安徽省淮南市2023-2024学年高一数学上学期第二次月考试题（Word版附解析）

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1. 集合，，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解方程组，结合交集的定义可得结果.
【详解】联立，解得，则，
故选：C．
2. 已知函数y=f（x+1）定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域是（ ）
A. [0，]B. [-1，4]C. [-5，5]D. [-3，7]
【答案】A
【解析】
【分析】根据抽象函数的定义域求法，首先求出，再由，解不等式即可.
【详解】函数y=f（x+1）定义域是[-2，3]，则，
所以，解得，
所以函数的定义域为[0，].
故选：A
【点睛】本题考查了抽象函数的定义域求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
3. 已知、，下列条件中，使成立的必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用必要条件的定义，结合不等式的性质得出成立的必要条件.
【详解】对于A选项，当时，由不等式的性质得，可得出，
则是的必要条件；
对于B选项，取，，则，所以，，
则不是的必要条件；
对于C、D选项，当时，，，则、都不是的必要条件.
故选A.
【点睛】本题考查必要条件的寻找，解题时要充分利用必要条件的定义来寻找，考查推理能力，属于基础题.
4. 若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据的开口方向，确定分段函数在上的单调递增，再根据分段函数在上的单调所要满足的条件列出不等关系，求出的取值范围.
【详解】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在上的单调递增，所以要满足：，解得：
故选：B
5. 已知正数a，b满足，则最小值等于（ ）
A 4B. C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】整理得出，进而得，结合基本不等式即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
当且仅当，即时等式成立，
故选：D．
6. 关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为(-3，1)，则关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，且是ax2+bx+c=0的两根，进一步找到的关系，带入原不等式化简解不等式即可.
【详解】因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为(-3，1)，所以即不等式cx2+bx+a＞0等价于3x2-2x-1＞0，
解得或x＞1.
故选：C
7. 若函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的函数图像与性质，结合最值解决问题即可.
【详解】因为，
所以，．
因为在区间上的值域为，
所以当，或，时，
取得最小值3；
当，时，取得最大值6．
故的取值范围是．
故选：C.
【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
8. 定义在上的奇函数在上单调递增，且，则关于x的不等式的解集为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先由为上的奇函数，在上单调递增和得出，在上单调递增，且，，画出大致图像，分类讨论的取值，即得出不等式的解集．
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，
所以在上单调递增，且，，
可画出其大致图像，如图所示，
因为，
所以当时，，解得，
当时，，解得，
当时，显然不合题意，
所以不等式的解集为，
故选：A．
二．多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分．每题有多个选项，漏选可得2分，多选，错选，不选均不得分）
9. 对于实数，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用不等式的性质，分析、推理判断ABC；举例说明判断D作答.
【详解】对于A，，两边同时除以，则，A正确；
对于B，，，则，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，因为，则，C正确；
对于D，取，满足，而，D错误.
故选：ABC
10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 的解集为
D. 的解集为或
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题意可得的两个根为1和3，且，利用韦达定理得，再逐个分析判断即可.
【详解】因为不等式的解集为或，
所以的两个根为1和3，且，
由韦达定理得，得，
因为，所以A正确，
因为，所以B正确，
不等式可化为，因为，所以，得，
所以的解集为，所以C正确，
不等式可化为，因为，
所以，即，得，
所以不等式的解集为，所以D错误.
故选：ABC.
11. 若．且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】，当且仅当时等号成立，
则或，
则，
即AB错误，D正确.
对于C选项，，C选项正确.
故选：CD
12. 定义在上的函数满足，当时，，则满足（ ）
A. B. 是奇函数
C. 在上有最大值D. 的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对；
对于B选项，函数的定义域为，
令，可得，则，
故函数是奇函数，B对；
对于C选项，任取、且，则，
即，所以，
所以，函数为上的减函数，
所以，在上有最大值，C错；
对于D选项，由于为上的减函数，由，可得，解得，D对.
故选：ABD.
三．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13. 已知函数，若，则________.
【答案】5
【解析】
【分析】
先利用换元法求解出原函数解析式，然后利用得出的值.
【详解】令，则，.
因为，所以，解得.
故答案为：
【点睛】求解复合函数的解析式时，只需用换元法，令，用含的式子表示出然后代入原函数解析式便可得出的解析式.
14. 已知，，则的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】把 用 和 表示，然后由不等式的性质得出结论.
详解】令 ，
则 ，解得 .
，，
故答案为：.
15. 已知集合，求______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得方程有两个等根，即，从而求出，的值，进而求解即可．
【详解】由集合，
则方程有两个等根，
所以，解得，
所以，解得，
所以，即，
故．
故答案为：．
16. 已知a，b为正实数，且，则的最小值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】利用已知化简可得，根据基本不等式计算即可.
【详解】由已知条件得，，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：6.
四．解答题（共6小题，17题10分，18-22题每题12题，共70分，每题要写出必要的证明，演算过程，推论或步骤）
17. 设集合.
(1)求；
(2)已知集合，若，求实数的取值范围.
【答案】(1) ,;(2) 或.
【解析】
【分析】(1)直接利用集合的交集和并集的定义即可得解;
(2)讨论和两种情况,列不等式求解即可.
【详解】,
(1)
(2)①当时，即：，解得：，满足
②当时，若满足，则

解得：
由①②可知，满足的实数的取值范围是或.
【点睛】本题主要考查集合的交并运算，考查了集合的包含关系，属于基础题.
18. 函数的解析式
（1）已知是二次函数，且，求f (x)．
（2）已知，求函数的解析式．
（3）若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为．若，求，的解析式．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）设,利用待定系数法求解析式即可.
（2）根据题意，x用代替列方程组求解解析式即可.
（3）利用奇偶函数的性质列方程组求解解析式即可.
【小问1详解】
设，
则，
整理得，
比较上述等式两边对应项的系数，
可得，解得，
故.
【小问2详解】
①，x用代替，
得②，
①②得，
，即，得.
故.
【小问3详解】
是奇函数，，
是偶函数，，
，，得，
进而列方程组，
两式相加可得，即；
两式相减可得，即.
综上所述，，.
19. 已知正数x，y满足，且的最小值为k．
（1）求k．
（2）若a，b，c为正数，且，证明：．
【答案】（1）3；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）整体代入可得，由基本不等式可得；
（2）由（1）得，再利用基本不等式直接可以得证.
【详解】（1）正数x，y，且，所以，
又因为，，所以，当且仅当时取等号，
，故；
（2）证明：由（1）得，因为a，b，c为正数，所以①，当且仅当时取等号，
同理可得②，当且仅当时取等号，
③，当且仅当时取等号，
①+②+③得，当且仅当时取等号．
【点睛】结论点睛：利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．
20. 已知函数满足，当时，，且.
（1）求的值，并判断的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；在上为增函数；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用赋值法求出的值，利用函数的单调性定义判断的单调性即可；（2）利用已知等式把不等式转化为，利用函数的单调性，结合常变量分离法、配方法进行求解即可.
【详解】（1）令，得，得，
令，得，得；
设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以
，
因为，所以，所以，
因此
即在上为增函数；
（2）因为，即，即，
又，所以，
又因为在上为增函数，所以在上恒成立；
得在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，当时，取最小值，所以；
即时满足题意.
21. 已知函数f(x)＝ 为奇函数．
(1)求b的值；
(2)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；
(3)解关于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.
【答案】(1) b＝0；(2)见解析；(3)
【解析】
【分析】(1)根据，求得的值；
(2)由(1)可得，再利用函数的单调性的定义证明函数在区间上是减函数；
(3)由题意可得，再根据函数在区间上是减函数，可得，由此求得的范围．
【详解】(1)∵函数为定义在上的奇函数，
经验证b＝0符合题意；
(2)由(1)可得，下面证明函数在区间(1，＋∞)上是减函数．
证明:设，
则有，
，可得 ，，，
,
即
函数在区间(1，＋∞)上是减函数．
(3)由不等式
可得，
再根据函数在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋x2＜x2－2x＋4，
解得：，故不等式的解集为.
22. 解关于的不等式：．
（1）若，解上述关于的不等式；
（2）若，解上述关于的不等式．
【答案】（1）
（2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）将代入不等式，然后求解即可；
（2）把化简得，，然后分四种情形：①，②，③，④，最后逐个进行讨论并求解即可．
【小问1详解】
由，则，
所以，解得，或，
故不等式的解为
【小问2详解】
把化简得，，
①当时，，不等式的解为；
②当，即，即时，不等式的解为；
③当，即，即或，
当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为，
④当，即时，，解得，
综上所述，当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；