浙江省杭州外国语学校2022-2023学年高一上学期期中数学试题及答案

浙江省杭州外国语学校2022-2023学年高一上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若，，，则M中元素的个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知，则（    ）

A．1 B．3 C． D．

4．下列坐标所表示的点不是函数的图像的对称中心的是（    ）

A． B．

C． D．

5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．

6．已知实数满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

7．两个函数的图像经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：

f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，

则是“同形”函数的是(　　)

A．f2(x)与f4(x)

B．f1(x)与f3(x)

C．f1(x)与f4(x)

D．f3(x)与f4(x)

8．已知函数，若的图像的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

10．【多选题】设α是第二象限角，下列各式中可能成立的是（    ）

A． B．

C． D．

11．关于函数由以下四个命题，则下列结论正确的是（    ）

A．的图象关于y轴对称

B．的图象关于原点对称

C．的图象关于对称

D．的最小值为2

12．定义在上的函数，下列说法中正确的为（    ）

A．函数的值域为

B．当时，函数所有值中的最大值为4

C．函数在上单调递减

D．

三、填空题

13．用弧度制表示终边落在轴上的角的集合：_________________________

14．若函数的值域是，则_____________．

15．已知是第三角限角，化简__________ ;

16．设是定义在上的奇函数，当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的最大值是________．

四、解答题

17．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

18．已知函数，（，），最小正周期为，当时，函数取到最大值．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)当时，若函数在区间上的值域为，求a，b的值．

19．如果存在实数，使得，那么就称函数为“不动点”函数．

(1)判断函数是否为“不动点”函数，并说明理由；

(2)已知函数为“不动点”函数．

①求a的取值范围；

②已知函数的定义域为，求的最小值．

20．已知，函数，其中．

(1)当时，求使得等式成立的x的取值范围；

(2)求的最小值；

(3)求在区间上的最大值．

参考答案：

1．C

【分析】根据集合的定义，结合已知集合，即可求得结果.

【详解】根据题意，，故中元素的个数为.

故选：C.

2．A

【分析】根据一元二次不等式的解法解，结合充分条件和必要条件的定义即可求解.

【详解】由，可得或，

∴“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

3．D

【分析】令，代入求值即可.

【详解】令，则.

故选：D

4．B

【分析】求出对称点横坐标的表达式，改变系数的值即可得出对称中心.

【详解】解：由题意

在中，

令，

解得，

当时，，

∴函数的一个对称中心是，A正确.

当时，，

∴函数的一个对称中心是，D正确.

当时，，

∴函数的一个对称中心是，C正确.

故选：B.

5．A

【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.

【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,

.

故选A.

【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.

6．A

【解析】所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.

【详解】解：因为满足，

则

，

当且仅当时取等号，

故选：．

【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

7．A

【分析】先化简f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，函数f2(x)＝log2(x＋2)经过平移变换后可以得到f4(x)，所以它们是“同形”函数.

【详解】因为f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，所以f2(x)＝log2(x＋2)，沿着x轴先向右平移2个单位得到y＝log2x的图像，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，根据“同形”函数的定义，f2(x)与f4(x)为“同形”函数．f3(x)＝log2x2＝2log2|x|与f1(x)＝2log2(x＋1)不“同形”，故答案为A.

【点睛】本题主要考查函数图像的变换和新定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

8．B

【分析】由已知得，，且，解之讨论，可得选项.

【详解】解：因为的图像的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，

所以，

所以，故排除C；

又，且，解得，

当时，不满足，

当时，符合题意，

当时，符合题意，

当时，不满足，故B正确，AD不正确，

故选：B

9．ABC

【分析】作出函数，的图像与直线图像，数形结合求解即可.

【详解】解：作出函数，的图像与直线图像，如图，

所以，当或时，，的图像与直线（为常数）的交点个数为0个；

当或时，，的图像与直线（为常数）的交点个数为1个；

当时，，的图像与直线（为常数）的交点个数为2个；

故函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有1个，2个，3个.

故选：ABC

10．ABD

【分析】，，由三角函数的周期性，不妨设或，结合三角函数的单调性逐个判断即可.

【详解】，，则，由三角函数的周期性，不妨设或.

对A，当，成立，当，，A对；

对B，当，，又，B对；

对C，当，，当，，C错；

对D，当，，D对.

故选：ABD

11．AC

【分析】由函数解析式，根据奇偶性的定义，可得A、B的正误；根据函数对称性，可得C的正误；根据余弦函数的性质，可得D的正误.

【详解】由函数，其定义域为，

且，故函数为偶函数，故A正确，B错误；

由，则函数关于对称，故C正确；

当时，，则，故D错误.

故选：AC.

12．ABD

【分析】画出函数图象，判断出AB选项；

结合函数性质得到在上单调递增，在上单调递减，C错误；

由函数性质得到，计算出，从而得到答案.

【详解】画出函数的图象，如图所示：

从图象可以得到函数的值域为，当时，函数所有值中的最大值为4，AB正确；

因为，当时，，当时，，

由图象可知：上，函数单调递增，时，，函数单调递减，

故函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误；

，

因为，所以，

故，D正确.

故选：ABD

13．

【分析】根据终边相同角的知识，写出终边落在轴上的角的集合.

【详解】终边落在轴正半轴的角为，终边落在轴负半轴的角为，所以终边落在轴上的角的集合为.

故答案为：.

14．2

【分析】通过换元，利用余弦函数的有界性，转化为二次函数在给定区间求值域，结合单调性解决即可.

【详解】令，则，，

根据二次函数的单调性可知，函数在上单调递减，

所以，，所以值域为，则.

故答案为：2

15．

【分析】根据三角函数的基本关系式和象限角的符号，准确运算，即可求解.

【详解】因为是第三角限角，可得

又因为且，

所以原式.

故答案为：.

16．

【分析】由函数的奇偶性和单调性可将问题转化为对恒成立，分离参数可得对恒成立，求的最小值，解不等式即可求解.

【详解】令，则，

因为是定义在上的奇函数，所以，

所以，易知在上单调递减.

所以，，

所以，

所以对恒成立，

即对恒成立，

即对恒成立，

所以，当时，有最小值，

故，得.

所以的最大值为.

故答案为：

17．(1)

(2)

【分析】（1）将原式变形为，然后根据齐次式进行计算即可；

（2）首先通过诱导公式进行化简整理，然后根据齐次式进行计算即可；

【详解】（1）由，得，

分子分母同除得：.

（2）

，

分子分母同除得：.

18．(1)

(2)

【分析】(1)由题意利用三角函数的周期性和最大值求得值，从而求得解析式，再利用正弦函数的单调性即可求解；

(2)利用正弦函数的定义域和值域，求得函数在区间的最大值和最小值的等量关系，解方程组从而求得值.

【详解】（1）因为函数，（，），最小正周期为，所以 ,则，

当时，函数取到最大值为1，即，；所以，函数，

令，解得，所以函数的增区间为：.

（2）函数,();

,则，

当，即时，在区间上取得最小值为1，即；

当，即时，在区间上取得最大值为3，即；

，解得.

19．(1)是，理由见解析

(2)①；②见解析

【分析】（1）根据“不动点”函数的定义判断即可；

（2）①根据“不动点”函数的定义，分类讨论a得到关于的方程，得到关于的不等式组，解出即可；

②在①中a的取值范围内分类讨论a，根据二次函数的单调性，即可求出的最小值.

【详解】（1）解：是，理由如下：

当时，若，得，

则是“不动点”函数.

（2）①当时，，解得符合题意，

当吋，，即，

所以，解得且，

综上所述，的取值范围为；

②的定义域为，对称轴为，

当时，在上单调递增，

；

当时，；

当时，在上单调递减，

；

20．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）将代入，解不等式即可；（2）的最小值其实就是，只需比较这两个各自的最小值即可；（3）先观察出时的函数值是确定的，然后再分类讨论的最大值在何时取得即可.

【详解】（1）当时，

所以，等价于或

解之：

（2）由且，

故

化简得：

（3）不妨设，易知：

当时，

；

当时，

二次函数开口向上，所以

又，，

所以

,

综上所述：

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.