辽宁省鞍山市铁东区2023-2024学年九年级上学期中数学试卷

这是一份辽宁省鞍山市铁东区2023-2024学年九年级上学期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，﹣1，4B．3，4，﹣1C．3，﹣4，﹣1D．3，﹣1，﹣4
3．（3分）如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED，则下列各式成立
的是（ ）
A．B．AD•DE＝AE•EC
C．D．AB•AD＝AE•AC
4．（3分）若二次函数y＝x2﹣4x+k的图象经过点（﹣1，y1），（3，y2），则y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定
5．（3分）如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的长为10cm，则放大后的矩形的宽为（ ）
A．B．5cmC．10cmD．6cm
6．（3分）已知点P（m﹣n，1）与点Q（3，m+n）关于原点对称，则mn的值为（ ）
A．2B．1C．﹣2D．﹣1
7．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′，此时点B′恰在边AC上，若AB＝2，AC′＝5，则B′C的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．18.63（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝18.63
C．18.63（1﹣x）2＝23D．23（1﹣2x）＝16
9．（3分）如图，正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'是位似关系图，则位似中心是（ ）
A．点OB．点PC．点QD．点R
10．（3分）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（ ）
A．小球的飞行高度不能达到15m
B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s
D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2的值为 ．
12．（3分）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则tan∠AOC的值为 ．
13．（3分）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为 ．
14．（3分）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，当S△PCB＝3时，点P的坐标为 ．
15．（3分）如图，已知△ABC中，D，E分别是AC，BC边上的点，，∠AED＝∠ABC，DE与AB的延长线交于点F，ED＝AF＝9，EF＝3，则BC＝ ．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（10分）解下列一元二次方程
（1）x2+3x﹣4＝0（公式法）
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法）
17．（8分）如图，AE平分∠BAC，D为AE中点，∠B＝∠C．求证：AB＝2AC．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k﹣1＝0．求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
19．（8分）已知抛物线y＝2x2+4x﹣6．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值．
20．（9分）在△ABC中，AB＝2，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，且CN∥BM，MA的延长线与CN交于点P，若AM＝3，．
（1）求证：△ABM∽△CBN；
（2）求AP的长．
21．（8分）随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展，某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售．经统计，“双11”的前一周（10月30日﹣11月5日）的销售量为500件，该电商在“双11”期间（11月6日﹣11月12日）进行降价销售，经调查，发现该款T恤在“双11”的前一周销售量的基础上，每降价1元，周销售量就会增加50件．若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率＝×100%）
22．（12分）问题提出
已知△ABC是等边三角形，将等边三角形ADE（A，D，E三点按逆时针排列）绕顶点A旋转，且平移线段AD使点A与顶点C重合，得到线段CF，连接BE，EF，BF．
观察发现
（1）如图1，当点E在线段AB上，猜想△BEF的形状 ；
探究迁移
（2）如图2，当点E不在线段AB上，（1）中猜想的结论是否依然成立，请说明理由；
拓展应用
（3）若AB＝2，，在△ADE绕着点A旋转的过程中，当EF⊥AC时，求线段AF的长．
2023-2024学年辽宁省鞍山市铁东区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
2．【解答】解：∵3x2﹣4x﹣1＝0，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是3，﹣4，﹣1，
故选：C．
3．【解答】解：∵△ABC∽△AED，
∴，
∴AB•AD＝AE•AC，
故选：D．
4．【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝x2﹣4x+k＝1+4+k＝k+5；
当x＝3时，y2＝x2﹣4x+k＝9﹣12+k＝k﹣3，
所以y1＞y2．
故选：A．
5．【解答】解：设放大后矩形的宽为x cm．
∵放大前后矩形相似，
∴＝，
∴x＝6．
故选：D．
6．【解答】解：∵点P（m﹣n，1）与点Q（3，m+n） 关于原点对称，
∴，
∴，
故选：C．
7．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，
∴AB＝AB'，AC＝AC'，
∵AB＝2，AC'＝5，B'C＝AC﹣AB'＝5﹣2＝3，
故选：B．
8．【解答】解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63．
故选：B．
9．【解答】解：如图，连接AA'，CC'交于点O，
∴位似中心是点O．
故选：A．
10．【解答】解：A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，
解得：t1＝1，t2＝3，
故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；
B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；
C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，
解得：t1＝0，t2＝4，
∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；
D、当t＝1时，h＝15，
故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；
故选：C．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣5．
故答案为：﹣5．
12．【解答】解：连接BC，如图所示：

根据作图可知：OB＝OC＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴tan∠AOC＝tan60°＝．
13．【解答】解：在图2中，过点O作MN⊥AB于点M，MN交CD于点N，则ON＝x，OM＝1.2，
∵AB∥CD，
∴△OCD∽△OBA，
∴＝，
∴即＝，
∴x＝0.96．
故答案为：0.96．
14．【解答】解：令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B（3，0）和C（0，3）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点G，
设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），
∴PG＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∵S△PCB＝3，
∴PG•OB＝3，即（﹣t2+3t）×3＝3，
解得：t1＝1，t2＝2，
∴点P的坐标为（1，4）或（2，3），
故答案为：（1，4）或（2，3）．
15．【解答】解：如图，过点A作AG∥BC，交FD的延长线于点G，
∵∠AED＝∠ABC，
∴180°﹣∠ABC＝180°﹣∠AED，即∠EBF＝∠AEF，
又∵∠BFE＝∠EFA，
∴△EBF∽△AEF，
∴，即，
∴EB＝，BF＝1，
∵AG∥BC，
∴△BEF∽△AGF，
∴＝，即＝，
∴AG＝，GF＝27，
∴DG＝GF﹣DE﹣EF＝27﹣9﹣3＝15，
∵AG∥BC，
∴△ADG∽△CDE，
∴，即，
∴CE＝，
∴BC＝BE+CE＝＝．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．【解答】解：（1）a＝1，b＝3，c＝﹣4，
△＝9+4×1×4＝25＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝﹣4，x2＝1．
（2）a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
△＝16+4×2＝24＞0，
∴x＝＝1±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
17．【解答】证明：∵D为AE中点，
∴AE＝2AD，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠B＝∠C．
∴△ABE∽△ACD，
∴＝＝2，
∴AB＝2AC．
18．【解答】证明：根据题意可得；
a＝1，b＝2k，c＝k﹣1，
∴，
∵，
∴，
∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
19．【解答】解：（1）由题知，
y＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣8＝2（x+1）2﹣8，
所以抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣8）．
（2）令y＝0得，
2x2+4x﹣6＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3．
又因为将该抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，
所以﹣3+m＝0，
解得m＝3．
故m的值为3．
20．【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，
∴AB＝MB，BC＝BN，∠ABC＝∠MBN，
∴，
∴∠MBN+∠ABN＝∠ABC+∠ABN，即∠ABM＝∠CBN，
∴△ABM∽△CBN；
（2）解：由（1）知，△ABM∽△CBN，
∴∠BMA＝∠BNC，
∵CN∥BM，
∴∠BMA＝∠APN，
∴∠APN＝∠BNC，
又∵BC＝BN，
∴∠BNC＝∠BCN，
∴∠APN＝∠BCN，
∴BC∥MP，
∴四边形BCPM为平行四边形，
∴BC＝PM，
∵△ABM∽△CBN，
∴，即，
∴CB＝5＝PM，
∴AP＝PM﹣AM＝5﹣3＝2．
21．【解答】解：设售价为每件x元，利润为y元，根据题意，得：
y＝（x﹣40）[500+50（60﹣x）]＝﹣50x2+5500x﹣140000＝﹣50（x﹣55）2+11250，
∵销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，
∴，
解得40≤x≤52，
∵a＝﹣50＜0，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线的对称轴为直线x＝55，
∴当40≤x≤52时，y随x的增大而增大，
∴当x＝52时，y有最大值，最大值为y＝﹣50（52﹣55）2+11250＝10800（元），
答：当定价为每件52元，才能使利润最大，最大利润是10800元．
22．【解答】解：（1）点E在线段AB上时，
∵△ABC，△ADE是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，∠AED＝60°＝∠BEF，
∴△BEF是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）当点E不在线段AB上，（1）中的结论依然成立，理由如下：
延长AD交BC于M，如图：
∵△ABC，△ADE是等边三角形，
∴∠ABC＝60°＝∠DAE，AB＝BC，AD＝AE，
∵平移线段AD使点A与顶点C重合，得到线段CF，
∴AD＝CF，AD∥CF，
∴AE＝CF，∠BCF＝∠AMC，
∵∠AMC＝∠ABC+∠BAM＝60°+∠BAM＝∠DAE+∠BAM＝∠BAE，
∴∠BCF＝∠BAE，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，
∴∠ABE+∠EBC＝∠CBF+∠EBC，即∠ABC＝∠EBF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形；
（3）设直线AC交EF于H，分两种情况：
①当EF在BC下方时，如图：
由（2）可知△BEF是等边三角形，
∴∠BFE＝60°，BF＝EF，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCH＝120°，
∵EF⊥AC，
∴∠H＝90°，
∴∠FBC＝360°﹣∠BFE﹣∠H﹣∠BCH＝90°，
∴BF＝，
∵平移线段AD使点A与顶点C重合，得到线段CF，
∴CF＝AD＝，
而BC＝AB＝2，
∴BF＝＝，
∴EF＝；
设EH＝x，CH＝y，
∵FH2+CH2＝CF2，EH2+AH2＝AE2，
∴，
∴，
①﹣②得：3x﹣4y+＝0，
∴y＝x+③，
把③代入①得： +3x+x2+x2+x+＝，
解得x＝（负值已舍去），
∴y＝×+＝，
∵AF2＝FH2+AH2，
∴AF2＝（+x）2+（y+2）2＝（+）2+（+2）2＝，
∴AF＝；
当EF在BC上方时，如图：
同理可得∠ABE＝360°﹣∠FEB﹣∠H﹣∠BAH＝90°，
∴BE＝＝＝EF，
设FH＝m，AH＝n，
∵EH2+AH2＝AE2，FH2+CH2＝CF2＝AD2，
∴，
解得（负值已舍去），
∴AF＝＝；
综上所述，AF的值为或．