选择性必修 第二册1 交变电流精品练习题

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[学习目标] 1.进一步理解交变电流的有效值的物理意义，并会进行计算.2.知道交变电流峰值、瞬时值、有效值、平均值的区别，并会进行有关计算．
一、交变电流有效值的计算
计算交变电流有效值应注意：
(1)计算有效值时要注意根据电流的热效应，抓住“三同”；“相同时间”内“相同电阻”上产生的“热量相同”，进而列式求解．
(2)利用公式Q＝I2Rt和Q＝eq \f(U2,R)t可分别求得电流有效值和电压有效值．
(3)正弦式交变电流在eq \f(T,4)和eq \f(T,2)内有效值与峰值间的关系都是I＝eq \f(Im,\r(2))，U＝eq \f(Um,\r(2)).
(4)交变电流的有效值是根据电流的热效应来规定的，与电流的方向无关，一般以一个周期来计算有效值．
例1 (2021·沈阳铁路实验中学高二检测)如图所示电路，电阻R1与电阻R2阻值相同，都为R，和R1并联的D为理想二极管(正向电阻可看作零，反向电阻可看作无穷大)，在A、B间加一电压u＝20eq \r(2)sin 100πt(V)的交流电源，则加在R2上的电压有效值为( )
A．10 V B．20 V C．5eq \r(10) V D．15 V
答案 C
解析 因为是正弦式交流电源，所以应该分两种情况考虑：(1)当A点电势高于B点电势时，二极管导通即R1被短路，R2两端电压为电源电压，其有效值U1＝eq \f(20\r(2),\r(2))V＝20 V；(2)当B点电势高于A点电势时，二极管无法导通，R1、R2串联各分得一半电压，R2两端电压的有效值U2＝10 V．则由有效值的定义可得：eq \f(U2,R)T＝eq \f(U12,R)·eq \f(T,2)＋eq \f(U22,R)·eq \f(T,2)，解得U＝5eq \r(10) V，故选C.
例2 如图所示的区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B.电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴以角速度ω匀速转动(O轴位于磁场边界)．则导线框内产生的感应电流的有效值为( )
A.eq \f(BL2ω,2R) B.eq \f(\r(2)BL2ω,2R)
C.eq \f(\r(2)BL2ω,4R) D.eq \f(BL2ω,4R)
答案 D
解析 导线框切割磁感线产生的感应电动势为E＝eq \f(1,2)BL2ω，每转动一周，产生感应电动势的时间是eq \f(T,4)，根据有效值的定义有(eq \f(E,R))2R·eq \f(T,4)＝I2RT，解得I＝eq \f(BL2ω,4R)，故选D.
二、交变电流“四值”的比较及应用
例3 如图所示，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5 T，边长L＝10 cm的正方形线圈abcd共100匝，线圈电阻r＝1 Ω，线圈绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速转动，角速度ω＝2π rad/s，外电路电阻R＝4 Ω，电压表为理想交流电表，求：
(1)转动过程中感应电动势的峰值；
(2)由图示位置(线圈平面与磁感线平行)转过60°角时的瞬时感应电动势；
(3)由图示位置转过60°角的过程中产生的平均感应电动势；
(4)交流电压表的示数；
(5)由图示位置转过60°角的过程中通过电阻R的电荷量．
答案 (1)3.14 V (2)1.57 V (3)2.60 V (4)1.78 V (5)0.09 C
解析 (1)感应电动势的峰值
Em＝NBSω＝100×0.5×0.12×2π V≈3.14 V.
(2)线圈转过60°时的瞬时感应电动势
e＝Emcs 60°＝3.14×0.5 V＝1.57 V.
(3)由法拉第电磁感应定律可得，转过60°角的过程中产生的平均感应电动势
eq \x\t(E)＝Neq \f(ΔΦ,Δt)＝Neq \f(BSsin 60°,\f(T,6))＝100×eq \f(0.5×0.12×\f(\r(3),2),\f(1,6)) V≈2.60 V.
(4)电压表示数为外电压的有效值
U＝eq \f(Em,\r(2))·eq \f(R,R＋r)＝eq \f(\r(2),2)×3.14×eq \f(4,4＋1) V≈1.78 V.
(5)线圈转过60°角的过程中通过电阻R的电荷量
q＝eq \x\t(I)·eq \f(T,6)＝eq \f(\x\t(E),R＋r)·eq \f(T,6)＝eq \f(NBSsin 60°,R＋r)＝eq \f(100×0.5×0.12×\f(\r(3),2),4＋1) C≈0.09 C.
针对训练 如图所示，矩形线圈面积为S，匝数为N，线圈电阻为r，线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中绕垂直于磁场方向的OO′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R，电压表、电流表均为理想电表．在线圈由图示位置转过90°的过程中，下列判断不正确的是( )
A．电压表的示数为eq \f(NBSωR,\r(2)R＋r)
B．通过电阻R的电荷量为eq \f(NBS,2R＋r)
C．电阻R所产生的焦耳热为eq \f(πN2B2S2ωR,4R＋r2)
D．产生的电流为eq \f(NBSω,R＋r)
答案 B
解析 线圈在磁场中转动，产生的感应电动势的最大值为Em＝NBSω，电动势的有效值为E＝eq \f(NBSω,\r(2))，电压表测量的是路端电压，电压表的示数U＝eq \f(E,R＋r)·R＝eq \f(NBSωR,\r(2)R＋r)，故A正确；根据法拉第电磁感应定律可知，平均感应电动势eq \x\t(E)＝Neq \f(ΔΦ,Δt)，根据闭合电路欧姆定律可知eq \x\t(I)＝eq \f(\x\t(E),R＋r)，根据电荷量定义可知q＝eq \x\t(I)Δt，联立解得通过电阻的电荷量q＝eq \f(NBS,R＋r)，故B错误；电阻R产生的焦耳热Q＝eq \f(U2,R)·eq \f(π,2ω)＝eq \f(πN2B2S2ωR,4R＋r2)，故C正确；线圈转动产生的感应电动势的瞬时值表达式为e＝NBSωsin ωt，当线圈由题图所示位置转过90°时产生的感应电动势e＝NBSω，根据闭合电路欧姆定律可知，电流i＝eq \f(NBSω,R＋r)，故D正确．
1．(2021·滁州市高二下期中联考)如图所示为某正弦式交变电流的电压随时间变化的关系图像，则由此可知( )
A．该交变电流的频率为25 Hz
B．0～2 s内的电压的有效值为0
C．0～2 s内的电压的平均值为110eq \r(2) V
D．该交变电流的电压的瞬时值表达式为u＝220eq \r(2)·sin 100πt(V)
答案 D
解析 该交变电流的频率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,0.02) Hz＝50 Hz，A错误；正弦式交变电流的电压的有效值U＝eq \f(220\r(2),\r(2)) V＝220 V，B错误；平均电动势不是电压的平均值，0～2 s内的电压的平均值不等于110eq \r(2) V，C错误；根据题图可知，该交变电流的电压的瞬时值表达式为u＝220eq \r(2)sin 100πt(V)，D正确．
2．如图甲所示，调光台灯是通过双向可控硅电子器件来实现无级调节灯的亮度的．现将某无级调光台灯接在220 V的正弦交变电流上，经过可控硅调节后加在灯管两端的电压如图乙所示(图中曲线为正弦曲线的一部分)，则此时电压表的示数是( )
A．220 V B．156 V C．110 V D．78 V
答案 B
解析 虽然题图乙所示电流不是正弦式交变电流，根据正弦式交变电流的图像对称性可知，图线仍然满足最大值是有效值的eq \r(2)倍，根据交变电流有效值定义有：eq \f(U2,R)T＝ SKIPIF 1 < 0 ·eq \f(T,2)，
解得U＝110eq \r(2) V≈156 V，故B正确．
3．(2021·太原市高二上月考)如图甲所示，在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一匝数为n、面积为S、总电阻为r的矩形线圈abcd绕轴OO′做角速度为ω的匀速转动，矩形线圈在转动中可以保持和外电路电阻R形成闭合电路，回路中接有一理想交流电流表．图乙是线圈转动过程中产生的感应电动势e随时间t变化的图像，下列说法中正确的是( )
A．从t1到t3这段时间穿过线圈的磁通量变化量为2nBS
B．从t3到t4这段时间通过电阻R的电荷量为eq \f(nBS,R)
C．t3时刻穿过线圈的磁通量变化率为nBSω
D．电流表的示数为eq \f(nBSω,\r(2)R＋r)
答案 D
解析 由题图乙可知，t1和t3这两个时刻穿过线圈的磁通量大小均为0，故t1到t3这段时间穿过线圈的磁通量变化量为0，选项A错误；从t3到t4这段时间穿过线圈的磁通量的变化量为BS，则平均感应电动势eq \x\t(E)＝eq \f(nBS,Δt)，通过电阻R的电荷量为q＝eq \f(nBS,R＋rΔt)Δt＝eq \f(nBS,R＋r)，选项B错误；t3时刻线圈产生的感应电动势E＝nBSω，由法拉第电磁感应定律可得E＝eq \f(nΔΦ,Δt)，则穿过线圈的磁通量变化率为BSω，选项C错误；电流表的示数为有效值，则有I＝eq \f(nBSω,\r(2)R＋r)，选项D正确．
4.一个边长为6 cm的单匝正方形金属线框置于匀强磁场中，线框平面与磁场方向垂直，电阻为0.36 Ω.磁感应强度B随时间t的变化关系如图所示，则线框中感应电流的有效值为( )
A.eq \r(2)×10－5 A B.eq \r(6)×10－5 A
C.eq \f(\r(2),2)×10－5 A D.eq \f(3\r(2),2)×10－5 A
答案 B
解析 由法拉第电磁感应定律E＝eq \f(NΔΦ,Δt)和闭合电路欧姆定律I＝eq \f(E,R)可得线框中0～3 s内产生的感应电流I1＝2×10－5 A,3～5 s内产生的感应电流I2＝3×10－5 A，且与0～3 s内电流方向相反，于是可作出i随时间t变化的图像如图所示．
由有效值的定义得I12Rt1＋I22Rt2＝I2Rt，代入数据可得电流的有效值I＝eq \r(6)×10－5 A，故选B.
5.(多选)如图所示，交流发电机的矩形线圈边长ab＝0.4 m，ad＝0.2 m，线圈匝数N＝100，线圈电阻r＝1 Ω，线圈在磁感应强度B＝0.2 T的匀强磁场中绕垂直于磁场的轴以ω＝100π rad/s的角速度匀速转动，外接电阻R＝9 Ω，从图示位置开始计时，则( )
A．该发电机产生的电动势瞬时值表达式为e＝160πsin (100πt) V
B．从图示位置转过30°的过程中，通过电阻R的电荷量为0.08 C
C．t＝0.5 s时线圈中产生的感应电动势最大
D．交变电流的有效值是8eq \r(2)π A
答案 BCD
解析 该发电机产生的电动势的瞬时值表达式e＝NBSωcs ωt＝100×0.2×0.4×0.2×100π·cs (100πt) V＝160πcs (100πt) V，A错误；从题图所示位置转过30°的过程中，通过电阻R的电荷量为q＝Neq \f(ΔΦ,R＋r)＝Neq \f(BSsin 30°,R＋r)＝eq \f(100×0.2×0.4×0.2×\f(1,2),9＋1) C＝0.08 C，B正确；由题意可知T＝eq \f(2π,ω)＝0.02 s，则当t＝0.5 s＝25T时，线圈恰好转过25圈，线圈处于平行于磁感线的位置，此时线圈产生的感应电动势最大，C正确；交变电流的有效值是I＝eq \f(Im,\r(2))＝eq \f(Em,\r(2)R＋r)＝8eq \r(2)π A，D正确．
6．(多选)(2019·天津卷)单匝闭合矩形线框电阻为R，在匀强磁场中绕与磁感线垂直的轴匀速转动，穿过线框的磁通量Ф与时间t的关系图像如图乙所示．下列说法正确的是( )
A.eq \f(T,2)时刻线框平面与中性面垂直
B．线框的感应电动势有效值为eq \f(\r(2)πФm,T)
C．线框转一周外力所做的功为eq \f(2π2Фm2,RT)
D．从t＝0到t＝eq \f(T,4)过程中线框的平均感应电动势为eq \f(πФm,T)
答案 BC
解析 由Ф－t图像可知，eq \f(T,2)时刻穿过线框的磁通量最大，则线框位于中性面，A错误；线框中产生的感应电动势的最大值应为Em＝NBSω，又ω＝eq \f(2π,T)，N＝1，BS＝Фm，则整理得Em＝eq \f(2πФm,T)，因此感应电动势的有效值为E＝eq \f(Em,\r(2))＝eq \f(\r(2)πФm,T)，B正确；由功能关系可知线框转动一周外力所做的功等于线框中产生的焦耳热，有W＝Q＝eq \f(E2,R)T＝eq \f(2π2Фm2,RT)，C正确；0～eq \f(T,4)的过程中，线框中产生的平均感应电动势为eq \x\t(E)＝eq \f(Фm,\f(T,4))＝eq \f(4Фm,T)，D错误．
7.(多选)如图所示，M为半圆形导线框，圆心为OM；N是圆心角为直角的扇形导线框，圆心为ON；两导线框在同一竖直面(纸面)内；两圆弧半径相等；过直线OMON的水平面上方有一匀强磁场，磁场方向垂直于纸面，现使线框M、N在t＝0时从图示位置开始，分别绕垂直于纸面且过OM和ON的轴，以相同的周期T逆时针匀速转动，则( )
A．两导线框中均会产生正弦式交流电
B．两导线框中感应电流的周期都等于T
C．在t＝eq \f(T,8)时，两导线框中产生的感应电动势相等
D．两导线框的电阻相等时，两导线框中感应电流的有效值也相等
答案 BC
解析 设两圆弧半径为R，当导线框进入磁场过程中，根据E＝eq \f(1,2)BR2ω可得，感应电动势恒定，感应电流恒定，不是正弦式交流电，A错误，C正确；当导线框进入磁场时，根据楞次定律结合安培定则可得，两导线框中的感应电流方向为逆时针，当导线框穿出磁场时，两导线框中产生的感应电流方向为顺时针，所以两导线框中感应电流的周期和导线框运动周期相等，B正确；导线框N在完全进入磁场后有eq \f(T,4)时间穿过导线框的磁通量不变化，没有感应电动势产生，即导线框N在0～eq \f(T,4)和eq \f(3T,4)～T内有感应电动势，其余时间内没有，而导线框M在整个过程中都有感应电动势，即便两导线框电阻相等，两者的电流有效值也不会相等，D错误．
8．(多选)如图甲所示为电热毯电路示意图，交流电压u＝311sin 100πt (V)，当开关S接通时，电热丝的电功率为P0；当开关S断开时，加在电热丝上的电压如图乙所示，图线为正弦曲线的一部分，交流电压表为理想电表，则( )
A．开关S接通时，交流电压表的示数为220 V
B．开关S接通时，交流电压表的示数为311 V
C．开关S断开时，交流电压表的示数为311 V，电热丝的功率为eq \f(P0,2)
D．开关S断开时，交流电压表的示数为156 V，电热丝的功率为eq \f(P0,2)
答案 AD
解析 当开关S接通时，加在电热丝上的瞬时电压u＝311sin 100πt(V)，所以电热丝两端电压的有效值U1＝eq \f(Um,\r(2))＝eq \f(311,\r(2)) V≈220 V，故A正确，B错误；当S断开时，前半个周期内电热丝两端所加电压按正弦规律变化，但后半个周期内电热丝两端电压为0，所以电热丝的功率P＝eq \f(1,2)P0，设此时交变电压的有效值为U2，由eq \f(U22,R)＝eq \f(1,2)·eq \f(U12,R)得U2＝eq \f(U1,\r(2))≈156 V，即交流电压表的示数为156 V，故D正确，C错误．
9．(多选)如图所示，一半径为r的半圆形单匝线圈放在具有理想边界的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B.线圈以直径ab为轴匀速转动，转速为n，ab的左侧有垂直于纸面向里(与ab垂直)的匀强磁场，M和N是两个滑环，负载电阻为R.线圈、电流表和连接导线的电阻都不计，下列说法正确的是( )
A．转动过程中电流表的示数为eq \f(π2Bnr2,2R)
B．从图示位置起转过eq \f(1,4)圈的时间内产生的平均感应电动势为2πnBr2
C．从图示位置起转过eq \f(1,4)圈的时间内通过负载电阻R的电荷量为eq \f(\r(2)πBr2,8R)
D．转动过程中交变电流的最大值为eq \f(π2Bnr2,R)
答案 ABD
解析 线圈转动过程中产生的交变电流的最大值为Im＝eq \f(BSω,R)＝eq \f(Bπ2nr2,R)，D正确；因为只有一半区域存在磁场，由有效值的计算公式可得：(eq \f(Im,\r(2)))2·R·eq \f(T,2)＝I2RT，解得I＝eq \f(Im,2)＝eq \f(Bπ2nr2,2R)，所以转动过程中电流表的示数为eq \f(Bπ2nr2,2R)，A正确；从题图所示位置起转过eq \f(1,4)圈的时间内磁通量的变化量为ΔΦ＝B·eq \f(1,2)πr2，所用时间Δt＝eq \f(T,4)＝eq \f(1,4n)，所以线圈产生的平均感应电动势eq \x\t(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝2πnBr2，B正确；从题图所示位置起转过eq \f(1,4)圈的时间内通过负载电阻R的电荷量为q＝eq \x\t(I)·Δt＝eq \f(\x\t(E),R)·Δt＝eq \f(ΔΦ,R)＝eq \f(B·\f(1,2)πr2,R)＝eq \f(Bπr2,2R)，C错误．
10．(2021·重庆市南开中学高二期末)如图甲所示为一种简单的整流电路，ab为交变电压信号输入端，D为半导体二极管，可将交流变为直流，R为阻值为15 Ω的定值电阻．若对该电路ab端输入如图乙所示按正弦规律变化的电压信号，则下列说法正确的是( )
A．ab两点间接入的交变电流的电压u随时间t变化的规律是u＝100sin 100t (V)
B．电阻R两端电压的有效值为50eq \r(2) V
C．定值电阻R在1 min内产生的热量为2.0×104 J
D．一个周期内通过的R的电流的平均值为eq \f(20,3π) A
答案 D
解析 ab两点间接入的交变电流的电压u随时间t变化的规律是u＝100sin 100πt(V)，所以A错误；电阻R两端电压的有效值为U＝eq \f(Um,2)＝eq \f(100,2) V＝50 V，所以B错误；定值电阻R在1 min内产生的热量为Q＝eq \f(U2,R)t＝eq \f(502,15)×60 J＝1.0×104 J，所以C错误；整流后，一个周期内通过R的电流的平均值为eq \x\t(I)＝eq \f(q,T)，一个周期内通过R的电荷量为q＝neq \f(ΔΦ,R)＝eq \f(2nBS,R)，Um＝nBSω＝100 V，ω＝eq \f(2π,T)＝100π rad/s，T＝0.02 s，由上几式代入数据解得eq \x\t(I)＝eq \f(20,3π) A，所以D正确．
11.(多选)如图所示，边长为L＝0.2 m的正方形线圈abcd，匝数为n＝10、总电阻为r＝2 Ω，外电路的电阻为R＝8 Ω，ab的中点和cd的中点的连线OO′恰好位于匀强磁场的边界线上，匀强磁场的磁感应强度B＝2 T．若线圈从图示位置开始，以角速度ω＝2 rad/s绕OO′轴匀速转动，则以下判断中正确的是( )
A．闭合电路中感应电动势的瞬时值表达式为e＝1.6sin 2t(V)
B．在t＝eq \f(π,4) s时刻，穿过线圈的磁通量为零，但磁通量变化率最大
C．从t＝0时刻到t＝eq \f(π,4) s时刻，电阻R上产生的热量为Q＝3.2π×10－4 J
D．从t＝0时刻到t＝eq \f(π,4) s时刻，通过电阻R的电荷量为q＝0.04 C
答案 BD
解析 感应电动势的最大值Em＝eq \f(1,2)nBSω＝eq \f(1,2)×10×2×0.22×2 V＝0.8 V，闭合电路中感应电动势的瞬时值表达式为e＝Emsin ωt＝0.8sin 2t(V)，A错误；在t＝eq \f(π,4) s时刻，线圈从图示位置转过90°，线圈垂直于中性面，穿过线圈的磁通量为零，线圈中磁通量变化率最大，B正确；回路中感应电流的最大值为Im＝eq \f(Em,r＋R)＝eq \f(0.8,2＋8) A＝0.08 A，从t＝0时刻到t＝eq \f(π,4) s时刻，回路中电流的有效值为I＝eq \f(Im,\r(2))＝eq \f(\r(2),25) A，电阻R上产生的热量为Q＝I2R·eq \f(T,4)＝(eq \f(\r(2),25))2×8×eq \f(π,4) J＝6.4π×
10－3 J，C错误；从t＝0时刻到t＝eq \f(π,4) s时刻，通过R的电荷量q＝neq \f(ΔΦ,R＋r)＝10×eq \f(2×0.2×0.1,2＋8) C＝0.04 C，D正确．
12.如图所示，间距为L的光滑平行金属导轨水平放置在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，一端接阻值为R的电阻，一接入电路的电阻为R0、质量为m的导体棒放置在导轨上，在外力F作用下从t＝0的时刻开始运动，其速度随时间的变化规律v＝vmsin ωt，不计导轨电阻，求：
(1)从t＝0到t＝eq \f(2π,ω)的时间内电阻R产生的热量；
(2)从t＝0到t＝eq \f(π,2ω)的时间内外力F所做的功．
答案 (1)eq \f(πRB2L2vm2,ωR＋R02)
(2)eq \f(1,2)mvm2＋eq \f(πB2L2vm2,4ωR＋R0)
解析 (1)导体棒产生的感应电动势e＝BLvmsin ωt，是正弦式交变电流产生的感应电动势，有效值E＝eq \f(Em,\r(2))＝eq \f(BLvm,\r(2))，在Δt＝eq \f(2π,ω)的时间内，电阻R上产生的热量Q＝I2RΔt＝(eq \f(E,R＋R0))2Req \f(2π,ω)＝eq \f(πRB2L2vm2,ωR＋R02).
(2)从t＝0到t＝eq \f(π,2ω)的时间是eq \f(1,4)周期，设这段时间内电阻R和R0产生的热量为Q′，则Q′＝eq \f(E2,R＋R0)·eq \f(π,2ω)＝eq \f(πB2L2vm2,4ωR＋R0)，t＝eq \f(π,2ω)时，导体棒的速度v＝vm，则在0～eq \f(π,2ω)时间内对导体棒运用能量守恒定律得W外＝eq \f(1,2)mvm2＋Q′，故W外＝eq \f(1,2)mvm2＋eq \f(πB2L2vm2,4ωR＋R0).名称
物理含义
重要关系
应用情况
瞬时值
交变电流某一时刻的值
电流为正弦式
交变电流时：
e＝Emsin ωt
i＝Imsin ωt
分析交变电流在某一时刻的情况，如计算某一时刻线圈受到的安培力
最大值
最大的瞬时值
Em＝NωBS
Im＝eq \f(Em,R＋r)
电容器的击穿电压
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流值
电流为正弦式交变电流时：
E＝eq \f(Em,\r(2))
U＝eq \f(Um,\r(2))
I＝eq \f(Im,\r(2))
(1)计算与电流热效应相关的量(如电功率、电热、热功率)
(2)交流电表的测量值
(3)电气设备标注的额定电压、额定电流
(4)保险丝的熔断电流
平均值
交变电流图像中图线与时间轴所围面积与时间的比值
eq \x\t(E)＝neq \f(ΔΦ,Δt)
eq \x\t(I)＝eq \f(\x\t(E),R＋r)
计算通过电路横截面的电荷量
q＝eq \x\t(I)Δt＝neq \f(ΔΦ,R＋r)