y＝1，
∴二次函数过点（0，1），
∵二次函数过点P（n，1），
∴点（0，1）和点P（n，1）关于二次函数的对称轴对称，
∴二次函数的对称轴为，
∵二次函数与x轴的两个交点关于二次函数的对称轴对称，且一个交点的坐标为（n+2，0），
∴另一个交点的坐标为，即（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
16．
解：∵α+β＝180°，α+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴β＝∠ABC+∠ACB，
∵β＝∠BEA+∠AEF＝∠EBC+∠BCA+∠AEF∠ABC＝∠ABE+∠EBC，∠ABC＝∠BCA，
∴∠ABE＝∠AEF，
故①正确；
∵∠BEF＝β，BE＝EF，
∴，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴，
∴，
∵∠BNM＝∠ANB，
∴△BNM∽△ANB，
故②正确；
∵∠BAN＝∠BFE＝，∠ABN＝∠HEF，
∴△ABN∽△EFH，
∴，
∵AB＝AC，BE＝EF，
∴，
∴AC•EH＝BN•EN．
故③正确；
∵∠BMD＝∠AMH，∠BHE＝∠ABH+∠BAH，∠BHE＝∠MAH+∠AMH，
∵∠DHC＝∠AMH，
∴，
∴，
∴DH∥EF，
故④正确
综合上述，正确的有①②③④．
三、计算题：（本题满分8分）
17．
解：（1）（x﹣2）2＝7，
，
，；
（2）2x2+5x+3＝0．
解：Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4×2×3＝1＞0，
方程有两个不相等实数根
，．
四、解答题：（每小题9分，共18分）
18．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，
（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2（2，﹣2），B2（3，0），C2（1，1）．
19．
【解答】证明：Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣2）2﹣4×（﹣2m﹣1）＝m2+4m+8
∵m2+4m+8＝m2+4m+4+4＝（m+2）2+4，（m+2）2≥0，
∴（m+2）2+4＞0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等实数根．
五、解答题：（每小题10分，共30分）
20．
解：过A作AD⊥BC交于D．
在Rt△ADC中，，
∵，
∴，
∴，
∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1＝3．
在Rt△ABD中，．
21．
解：（1）∵y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3，
∴顶点A（2，3），
令x＝0，y＝﹣1，
∴y轴的交点的坐标为B（0，﹣1），
当x＝1时，y＝2，当x＝4时，y＝﹣1，
画出函数图象，如下：
（2）观察图象得：当1＜x＜4时，﹣1＜y≤3．
故答案为：﹣1＜y≤3．
22．
解：（1）由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴∠BDE＝∠BAC＝150°AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝180°﹣∠BDE＝30°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝120°，
∴α＝120°；
（2）过B作BH⊥AD交于H，
∵在Rt△ABH中，∠BAD＝30°，AB＝2，
∴，
∴，
∵AB＝BD，BH⊥AD，
∴，
∵AB＝AC＝2，△ABC≌△DBE，
∴DE＝AC＝2，．
六、解答题：（每小题10分，共20分）
23．
【解答】（1）证明：∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C，
∴△BFE∽△CAB；
（2）解：∵，
设BE＝2x，CE＝3x，
∴BC＝BE+CE＝5x，
∵△BFE∽△CAB，AB＝5，
∴，∠BFE＝∠BAC＝90°，
∴，∠BFA＝90°，
∵AB＝AE＝5，
∴AF＝AE﹣EF＝3．
在Rt△ABF中，．
24．
解：设该款服装售价为x元/件，
，
解得：x1＝550，x2＝500，
∵利润率不得低于70%，
∴x﹣300≥300×70%，
∴x≥510，
∴x＝550，
答：售价为550元/件．
七、解答题：（本题满分12分）
25．
【解答】（1）证明：根据题意得：∠BDC＝∠MDN，
∴∠BDC﹣∠CDE＝∠MDN﹣∠CDE，
∴∠BDE＝∠CDF
∵∠ACD＝∠B，
∴△BDE∽△CDF；
（2）证明：如图，设CD与EF交于点P，
∵△BDE∽△CDF，
∴，
∴，
∵∠BDC＝∠MDN，
∴△BDC∽△EDF，
∴∠DFE＝∠ECD，
∵∠DPF＝∠EPC，∠CEF＝180°﹣∠ECD﹣∠EPC，∠CDF＝180°﹣∠DFE﹣∠DPF，
∴∠CEF＝∠CDF，
∵∠BDE＝∠CDF，
∴∠CEF＝∠BDE；
（3）解：如图，作DG⊥BC，DH⊥AC，垂足为G，H，
∵∠ACD＝∠B＝45°，
∴△BDG和△CDH是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
在Rt△CDG中，，
∵△DCE是以DE为底的等腰三角形，
∴CE＝CD＝5，
∴EG＝1，BE＝2，BC＝7，
∵BDE∽△CDF，
∴，即，
∴，
∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽ABC，
∴，
设AC＝5k，AB＝7k，则，
在Rt△ADH中，DH2+AH2＝AD2，
∴，
解得：，（舍去），
∴；
如图，作DG⊥BC，DH⊥AC，垂足为G，H，
∵∠ACD＝∠B＝45°，
∴△BDG和△CDH是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
在Rt△CDG中，，
∵△DCE是以DE为底的等腰三角形，
∴CE＝CD＝5，
∴EG＝9，BE＝12，BC＝7，
根据题意得：∠BDC＝∠MDN，
∴∠BDC+∠CDE＝∠MDN+∠CDE，
∴∠BDE＝∠CDF，
∵∠ACD＝∠B，
∴△BDE∽△CDF，
∴，即，
∴，
∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
设AC＝5k，AB＝7k，则，
在Rt△ADH中，DH2+AH2＝AD2，
∴，
解得：，（舍去），
∴；
综上所述，AF的长为或．
八、解答题：（本题满分14分）
26．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过B（3，0），C（0，3）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）①设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵直线y＝kx+b过B（3，0），C（0，3）两点，
∴，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
设D（t，﹣t2+2t+3），F（t，﹣t+3），
∴DF＝﹣t2+3t，EF＝﹣t+3，
∵DF＝EF，
∴﹣t2+3t＝﹣t+3t2﹣4t+3＝0，
解得：t1＝1，t2＝3（舍去），
∴D（1，4）；
②过N作NP⊥MN交BC于P，过M作MQ⊥MN交BC于Q，
设N（n，﹣n2+2n+3），P（n，﹣n+3），
∵抛物线对称轴为：直线，
M与N关于对称轴对称，
∴M（2﹣n，﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+3），Q（2﹣n，﹣（2﹣n）+3），
∵NP⊥MN，MQ⊥MN，
∴∠QMN＝∠PNM＝90°，
∴PN∥QM，
①当F在第一象限时，
PN＝﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）＝﹣n2+3n，QM＝﹣（2﹣n）+3﹣[﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+3]＝n2﹣n﹣2，
∵∠QMN＝∠PNM＝90°∠PFN＝∠MFQ，
∴△PFN∽△QFM，
∴，
∴2PN＝QM，
∴n2﹣n﹣2＝2（﹣n2+3n），
即3n2﹣7n﹣2＝0，
解得：，（舍去），
②当F在第四象限时，PN＝﹣n+3﹣（﹣n2+2n+3）＝n2﹣3n，QM＝﹣（2﹣n）+3﹣[﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+3]＝n2﹣n﹣2，
∵PN∥QM，
∴△PFN∽△QFM，
∴，
∴n2﹣n﹣2＝2（n2﹣3n），
即n2﹣5n+2＝0，
解得：，（舍去），
∴N横坐标为或．